【数学の計算問題】 実数XとYの連立方程式ksinX=sinY≠0と2cosX+cosY=1を解くとします。


 まず、Yを消去するとして下さい。

 すると、次に同値変形される連立方程式が、ksinX≠0と(ksinx)^2+(1-2cosX)^2=1の形となるそうなのですが、どういう過程を経てYが消去されているのか分かりません。
 過程を教えていただけないでしょうか。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/11/28 07:32:27
  • 終了:2006/11/29 20:45:49

回答(5件)

id:kosuke2020 No.1

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82006/11/28 08:32:23

ポイント23pt

まず、ksin(X)=sin(Y)の両辺を2乗して

k^2sin^2(X)=sin^2(Y)-(1)

次に、2cos(X)+cos(Y)=1の両辺から2cos(X)を引いて

cos(Y)=1-2cos(X)  両辺を2乗して、

cos^2(Y)=(1-2cos(X))^2  sin^2(Y)+cos^2(Y)=1より、

1-sin^2(Y)=(1-2cos(X))^2-(2)

(2)に(1)のsin^2(Y)=k^2sin^2(X)を代入すると、

1-k^2sin^2(X)=(1-2cos(X))^2

1=k^2sin^2(X)+(1-2cos(X))^2

k^2sin^2(X)+(1-2cos(X))^2=1 (終わり)

以上でよろしいでしょうか?

id:Rede

 ? 三角関数が少々アヤフヤな私なのですが、同値変形してます?

2006/11/28 10:59:37
id:mekishiko No.2

mekishiko回答回数96ベストアンサー獲得回数32006/11/28 09:46:53

ポイント23pt

三角関数の関係の公式

(sinx)^2+(cosx)^2=1

を使います。

2cosX+cosY=1を移項して

cosY=1-2cosX

両辺を2乗して

(cosY)^2=(1-2cosX)^2

ここで先ほどの公式

(分かりやすく移項すると(cosx)^2=1-(sinx)^2)

を代入して

1-(sinY)^2=(1-2cosX)^2

ここでsinY=ksinXなので

1-(ksinX)^2=(1-2cosX)^2

移項整理すると

(ksinx)^2+(1-2cosX)^2=1

となります。

また、ksinX≠0は最初に条件として与えられているので

自明です。

これでよろしいでしょうか?

id:Rede

 これも同値性が崩れていないですか?

2006/11/28 11:07:49
id:Xenos No.3

Xenos回答回数8ベストアンサー獲得回数02006/11/28 09:05:49

ポイント22pt

すみません、もっと簡単な方法がありました。

(SinY)^2 +(CosY)^2 = 1 (1) は自明 (∵Sin,Cosの定義から)

与えられた式ksinX=sinYと2cosX+cosY=1をそれぞれ

SinY = ... , CosY = ... の形に変形した後、(1)に代入すると、十行以内で収まるはずです。

個人的にはこちらの方法がおすすめです。

わかりやすいですし。

id:Rede

 おそらく、先にXenos様がされた回答よりも後出しの方が質がよかろうとこちらで判断させてもらい、後の方のみを開かせてもらいました。

2006/11/29 20:44:42
id:kimiharu_009 No.4

kimiharu_009回答回数53ベストアンサー獲得回数32006/11/28 10:46:39

ポイント22pt

証明すべき等式は

(ksin(x))^2+(1-2cos(x))^2=1

だから,与えられた2cos(x)+cos(y)=1の1次式から,

1-2cos(x)をつくるように移項して,

1-2cos(x)=cos(y)ですね。これを証明すべき式が2乗されているから,2乗しましょう。

すると,

(1-2cos(x))^2=cos^2(y)

ですね.右辺にsin^2(y)+cos^2(y)=1からできる

cos^2(y)=1-sin^2(y)

を代入して,cos^2(y)を消去しましょう。

すると,

(1-2cos(x))^2=1-sin^2(y)

ここで与えられた条件式ksin(x)=sin(y)を右辺に代入すれば,

(1-2cos(x))^2=1-(ksin(x))^2

となり,整理すると

(ksin(x))^2+(1-2cos(x))^2=1

を示すことが出来ます。

id:Rede

 今のところ、どうも全員の方々が、A⇔Bではなく、A⇒Bしか意識していないように思えます。こちらからの質問文には「同値変形される・・・」と書いてあるのですが。

 ただ、三角関数の知識が危うい私が勘違いしているために、回答者様の「正解と見えない」可能性もあるので、私の方が間違っている可能性は大いにあります。

 だとすると、今の私にはどっちが間違っているのか、判断しかねるので、すいませんがポイント配分は、三角関数の復習を急遽してからにさせて下さい(なお、回答者様が間違っていてもポイントは配分させていただきますのでご安心(?)ください)。


追伸(11月29日現在)

 三角関数の復習等をする時間を確保しようとすると、それがクリスマス後になりそうです。そこまでポイント配分を伸ばすことができないので、先にポイントは出しておきます。

 何かコメントがおありでしたら、この質問配分後にコメントしていただけると幸いです。

2006/11/29 20:42:35

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 Xenos 8 6 0 2006-11-28 08:56:10
  • id:kosuke2020
    あーなるほど、ポイントはそこでしたか…(どおりでおかしいと思いました。)
    すいません、見落としていました。

    (A):ksin(X)=sin(Y)≠0かつ2cos(X)+cos(Y)=1
    (B):ksin(X)≠0かつ(ksinx)^2+(1-2cosX)^2=1

    は仰るとおり、(A)⇒(B)ですが(B)⇒(A)ではないため同値ではないですね。
    回答の過程が問題なのではなく、(B)は

    (A1):ksin(X)=sin(Y)≠0かつ2cos(X)+cos(Y)=1(=A)または
    (A2):ksin(X)=-sin(Y)≠0かつ2cos(X)+cos(Y)=1または
    (A3):ksin(X)=sin(Y)≠0かつ2cos(X)-cos(Y)=1または
    (A4):ksin(X)=-sin(Y)≠0かつ2cos(X)-cos(Y)=1

    の4つの連立方程式を満たすので、各条件を満たす元の包含関係が(A)⊂(B)
    となりどうひっくり返っても同値にはなりません。
    なので、条件を同値にするためには条件(B)を

    (B'):ksin(X)≠0かつ[tex:(ksinx)^2+(1-2cosX)^2=1]
    かつ(ksin(X)=sin(Y)≠0かつ2cos(X)+cos(Y)=1) (⇔(B)かつ(A))

    としてやる必要があるかと思います。

    で、通常この付け加えた条件(A)は前に示されているため、よく自明のもの
    として扱われますが(今回も自明として触れてませんでした。たぶん他の
    回答者の方々も同じだと思います。) 今回わざわざ「同値変形」と書かれ
    ているので、問題文の(B)は必ず(B')のように書かなければならないと思い
    ます。 なので今回の件については、「出題者が条件(B')内の条件(A)を自明
    のものとして省略し、条件(B)とした」可能性が高いと思われますので、出題
    者に確認された方がよいかと思います。(出題者が誤っているのか、それとも
    それをよしとする出題ルールがあるのかは存じませんが。)

    条件(B)が条件(B')の一部を自明として省略したものではなく、純粋に条件(B)
    ksin(X)≠0かつ[tex:(ksinx)^2+(1-2cosX)^2=1]
    だけを意味するものであるなら、この問題は破綻しています。(B)は(A)の必要
    条件ですが、十分条件にはなりません。質問者の方が混乱しはてなで聞くに至
    ったのは、そのためでしょう。

    同値変形するという条件で、自明だからと省略しないで解答すると下のようになると
    思います。
    [tex:ksin(X)=sin(Y)\neq~0\Longleftrightarrow~ksin(X)=sin(Y)\neq~0]かつ[tex:sin^2(Y)=(ksin(X))^2]―(1)
    [tex:2cos(X)+cos(Y)=1\Longleftrightarrow~2cos(X)+cos(Y)=1]かつ[tex:cos^2(Y)=(1-2cos(X))^2]―(2)
    [tex:sin^2(Y)+cos^2(Y)=1]に(1)、(2)を代入して、
    [tex:(ksin(X))^2+(1-2cos(X))^2=1]かつ[tex:ksin(X)=sin(Y)\neq~0]かつ[tex:2cos(X)+cos(Y)=1]―(B')
    と、同値変形(B')が導かれました。(B)は(B')の一部が欠落しています。
  • id:kosuke2020
    すいません、コメント欄ではtex記法は使えないんですね…… 最後の式だけ書き直します。

    ksin(X)=sin(Y)≠0 を同値変形して
    ⇒ ksin(X)=sin(Y)≠0かつsin^2(Y)=(ksin(X))^2―(1)
    2cos(X)+cos(Y)=1 を同値変形して
    ⇒ 2cos(X)+cos(Y)=1かつcos^2(Y)=(1-2cos(X))^2―(2)
    sin^2(Y)+cos^2(Y)=1に(1)、(2)を代入して、
    ⇒(ksin(X))^2+(1-2cos(X))^2=1かつksin(X)=sin(Y)≠0かつ2cos(X)+cos(Y)=1―(B')

    よって、(A):ksin(X)=sin(Y)≠0かつ2cos(X)+cos(Y)=1 から
    (B')(ksin(X))^2+(1-2cos(X))^2=1かつksin(X)=sin(Y)≠0かつ2cos(X)+cos(Y)=1 に同値変形されました。

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