数学の問題です。


半径aの円に内接する三角形があります。

この三角形の各辺の中点を通る円があります。

この円の面積をaを使って表して下さい。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/02/01 15:58:32
  • 終了:2007/02/08 16:00:04

回答(7件)

id:NAPORIN No.1

なぽりん回答回数4725ベストアンサー獲得回数8742007/02/01 16:23:24

ポイント10pt

三角形の相似を使う問題ですね。

最初の円の面積の1/4になるでしょう。

これは中学生の宿題ではないのですか?

id:math-velvet No.2

math-velvet回答回数4ベストアンサー獲得回数02007/02/01 16:42:04

ポイント10pt

外側の三角形と、この各辺の中点を結んだ内側の三角形は2:1で相似になる。

正弦定理を考えると、2つの三角形に外接する円の相似比は2:1、よって面積比は4:1なので、求める面積は

\frac{\pi a^2}{4}

これでいかがでしょう?

id:blue-willow No.4

blue-willow回答回数17ベストアンサー獲得回数22007/02/01 17:52:46

ポイント10pt

答はπ(a/2)^2ですね。


三角形の各辺の中点を結んで作った小さな三角形は、

内側の小さい円に内接する三角形です。

この小さな三角形は元の大きな三角形と相似で、

相似比は2:1です。


よって、大きい円と小さい円の半径の比も2:1となるので、

小さい円の半径は(a/2)です。

これより、円の面積は答はπ(a/2)^2

id:misahana No.5

misahana回答回数15ベストアンサー獲得回数02007/02/01 23:41:28

ポイント10pt

三角形の各辺の中点を結ぶと元の三角形と相似比2:1の三角形ができる。

求める円の面積はこの三角形に外接する円なので、元の円との相似比も2:1。

よって面積比は4:1。元の円の面積はπa^2なので、求める円の面積はπa^2/4

id:hujikojp No.6

hujikojp回答回数101ベストアンサー獲得回数72007/02/02 03:37:30

ポイント10pt

答えは \frac{\pi}{4}a^2 です。もちろん、これは三角形がどんな形でも同じです。

証明の概略は以下のとおり:

△ABCをあたえられた三角形とします。この外接円の面積は \pi a^2です。

辺BC,CA,ABの中点をそれぞれ D,E,Fとします。DEFをとおる円の面積がこの問題の回答ですが、これは△DEFの外接円の面積としても同じです。

ここで△ABCと△DEFは相似で、比率は 2:1です。

∵中点連結定理により辺ABと辺DEは平行。別の二辺についても同じことが言え、これから頂点A,B,Cの角度はそれぞれ頂点 D,E,Fの角度と等しいため。

また、中点連結定理により辺の比率が 2:1であることも導かれる。

よって、「△DEFと外接円」は「△ABCと外接円」に相似で 1/2の大きさです。

よって、求める面積 (△DEFの外接円) は△ABCの外接円の (1/4)倍になります。

id:drill256 No.7

かえる回答回数175ベストアンサー獲得回数72007/02/07 08:39:40

ポイント10pt

内接する三角形が円の中心を含むなら、1/4 * pi * r^2

そうでなければ0より大きく1/4 * pi * r^2以下

  • id:Kotobuki_F
    三角形は正三角形とは限らないのかな?
  • id:perishable
    正三角形とか限らない。

    もしかして正解は
    π(a/2)^2
    か?
  • id:Kotobuki_F
    ちなみに正三角形だと内側の円は外側の円の1/2の半径になるので,面積は

     π・a^2/4

    でいいと思う。
  • id:yocchan731
    円に内接する三角形の各辺の中点を通る円を描くためには,
    内接三角形は正三角形である必要がある.
    そのため,半径aの円の中心O1と三角形の各辺の中点を通る円の中心O2は同じ点である.
    三角形の頂点と円の中心を結ぶ線分は半径aに等しい.
    また,三角形の辺の中点と円の中心を結ぶ線分は三平方の定理より,a/2となる.
    これは三角形の各辺の中点を通る円の半径である.
    よって,三角形の各辺の中点を通る円の面積は,
    π*(a/2)^2
    となる.
  • id:Kotobuki_F
    内側の円は三角形に内接する,という条件がないので正三角形である必要はないはず。
  • id:perishable
    >円に内接する三角形の各辺の中点を通る円を描くためには,
    >内接三角形は正三角形である必要がある.

    そんなことないでしょ。別に内接三角形は、二等辺三角形だって鈍角三角形だって鋭角三角形だっていいと思うのですが。
  • id:yocchan731
    内接三角形が正三角形でない場合,
    「内接三角形の各辺の中点」を通る円が描けないような気がするのですが・・・
  • id:perishable
    >「内接三角形の各辺の中点」を通る円が描けないような気がするのですが・・・

    該当する点は3つあるわけです。
    任意の3点は、どのような位置関係の3点(同じ位置でなければ)であっても、3点を通る円は書けますよね。

    よって、内接三角形に条件はないと思います。
    任意の内接三角形です。
    正三角形である必要はありません。
  • id:yocchan731
    そかそか.理解しました.
    そうですね.正三角形である必要性はないですね.
  • id:tsubo1
    半径aの円の中心を(0,0)、この円に内接する3点A,B,Cの座標をそれぞれ
    A(acosα,asinα)
    B(acosβ,asinβ)
    C(acosγ,asinγ)とおく。α、β、γはそれぞれ異なるものとする。
    AB、BC、CAの中点をそれぞれP,Q,Rとすると
    P((acosα+αacosβ)/2,(asinβ+αasinβ)/2)
    Q((acosβ+acosγ)/2,(asinβ+asinγ)/2)
    R((acosγ+acosα)/2,(asinγ+asinα)/2)
    ***
    PQRの外接円を求める。
    PQの垂直二等分線の式:_____
    QRの垂直二等分線の式:_____
    この二本の直線の交点は:(,)
    同様にして、、、、
    ***
    これでいいのかな。
  • id:tsubo1
    あ、中点を結んだ三角形は中点連結定理で、元の三角形と相似になるから↑こんなややこしいことは必要ないか。
  • id:kuro-yo
    中点を結んだ三角形はそのまま円の内接三角形になるので、
    三角形の面積比がそのまま円の面積比になります。
    三角形の面積比は4:1なので…

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません