x<<1の時

2×(1-e^(-x))/(1+e^(-x))≒x

となる事を証明して下さい。

・eは自然対数の底で2.1828・・・です。
・e^(-x)はeの-x乗です。
・xが小さければ小さい程計算結果がxに近づきます。
■これは、コンデンサのリップル含有率
(リップル変動電圧)/(直流電圧)=1/(fCR)
を導く過程ででてきたのですが、どうしてもこの部分だけ
証明できませんでした。この場合、xが 1/(fCR)となります。
リップルをのこぎり波として近似して計算しました。

よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/04/16 10:14:36
  • 終了:2007/04/17 13:02:22

ベストアンサー

id:imo758 No.1

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192007/04/16 19:32:22

ポイント60pt

与式を3回微分までマクローリン展開、

このとき3回微分を剰余項として扱うと

x→0の極限で剰余項が無視できることがわかる…でよかったはず。

参考:テイラーの定理。例えば

http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa3html/node27.htm...

あと与式は双曲線関数ですね。

id:izumi-0620

ありがとうございました。

双曲線関数に近いな~とは思っていたんですが

確かに計算してみたらtanhそのものですね。

これをテイラー展開したものをみると、なるほどと思う結果になっていました。

2007/04/17 13:01:19
  • id:izumi-0620
    正確には半波整流回路のリップル含有率です。
    回路は
         ↓右側カソード
      __D_____
      |      |   |
    交流電源   C  R
      |____|__|

    です。
  • id:kidd-number5
    >|
    xが小さければ小さい程
    |<

    x > 0、つまり、
    limit x->+0のときその式が成り立つということでしょうか?
  • id:izumi-0620
    そうです。
    0<x<1
    の0<が抜けてました。済みません。
    =0.1とか0.01とかでも
    かなりxに近い計算結果になりました。

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