以下の微分方程式の解放を探しています。いろいろな情報を探ったのですが、解法までたどり着けませんでした。


f'(x) = -f(x) - 2x - cosx + 1

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/12/11 15:49:20
  • 終了:2006/12/18 15:45:46

回答(5件)

id:yo-kun No.1

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302006/12/11 17:41:53

ポイント20pt

「1階線形微分方程式」で調べてみてください。

微分積分の教科書にも載っているはずです。


1階線形微分方程式とは

f'(x)+P(x)f(x)=Q(x)

という形式の微分方程式のことです。

この形の微分方程式の解は

\nosmash f(x)=e^{-\int P(x)dx}\left\{{\smash\int(Q(x)e^{\int P(x)dx}}dx + C\right\}

となることが知られています。(Cは積分定数)

(ここで証明まで書くと大変なので教科書などを参照して下さい)


今回ご質問された微分方程式は

P(x)=1

Q(x)=-2x-\cos x+1

の場合にあたります。


解が複雑に感じるかも知れませんが、今回の問題は

P(x)=1

つまり、

\int P(x)dx=x

なので、結局

f(x)=e^{-x}\left\{\int Q(x)e^x dx +C\right\}

ということになります。

これを計算すると結局

f(x)=-2(x-1)-\frac12(\cos x+\sin x)+1+C'

となります。

(C'=Ce^{-x}としました)

id:sorakihu

典型的な微分法的式の問題なんですね。

まだ微分方程式のクラスをとったことがなかったので、なかなか切り口を見つけられませんでした。

2006/12/12 16:32:40
id:yo-kun No.2

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302006/12/11 19:25:23

ポイント20pt

ゴメンなさい!↑の最後間違えました。

C'=Ce^{-x}

と書きましたが違います。

xの関数だから定数になるわけないですね。


そのまま

f(x)=-2(x-1)-\frac12(\cos x+\sin x)+1+Ce^{-x}

が解です。


大変失礼しました。

id:sorakihu

ありがとうございます。

2006/12/12 16:32:46
id:sugiyasato No.3

sugiyasato回答回数157ベストアンサー獲得回数22006/12/11 19:43:31

ポイント20pt

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/constOneLinearDiffEq/

 これは「線形微分方程式」の中でも簡単な形で,公式があります。(他にも色々と参考資料がWebで見つかるはずです)。

 右辺の-f(x)を移項すると,a=1, Q(x)=-2x-cos(x)+1ということになりますから,代入して計算すればOK。途中でx e^{x}e^{x}cos(x)の積分が出てきますが,どちらも部分積分で簡単に解けます。(後者は2回使って同じ形を出して整理)。1階微分が含まれているので積分定数Cが1つ出ます。

 答は,y(x) = -2(x-1) -\frac~1~2 (sin(x)+cos(x)) + 1 + C e^{-x}

ですね。

id:sorakihu

回答とウェブサイトへのリンクありがとうございました。たくさんの方に助けていただいて、問題も解くことができました(特殊な重力空間での軌道問題です)。ありがとうございます。

2006/12/12 16:34:02
id:kilrey No.4

kilrey回答回数16ベストアンサー獲得回数02006/12/11 22:08:59

ポイント25pt

まず f'(x) = -f(x) に注目します。

これは明らかに定数Gを使って

f(x) = G exp(-x)

と解けます。

f(x) を微分する過程で残りの部分が出て来れば良いわけです。

問題の式もこの式に似た形になるはずです。

例えば、G を関数 g(x) だとみなします。

この f(x) = g(x) exp(x) はあらゆる関数形を網羅していますので、

この g(x) を解いても問題の答えが導けます。

実際に計算してみると

f'(x) = g'(x)exp(-x) - f(x)

が成り立ちます。つまり

g'(x) = (- 2x - cosx + 1) exp(x)

です。

あとは普通に解けることと思います。

id:sorakihu

f(x) = g(x) exp(x) と置くところが味噌ですね。ありがとうございます。

2006/12/12 16:34:41
id:kasapakov No.5

kasapakov回答回数10ベストアンサー獲得回数02006/12/12 00:13:34

ポイント50pt

f(x) = u とすると f'(x) = -f(x) - 2x - cosx + 1 より

du/dx = -u -2x - cosx + 1

du/dx + u = -2x - cosx + 1 .

ここで

u(x) = c(x)e^(-x) となる関数cが存在すると考えると、

(c'(x)e^(-x) - c(x)e^(-x)) + c(x)e^(-x) = -2x - cosx + 1

c'(x)e^(-x) = -2x - cosx + 1

∴ c'(x) = -2x(e^x) - (e^x)cosx + e^x .

これを不定積分すると

c(x) = -∫(2x - 1)e^xdx - ∫(e^x)cosxdx

ここで

∫(2x - 1)e^xdx = (2x - 1)e^x - 2∫e^xdx

= (2x - 1)e^x + 2e^x = (2x + 1)e^x

∫(e^x)cosxdx = (e^x)/2(sinx + cosx)

なので c(x) = -(2x + 1)e^x - (e^x)/2(sinx + cosx) + d

= e^x(-2x - 1 - 1/2(sinx + cosx) + d) (dは積分定数) .

よって

u(x) = -2x - 1 - 1/2(sinx + cosx) + d //

だと思う.(もう長いこと積分なんてやってないからぁゃιぃ(^^;)A)

id:sorakihu

ステップバイステップの解説ありがとうございます。大変助けになりました^^

2006/12/12 16:31:46

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