「長さaの非常に細い真っ直ぐなワイヤーの中で等速直線運動をしている一個の自由電子がある。運動エネルギーがp^2/2mで与えられることから、基底状態及び第一励起順位にある自由電子はド・ブロイの物理波の性質を持つことを示せ。」


と言う化学で出た量子力学の問題を解いてください。はじめに解いてくれた方には500ポイント差し上げます。
なるべく今日(5/21)中にお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/05/21 11:01:17
  • 終了:2007/05/21 15:19:51

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id:auren No.1

auren回答回数309ベストアンサー獲得回数42007/05/21 14:55:57

ポイント60pt

長さaで非常に細い、ということなので、一次元の井戸型ポテンシャルと見なして計算することができます。

ここで、x=-a/2~a/2までのポテンシャルを0,それより外部のポテンシャルを無限大にとることを考えます。


まず、内部の波動関数を求めます。Schrodinger方程式

 (-hbar^2 /2m) ∇^2 ψ(x) + V(x)ψ(x) = E ψ(x)

  ※:hbarはh/2π のことです。普通はこんな書き方しませんが、出ないようなので。

  ※:∇は∂/∂xのことです。∇^2=∂^2/∂x^2と読み替えてください。

で、V=0なので

 (-hbar^2 /2m) ∇^2 ψ(x) = E ψ(x)

となります。


これを整理すると、

 ∇^2 ψ(x) = - k^2 ψ(x) ただし k ≡ √(2mE) / hbar …(1)

と置くことができます。この微分方程式は簡単に解くことができて

 ψ(x) = A exp(ikx) + B exp(-ikx) …(2)

となります。


ここで、電子は必ずワイヤーの中にいないといけませんから、x<-a/2 と x>a/2ではψ(x)=0とならねばなりません。

また、このときに波動関数は連続でないといけないので、

 ψ(-a/2) = ψ(a/2) = 0

を満たす必要あります。


これを、(2)式にそれぞれ代入すると、

 A exp(ika/2) = -B exp(-ika/2)

 A exp(-ika/2) = -B exp(ika/2)

これらを片々割れば、

 exp(ika) = exp (-ika)

∴exp(2ika) = 1 …(3)

となります。


さらに、exp(iθ)=1となるのは、θ=2nπi (nが整数)のときだけなので、(3)より

 ka = nπ

∴k = (n/a)π …(4)

となります。このとき(1)式より、

 (n/a)π = √(2mE) / hbar

なので、これをEについて解けば

 E = (hbar n π / a)^2/ 2m

となります。ここで、hbar = h / 2π なので、結局

 E = (nh / 2a)^2/2m となります。


このとき、与えられた式

 E = p^2 / 2m

と比較すれば、

 p = (nh / 2a) …(5)

という結果が出ます。


一方ここで、(2)式に(4)式を代入すれば、

 ψ(x) = A exp(iπ(n/a)x) + B exp(-iπ(n/a)x)

という関係が成立します。波動関数の絶対値の大きさの2乗が存在確率に比例するので、

波動関数じたいの周期性が物質波として振る舞うと考えることができます。


そこで、波動関数の波長をλとすれば、

 ψ(x) = ψ(x+λ)

が成り立つλについて考えます。これは結局、

 exp(iπ(n/a)x) = exp(iπ(n/a)(x+λ))

が成り立つλを見つけることができればよいことになります。


 exp(iθ) = exp(i(θ+2π))

という関係式より、

 π(n/a)λ=2π

∴λ=2a/n

となります。これを(5)式に代入すれば、

 p=h/λ

となり、ドブロイ波の波長と等しくなることが判ります。

ちなみに、基底状態は最もエネルギーが小さい状態なのでn=1、第一励起状態は一つだけエネルギーの高い状態なのでn=2に相当します。


授業でどういうことをされていたのかわかりませんし設問の流れもよくわからないのですが、大まかな流れはこんな感じです。

id:shinmu

ありがとうございます。

非常に助かります。

2007/05/21 15:05:45

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