論理的演算A⇒Bで、Aが偽のときは、Bの真偽にかかわらずA⇒Bは真であるということがわかりません。

わかりやすい説明を教えてください。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2007/01/17 10:56:35
  • 終了:2007/01/20 06:58:07

回答(9件)

id:SALINGER No.1

SALINGER回答回数3454ベストアンサー獲得回数9692007/01/17 11:22:31

ポイント16pt

これは「含意」ってやつで、「ならば」って意味です。

日本語のならばってことで=と混同しやすいようで、論理では

Aが真ならばBも真である。しかし、Aが偽ならばBは真偽どちらでもよい

ってことです。

http://www.amazon.co.jp/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%...

id:mari108

ありがとうございます。

まだよくわかりません。

2007/01/17 13:44:07
id:kilrey No.2

kilrey回答回数16ベストアンサー獲得回数02007/01/17 12:50:18

ポイント16pt

A⇒Bを翻訳すると「もしAならばBが成り立つ」ということになります。つまりA⇒Bの真偽値とは「もしAならばBが成り立つ」が成り立つかどうかということになります。

Aが偽の場合、「もしAならば」という条件に該当していません。なので「もしAならばBが成り立つ」は常に成り立ちます。

勘違いしがちなのはA⇒Bの真偽値を、もしAならば「Bが成り立つ」かどうかと考えてしまうことです。

この場合はAでない場合が考慮されておらず、真偽値が定義出来ません。

id:mari108

ありがとうございます。

すこし納得できたようです。

2007/01/20 06:38:18
id:SevenS No.3

SevenS回答回数51ベストアンサー獲得回数32007/01/17 14:11:42

ポイント16pt

まずはじめに、論理数学における「含意」は、日常言語「ならば」とは似て非なるものです。


問題の命題「AならばB」は、言い換えれば「Aが真ならBが真」となります。そして、その論理式の真理値が真であるということは、その命題に違反しないということです。それを踏まえると


Aが真,Bが真: 命題と一致するので「真」

Aが真,Bが偽: 命題に違反するので「偽」

Aが偽,Bが真: 命題にはAが偽のときの規則がない(違反しない)ので「真」

Aが偽,Bが偽: 命題にはAが偽のときの規則がない(違反しない)ので「真」


となります。

その他、解決の糸口となりそうなものとして、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E5%81%B6

命題「AならばB」の対偶は「BでないならAでない」である。

がありましたが、私には解決できなかったので掲載にとどめます。

id:mari108

違反しないので真ということですね。

2007/01/20 06:39:59
id:math-velvet No.4

math-velvet回答回数4ベストアンサー獲得回数02007/01/17 15:44:20

ポイント16pt

質問者様の気持ちはよくわかります。普段の生活から想像すると、腑に落ちないと思う人は多いと思います。

ただ、AとBがともに真であるとき、A⇒Bが真、それ以外は偽であるというのは定義なので仕方がありません。

例えが不適切かもしれませんが、以前私の先生から下記のように教わりました。

 Don't move or I'll kill you.(動くな、さもないと殺すぞ)

 If you move, I'll kill you.(動いたら殺すぞ)

は同じ意味です。

つまり、(Aの否定) or B と、 A⇒Bは同じということを説明したのですが、これは理解しやすいです。

id:mari108

定義ですか。

2007/01/20 06:41:46
id:T_SKG No.5

T_SKG回答回数206ベストアンサー獲得回数182007/01/17 14:19:54

ポイント16pt

色々説明のつけかたはあるようですが、偽を0、真を1として、

A⇒B とは実は、A≦B だと思うと、覚え易いと思います。


無理に「含意」を訳して、


Aが成立しておれば、Bは成立するはず。


つまり、Aの方が成立条件が甘いか等しい。


つまり、Aの閾値は、Bの閾値より小さいか等しい。


と言い換えても覚えておくと良いと思います。


A B A≦B

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

id:mari108

ありがとうございます。

なるほど。

2007/01/20 06:43:41
id:EdgarPoe No.6

EdgarPoe回答回数266ベストアンサー獲得回数462007/01/17 15:16:41

ポイント35pt

初めまして。E.A.Poe(知のくずかご)と申します。

主題:「論理的演算A⇒B」を日常の言葉に落として考えたときの説明

--

本来は「定義により」などとするのだと思いますが、小生の得意な「日常の言葉に落として考える」説明をしてみたいと思います。

お父さんがこどもに約束しました。

「明日晴れたら、遊園地に連れて行くよ」

A=明日晴れる・B=遊園地に行く とします。

--

1:晴れた場合に遊園地に連れて行く

端的に約束を守った父親で、正しい行動です(A⇒B は真)

2:晴れた場合に遊園地に連れて行かない

単に約束を守らなかった父親で、悪い行動です(A⇒B は偽)

--

さて、ここからです。

3:雨が降って遊園地に連れて行かなかった場合

「お父さん、遊園地に連れて行ってよ」「ダメダメ。お父さんは『晴れたら』と言っただろう?今日は雨だから遊園地には行かない。代わりに屋根のある東京ドームでも連れて行ってやろう」

約束をタテに行動した父親で、正しい行動です(A⇒B は真)

4:雨が降って遊園地に連れて行った場合

「おい、起きろ。遊園地に行くぞ」「え?雨降ってるよ?」「お父さんは『晴れたら』の時は約束したけれども雨が降ったら』に関しては何も約束していない。だから、どこに行ってもイイ。遊園地に行くぞ!」「えー。雨の遊園地なんて行きたくないよー」「行くったら行く!」

ひどい父親ですが、これも正しい行動といえます。3において「雨の時は約束していない」=「どこに連れて行ってもイイ(例えば東京ドームなど)」を際だたせるために、敢えて「雨の遊園地」にしてみた例です。ですから、父親の行動は正しいのです。(A⇒B は真)

--

以上をまとめると

A⇒B を偽とするには、「Aが成り立ちBが成り立たない時(2の例)のみ」となります。

従って、3・4 (Aが偽のとき)をまとめて「論理的演算A⇒Bで、Aが偽のときは、Bの真偽にかかわらずA⇒Bは真」と解釈するのがよいように思います。


--

以上の内容は、小生がかつて自分のダイアリで詳しく述べたことの抜粋です。もしご興味がありましたら http://d.hatena.ne.jp/EdgarPoe/20050412#p1 をごらん頂けると幸いです。

--

お役に立ちますかどうか。

id:mari108

ありがとうございます。

わかりかけてきました。

2007/01/20 06:45:03
id:castiron No.7

castiron回答回数418ベストアンサー獲得回数302007/01/17 15:25:56

ポイント15pt

よくわからないのですがこういう事なのではないでしょうか?(最近こんな質問を見た)

真を正直者、偽を嘘つきだとするといかに二つの例について考えてみるとどうでしょう。

1:私は正直者です。

2:私は嘘つきです。

「私」が正直者だとするならば

1は「私」が正直者ならば正直に答えるので「私は正直者です」は正しい。

2は「私」が正直者ならば正直に答えなければならないので「私は嘘つきです」は成り立ちません。

次に「私」が嘘つきならば

1は「私」は嘘つきなので嘘をつくはずです。なので「私は正直者です」は成り立ちます。

2は「私」は嘘つきなので「私は嘘つきです」は成り立ちます。

これであっているのか?自信無しです!

id:mari108

ありがとうございます。

何か少し複雑になってきたようです。

2007/01/20 06:47:23
id:endeavor No.8

すまーとぼーい回答回数78ベストアンサー獲得回数12007/01/17 23:16:22

ポイント37pt

私も最初聞いたときは何故と思いましたが、よく考えてみるとかなり自然な解釈でした。

「論理式「A→B」が正しい(true)か間違ってる(false)か」というのは「AならばB」という述語自体が正しいかどうかということを聞いているだけであって、A,B個々の真偽は直接は関係ないことです。

たとえば

A=彼は日本人である

B=彼は米を主食としている

とした場合、

「彼は日本人であるならば彼は米を主食としている」(※1)ということが正しいかどうかは、「彼が日本人であるのに米を主食としていない」場合のみ間違っているということになり、彼が日本人でなければ米を主食としていようがパンを主食としていようが(※1)は間違っていない(つまり真か偽のいずれか一方であらわさなければいけない論理式では真)ということになりますよね。

id:mari108

ありがとございます。

基本的には、ていぎだということみたいですね。

2007/01/20 06:51:33
id:Wize No.9

Wize回答回数65ベストアンサー獲得回数92007/01/20 04:20:43

ポイント15pt

A⇒Bと言った時、まず、A、Bそれぞれに真偽があることはお分かりでしょうか?

