f(x)=x4-4ax2+2a2-4a+1の最小値をm(a)とするとき、m(a)を求める。


各項の右端の数字は乗で読んでください。
x2=Xとおいてその後の±の変化の過程が分からないので説明をしてください。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2007/04/10 00:12:35
  • 終了:2007/04/11 18:18:40

回答(3件)

id:MonsieurU No.1

MonsieurU回答回数80ベストアンサー獲得回数62007/04/10 00:43:38

ポイント30pt

「x^2」を「xの2乗」とします。


f(x)=x^4-4ax^2+2a^2-4a+1

x^2=X (Xは正の実数)とすると

g(X)=X^2-4aX+2a^2-4a+1

g(X)はX^2の係数が正の二次関数なので下に凸の放物線となります。


g(X)をXについて微分すると

g'(X)=2X-4a


g'(X)=0となるのは

2X-4a=0

X=2aのときなので、


放物線g(X)はX=2aのときに最小値を取ります。よって

m(a)=g(2a)=(2a)^2-4a(2a)+2a^2-4a+1

=-2a^2-4a+1


となります。

x^2=Xとした時点で、この問題は二次関数の問題なのでX^2の係数が正か負かで放物線の凸の上下が逆になります。

id:komattapeko

ご回答有難うございました。

2007/04/10 22:15:53
id:nobady No.2

nobady回答回数12ベストアンサー獲得回数02007/04/10 01:24:20

ポイント30pt

x^4-4ax^2+2a^2-4a+1     X^2=Xとおく

=X^2-4aX+2a^2-4a+1    -4aXに注目し+(2a)^2-(2a)^2を追加

=X^2-4aX+(2a)^2-(2a)^2+2a^2-4a+1 (X^2-4aX+(2a)^2-(2a)^2)と完全平方の形にする

=(X-2a)^2-4a^2+2a^2-4a+1  

=(X-2a)^2-2a^2-4a+1    (X-2a)^2>=0でX=2aの時(X-2a)^2=0なので

X=2aの時,最小値m(a)=-2a^2-4a+1となる。

id:komattapeko

ご回答有難うございました。

2007/04/10 22:15:43
id:yo-kun No.3

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302007/04/10 15:57:21

ポイント60pt

若干補足します。


X=x^2とおいた時点でX≧0なので

下に凸な放物線X^2-4aX+2a^2-4a+1のX≧0部分での最小値を求めねばなりません。

従って放物線の頂点X=2aがX≧0の範囲にある場合、すなわち

a≧0の場合はお二方の解で結構ですが

放物線の頂点X=2aがX<0の範囲にある場合、すなわちa<0の場合は明らかにX=0のときに最小値をとります。


よって以上より


(i)a≧0のとき

m(a)=-2a^2-4a+1

(ii)a<0のとき

m(a)=2a^2-4a+1


が解かと思われます。

id:komattapeko

ご回答有難うございます。

問題集の解説には

2a<0すなわちa<0の時

m(a)=2a^2-4a+1 ※

  =2(a-1)^2-1

2a≧0すなわちa≧0の時

m(a)=-2a^2-4a+1

  =-2(a^2+2a)+1

  =-2(a+1)^2+3

となっているのですが、※の所から±の変化の意味がわからないので、ココの部分からの解説が欲しいのです。 

2007/04/10 22:15:48

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