フェルマーの定理の証明に関して、ゲルハルト・フライが提示した式

y^2=x^3+(A^N-B^N)x^2-A^N*B^N
を、
A^N+B^N=C^N
から導く方法を教えてください。
新潮文庫の「フェルマーの最終定理」を読んでいるのですが、その導き方だけ触れられておらず非常に気になっています。

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  • 登録:2007/04/11 20:17:53
  • 終了:2007/04/18 20:20:03

回答(2件)

id:quintia No.1

quintia回答回数562ベストアンサー獲得回数712007/04/12 10:39:30

ポイント35pt

回答がつかないようので門外漢ながら。

y^2=x^3+(A^N-B^N)x^2-A^N*B^N

A^N+B^N=C^N

から導き出すものではないです。


もし仮にフェルマー予想が誤っていると仮定すると、

A^N+B^N=C^N

を満たすようなA,B,Cが存在します

その様なA,B,Cの組み合わせに対して、

y^2=x^3+(A^N-B^N)x^2-A^N*B^N

という楕円曲線を想定し、その性質を考察した、というのがゲルハルト・フライの業績です。


もしフェルマー予想が誤っていると仮定すると「この楕円曲線はモジュラーではない」という性質が導きだせるだろう、とフライが予想しました。

その後、ケン・リベットがその予想を証明しました。

「フェルマー予想が誤っているならば、フライの楕円曲線はモジュラーではない」となったのです。


それとは別に「全ての楕円曲線はモジュラーである」という予想があり、かつこれはおそらく正しいだろうと考えられていました。

この予想が証明されれば、

「フェルマー予想が誤っているならば、フライの楕円曲線はモジュラーではない」

しかし、「全ての楕円曲線はモジュラーである」ので矛盾

ゆえに「フェルマー予想は正しい」

という背理法が成立することになります。


そして、「全ての楕円曲線はモジュラーである」予想が証明され、「フェルマー予想は正しい」ことも証明されました。


と、その本にもそう書いてあるのではないでしょうか?


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E3%83%BB%E5%BF%9...

id:Boone

本には、

A^N+B^N=C^N

を並び替えたと書いてありました。

本の表現が誤解を招くものなのかも知れません(私には分かりませんが)。

下記の式

y^2=x^3+(A^N-B^N)x^2-A^N*B^N

が出てきた数学的な過程を知りたいです。

2007/04/12 11:41:17
id:quintia No.2

quintia回答回数562ベストアンサー獲得回数712007/04/12 13:01:28

ポイント35pt

> が出てきた数学的な過程を知りたいです。

なるほど。

詳しくは楕円曲線の判別式について解っている必要があると思うのですが、私は解りませんw

でもそれが強い関わりを持っているらしいです。


http://mathworld.wolfram.com/FreyCurve.html

のページ。

冒頭にでてくるy^2=x(x-a^p)(x+b^p)は、質問にあるy^2 = x^3 + (A^n - B^n)x^2 - A^n B^nと同じです。

aとbを入れ替えて展開すると質問の式になります。

これの判別式Δ(elliptic discriminant)が、(a^n b^n c^n)^2となるそうです(この時点ですでに私の理解を超えています)。URLで示したページではa^{2p}b^{2p}c^{2p}と書いてありますが同じことです。


フライの式では、判別式がこういう形式をしていることが重要なポイントらしいです。

逆に言うと、「判別式がこの形になるような楕円曲線」をフライが見いだしたということなので、

A^N+B^N=C^N

を並び替えた

という記述はそのことを指して言っているのではないでしょうか。

id:Boone

リンク先をみても私の疑問については、

a^p+b^p=c^pに対応するFrey Curveは、

y^2=x(x-a^p)(x+b^p)

だと書いてあるだけです。

なぜ、対応するのか、が知りたいです。

2007/04/15 19:39:17

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  • prima materia diary - フライの楕円曲線 prima materia diary 2007-04-12 19:21:51
    フェルマーの定理の証明に関して、ゲルハルト・フライが提示した式(以下略) http://q.hatena.ne.jp/1176290271 手元にあるフェルマーの最終定理の本では、フライの楕円曲線はとなっている(も
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