例えば、a=2 ⇒ a*a=4

というような命題を考える時、

普通は両辺共に真である時しか考えません。

しかし本当はa=3だったとします。(すなわちAが偽)

このときa*a=9となり、Bは偽になりますが、

この時、「a=2 ならば a*a=4」ということに何の代わりもありません。

ここまでは良いのですが・・・・

次に、a=2 ⇒ a*a=5

という命題を考えます。

この命題は、普通なら真ではありません。

しかし、もしaが「絶対に2にならないような」数だったとしましょう。

この時、a*a=5 は偽かもしれませんし、真かもしれませんが、

「a=2 ならば a*a=5」は真なのです。

変に感じるかもしれませんが、(というか実際、普通の感覚とは異なりますが)

論理演算の真とは、「間違っていることが示せなければ真」というようなものだと考えてください。

id:mari108

ありがとうございます。

2007/01/20 06:56:31
  • id:math-velvet
    No.4のものです。
    すみません。間違えたことを書いてしまいました。

    「AとBがともに真であるとき、A⇒Bが真、それ以外は偽である」
    と書きましたが、これは誤りで
    「Aが真、Bが偽であるとき、A⇒Bが偽、それ以外は真である」
    に訂正してください。
  • id:T_SKG
    5.で回答した T.SKG です。

    間違えていました、ごめんなさい。

    > つまり、Aの方が成立条件が甘いか等しい。
    > つまり、Aの閾値は、Bの閾値より小さいか等しい。

    これだと逆です。

    Aの方が成立条件が狭いか等しい。
    Aの方が許容範囲が小さいか等しい。

    だと思って下さい。
    ----------------------------------------------
    「含意」は確かに下記のように、推論に使用されますが「ならば」
    という訳は、かなり苦しいものだと思います。
    (他に適当な言葉がなかったのでしょうが)

    A⇒B で B⇒C がともに真なら、A⇒C ですが、
    これは単に、
    A≦B で B≦C がともに真なら、A≦C ということです。

    ウキペディアの命題論理の項
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C%E8%AB%96%E7%90%86
    ----------------------------------------------
    「ならば」にこだわらず、真と偽の間の、二項演算子の一つに「含意」
    というものがある。でよいと思います。

    下記のページの「2変数の論理演算一覧表」をみてください。それぞれの
    演算のタイプに 論理積 や 論理和 といった名称がありますが、その一つ
    にタイプの演算に、もっともらしい名称をつけたわけです。

    http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/boolean2.html
  • id:T_SKG
    自分でも間違えておいて、人様のことを言えたものでは無いのですが

    7.の方の回答は「クレタ人のパラドックス」とか「自己言及のパラドックス」
    という、古くから有名なもので、未だに解決されたようなされてないような
    問題です。

    論理演算の「含意」とは、一応切り離した方が良いかと思います。
  • id:bathrobe
    論理学でのA⇒Bは、A⊂Bです。
  • id:T_SKG
    しつこいようですが、回答の方で嘘を書いてしまったので、

    >Aが偽のときは、Bの真偽にかかわらずA⇒Bは真であるということがわかりません。


    Aが偽のときは、Bの真偽にかかわらず A⇒B を 偽 とすると、演算は結果は
    (偽を0、真を1とします)下記のようになり、

    A |0 0 1 1
    B |0 1 0 1
    --+-------
    結|0 0 0 1 ← これは「and」とか「論理積」と呼ばれるものです。


    Aが偽のときは、Bの否定を演算の結果だとすると、

    A |0 0 1 1
    B |0 1 0 1
    --+-------
    結|1 0 0 1 ← これは「同値」あるいは「等価」つまり A=B か否かの判定です。


    and も = も、いづれも、日本語の「ならば」に近い感じがしますが、
    演算子としては、すでに別の名称が付いています。

    Aが偽のときは、Bの真偽を演算の結果とする。と定義してみると
    感覚的には、「ならば」にぴったりに思えますが・・・

    A |0 0 1 1
    B |0 1 0 1
    --+-------
    結|0 1 0 1 ← 実は、Aの真偽に関わらず、Bの値が使われています。


    ・・・なにも二項演算を行う必要がないことがわかります。

    さらに加えると、A≦B や A≧B の演算を「ならば」として採用すると
    A≦B と A≧B が、同時に成立するなら A=B であることが導けます。
    A⇒B と B⇒A が、同時に成立するなら A⇔B であると使えますし、

    また、前述のように、
    A≦B と B≦C なら、A≦C ですから、 ←(注1)
    A⇒B と B⇒C なら、A⇒C という推論にも利用ができます。

    A<B でも、推論できそうですが、これでは、A<B と A>B を同時に
    成立することができません。

    A≦B に相当する演算を「ならば」名付けたのは、上述のような理由
    からだと思われます。しかし上の(注1)を付けた文のように、文中に
    「なら」とか「ならば」という単語が出てきます。

    せっかく、自然言語の曖昧さから逃れるための、記号論理なのに、⇒
    を「ならば」と読んでしまうと、記述対象の命題と、記述そのもの
    (メタ論理とでも呼ぶべきもの)を混乱させてしまう恐れが多分に
    でてきます。

    ⇒ とは「含意」という二項演算子で、別名で「ならば」と呼ばれる
    こともあると思うのが良いでしょう。

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