問:以下の二つは、どちらの方がより簡単だと感じますか?


(1)ある命題が正しい事を示すために、論理的に証明する事。

(2)ある命題が正しくない事を示すために、反例を一つあげる事。

回答の条件
  • 途中経過を非公開
  • 男性,女性
  • 20代未満,20代,30代,40代,50代,60代以上
  • 登録:2007/05/18 18:42:05
  • 終了:2007/05/18 23:11:10

回答(500 / 500件)

Q01以下の二つは、どちらの方がより簡単だと感じますか?(択一)

(1)ある命題が正しい事を示すために、論理的に証明する事。70
(2)ある命題が正しくない事を示すために、反例を一つあげる事。270
どっちも同じ程度に簡単。31
どっちも同じ程度に難しい。82
誰にもわからない。31
その他16
合計500

集計

×
  • id:kuro-yo
    ※補足
    「実際に(論理的に、科学的に)どうか」ではなく、
    「どう感じるか」で答えて下さい。

    その他、突っ込み、などはコメント欄にどうぞ。
  • id:fuk00346jp
    (1)は証明にはならずあくまで「証拠」ですね。
    無い事の証明(悪魔の証明)が出来ない以上 反例(反証)が一つでも出たらアボン
  • id:kuro-yo
    > (1)は証明にはならずあくまで「証拠」ですね。

    (1)は証拠を並べる事という意味ではありません。
    わざわざはっきりと「論理的に証明する事」と書いてありますよね?勘違いなさらないようにお願いします。
  • id:kuro-yo
    終了しました。ご協力ありがとうございました。
    さて、この問の論理的な答は「誰にもわからない」(または一歩譲って「同程度」)であります。

    なのに、大部分の人は、反例を一つあげる方が簡単だと感じるようですね。この事は予想していましたが、しかし、これほど大きな差になるとは思っていませんでした。

    実際のところ、反例が「すぐに見つかる」場合には、反例を一つあげる方が簡単です。しかし、反例はいつもすぐ見つかるとは限りません。ですから、簡単かどうかは、個々の問題ごとに異なり、一般論として反例をあげる方が簡単だと思えるのは錯覚なのです。

    また、ある命題の正しくない事を示すというのは、言い換えれば、その命題を否定した命題を証明する事に他なりません。この時は「反例」と言われていたものは「例」と言い換えられるだけになります。つまり、問の(1)と(2)は本質的に同じ事を言っているのです。ですから、「同程度」に簡単だったり難しかったりします。

    さて、純論理の世界ではこのように明快な事でも、こと、普段の生活の中では、今回のような「錯覚」がまかり通ってしまいます。
    例えば、「私の言った事にすぐ反論できないって事は、私の言った事が正しいって事ですよね?」という議論を、耳にした事のない人はほとんどいないのではないかと思います。すぐに反論できない、というのは、時間をかければ反論できるかもしれないという事でしかないのですがね…。
  • id:kuro-yo
    反例がすぐにみつからない例を一つあげておく事にします。
    (昨夜書いたものは、問題が間違っていましたので、訂正しました)

    今、nが3より大きい整数とします。方程式、
    w^n + x^n + y^n = z^n
    において(z^nはzのn乗という意味です)、
    「この方程式を満たす四つの自然数の組(w,x,y,z)は存在しない」
    という数学の古い命題があります。
    この命題が正しくない事を示す反例を、一つでいいので、あげて下さい。コンピューターを使ってもいいですよ。
    ちなみに、この命題に対する反例が存在する事は既に知られています。
    なお、この命題は、長い間、正しいものと予想されていたそうです。
  • id:EdgarPoe
    小生は「証明する方が易しい」「反例をあげる方が難しい」に一票を入れましたので、kuro-yo 2007-05-19 08:45:10 さんと同じく
    「反例をあげる方が難しい」という意見(感想?直感?感覚?)が多かったのに驚いた次第です。

    --
    で、kuro-yo 2007-05-19 08:56:31 さんにのっかって(笑)もう一つ小生も例を挙げましょう。
    「任意の偶数は2つの奇素数の和で表すことができる」
    #「2」は「1+1」なので別(1は素数に入れないことになっているはずです)。4も「1+3」で別。
    #となると条件として「6以上の偶数」と言わなければならないようですね
    これはゴルドバッハの予想と呼ばれ、おそらく正しいと思われているそうです。
    しかし、証明は未だなされていません。

    この予想は「証明される方が先」でしょうか?それとも「反例が見つかる方が先」でしょうか?

    --
    小生は「証明される方が先」ではないかと思います。フェルマーの最終定理と同じような経緯をたどるのではないかと。
    #フェルマーの最終定理のことがアタマにあったので「同等に難しい」ではなく「証明する方が(ほんのちょっとだけ)易しい(かもしれない)」と考え、
    #「証明する方が易しい」に投票しました。

    もしコンピュータと数学に強い方がおられ、しかも「数学史に名を残してやろう」という野心のある方は、反例を探すプログラムを組んで探し回るのも一興かと存じます。
  • id:kuro-yo
    余談ですが、ゴールドバッハの予想を一般化して、
    「素因数pを含む任意の合成数は、p個の素数(重複可)の和で表せる」
    というのを、私は考えました。小さな数ではだいたい正しいように思えます。
    この書き方で言えば、ゴールドバッハの予想は、p=2の場合ですね。

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