3つ元からなる集合X={a,b,c}について

1.X上の同値関係はいくつあるか。
2.X上の2項演算は全部で3^9=19683個ある。Xがaを単位元とする
群になるような演算*をひとつ求めよ。
よろしくお願いします。

回答の条件
  • URL必須
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/01/15 01:48:37
  • 終了:2007/01/15 07:10:58

ベストアンサー

id:yo-kun No.1

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302007/01/15 03:28:22

ポイント100pt

1.

同値類に分けることを考える。

同じ同値類に属するものを同値とすれば

同値関係の数と同値類の分け方は1対1に対応する。

同値類の分け方としては

{a,b,c}

{a,b}{c}

{b,c}{a}

{c,a}{b}

{a}{b}{c}

の5通りあり、同値関係も5つある。



2.(以下a,b,cは全て異なるとする)

aを単位元とするのだから

a*a=a

a*b=b

b*a=b

a*c=c

c*a=c


また群は逆元を持つので

b*x=a

x*b=a

となるbの逆元xがXに存在する。


(i)x=bのとき

b*b=a

ここでb*cを考えると単位元は唯一aのみなのでb*c=bではありえない。

またbの逆元はbに対して唯一定まるので(この場合b)b*c=aもありえない。

すると

b*c=c

となるがこれは単位元が唯一aだけという仮定に反する。

したがってx=bではありえない。


(ii)x=cのとき

b*c=a

c*b=a

残るはb*bとc*cであるが

単位元は唯一aのみなのでb*b=bではありえないし、c*c=cではありえない。

またbの逆元はbに対して一意的に定まるので(この場合c)b*b=aでもありえない。よってb*b=c

同様にc*c=b


以上より演算表を書くと

a b c
a a b c
b b c a
c c a b

http://q.hatena.ne.jp/

id:yonoyume

たいへんわかりやすい解答でした。

ありがとうございました。

2007/01/15 07:08:54

コメントはまだありません

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません