1169412979 ベータ関数の性質のひとつである対称性(シンメトリー)の証明の仕方を教えて下さい。また、WikipediaとMathWorld以外でベータ関数に関して詳しく説明しているサイト(特に応用*を具体例を使って説明しているサイトなどがあれば、是非!)をご存じでしたら、どうぞ教えて下さい。


*例:ベイズ確率(http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_probability#Probabilities_of_probabilities)で少し出てきます。こんな感じで、もうちょっと詳しいもの。特に、何故これが優れているのか(使い勝手がいいのか)が説明してあるもの。

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  • 登録:2007/01/22 05:56:19
  • 終了:2007/01/28 10:52:40

回答(1件)

id:a_b_y No.1

a_b_y回答回数16ベストアンサー獲得回数62007/01/23 19:42:46

ポイント60pt

対称性ってB(x,y)=B(y,x)でいいのでしょうか。(違っていたらすみません。)

B(x,y)=\Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)から明らか、というのは反則っぽいので無しとして、定義式の積分は単に実変数tについて積分しているだけなので(xとyが複素数であっても)t→1-tと変数変換すればOKです。

応用ついてはいい例が思いあたらなかったのですが、

> 特に、何故これが優れているのか(使い勝手がいいのか)が説明してあるもの。

に関しては、

http://www.bunkyo.ac.jp/faculty/lib/klib/kiyo/hum/h26/h2602.pdf

のp.12に書かれていることが少し参考になるかもしれません。

質問の主旨からは外れますが、ベータ関数みたいな特殊関数は思いがけない所でひょこっと出てきたりするのでおもしろいです。例えば「ベータ分布はn次元球面上で一様に分布する点の配置に密接な関係がある(http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/225sekibun.htm)」とか。

id:shimarakkyo

ほぼ完璧に「求めていた回答」です。

ありがとうございます!!

>t→1-tと変数変換すればOK

ああ、本当だ。。。 うわー、何で分かんなかったんだろ。すごい、がくーっときました。

リンク先もとても参考になりました。本当に有り難うございます。

2007/01/28 10:52:13
  • id:shimarakkyo
    文章の中にtexを放り込む事も出来るんですね(で、ですよね?)。すごい! 

    一体どうやって。。。

  • id:a_b_y
    tex記法
    http://hatenadiary.g.hatena.ne.jp/keyword/%E6%95%B0%E5%BC%8F%E3%82%92%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E3%81%99%E3%82%8B%EF%BC%88tex%E8%A8%98%E6%B3%95%EF%BC%89

    コメント中でも使えるといいんですがねぇ。
  • id:shimarakkyo
    おお、ありがとうございます!
    そうですねぇ、コメントでも使えると便利ですよね。

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  • memomemo 2007-01-24 03:07:05
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