失業保険についてお尋ねします。現職を6月中旬～下旬に退職し、7月1日付で新しい会社に転職することが決まっております。こういった場合でも、失業保険、再就職給付は受給可能でしょうか。詳しい方、ご回答をお願いします。

結論から言うと無理です。

おそらく自己都合退職でしょうから３ヶ月の待機期間があり、その間は失業給付は支給されません。

また、それとは別に早期就業手当てというものもありますが、

ハローワークへの登録後１ヶ月間は、ハローワークの紹介によって就職した場合にのみ支給されます。

ただし、失業保険をまったくもらわなかった場合は雇用期間の加入期間が継続してカウントされますので（もらった場合は一回リセット）、次回退職時に多めにもらえる可能性はあがります。

ハローワークインターネットサービス

間がそれだけしか空いていなくては無理です。

まず失業保険は離職後、ハローワークに足を運ばなければいけません。

そこで求職申し込みと離職票の提出をして受給資格であることの確認を行います。

その「確認を受けた日」から失業の状態である日が通算して７日間経過しないと支給対象期間になりません。

その７日間のことを「待期期間」と呼びます。

さて、離職理由によっては、この待期期間７日間のあと、さらに３ヶ月間、支給に待ったがかかります（会社都合の場合は７日間ですが、自己都合は３ヶ月です）。

http://www.1sitsugyou.com/basic/taiki_seigen.htm

そして、再就職手当は失業給付の残りがもらえるという扱いなので、失業給付自体もらえない人では受給資格が発生しません。

http://www.hellowork.go.jp/html/info_1_h3b.html