子供の頃からの疑問です。

ゼロ除算 - Wikipedia

ゼロ除算(ぜろじょざん、division by zero)とは、数学において、除数がゼロである除算を言う。

このような除算は正式には \frac{a}{0} と記述され、aが被除数となる。 この式が意味のあるものとなるかは、解釈によって異なる。これは、1/0=xとするとき、0x=1になり、矛盾を生むからである。

詳しくはこんなページを見てみてくださいね。

｢０｣の使用上の注意

教えて！goo 分母が０

ゼロ個のりんごを３人で分けてもゼロ個。貧乏は悲しいなあ。貧乏を何人で分けあっても心があったまっても体がひもじいという事実はかわりませんね。

じゃあ３個のりんごをゼロ人に分けたら？

答えは常識なら「どうでもいい」ですよね。だれの割り当てでもない、宙ぶらりんなものなんだからスキに腐らせてもボール投げして遊んでもどうでもいいよってことです。小学校で「答え、ゼロｱﾏﾘ３」なんていうときもこれに近いかな。

高校の数学的には、

１人に分ければ３個の林檎を、もっと小さい人に与えるとすると０．５人に３個を与えると考えれば１人あたまにもどすと６個もらえるはずで、と少しずつ分ける対象を小さくすることを考えていくのです。

３つの林檎を分けあたえる対象を人ではなく蟻、ノミ、酵母、ウィルスくらいに小さいものにすれば、人一人にたとえれば十分、一生分以上の食料になる量であり、ゼロの存在に対して分けあたえようとするなら自動的に無限大となるわけです。

さらに、こういう話も高校ででてきます↓

ゼロは同じ種類のゼロでなら「通分する」ことができるのです。

林檎が限りなく小さくなり、しかしそれを分けようとする存在も限りなく小さくなり、その縮小の速度が同じとき、

通分して１となります。（まあ、象にとっても酵母にとっても一食分は一食分だよって感じですが、通分することによって、ゼロにまどわされずに本質を取り出せます）

もちろん割る数と割られる数の両方にゼロが存在するからといって、通分でゼロを消しきれない式も沢山あります。結局最高に通分しおわってもゼロが割る数に残った場合、解が「無限大」になり、「発散」するといいます。「無限大」の方は、上で説明した、分けようとする存在がウィルスよりもさらに小さくなる点から考えていったときの言い方、「発散」はそもそも存在しないんだからどうでもいいよに近い考え方の言い方ですが、実際、答えが無いとして扱われることは同じです（高校レベル）。

キレイに通分できたときも、通分する前の式を見れば、ゼロを割ることも、ゼロで割ることも、一応達成したうえで、本質を取り出したのだということになります。

ごまかしと感じられるでしょうか？では逆に、ゼロで割るというのはその、無限大だか発散だかわけのわからない状態を名づけるための式として作り出されたのだと思ってもわかりやすいかもしれません。

N/0=? （Nは0でない）の計算は、見方を変えると、

0*?=N　となる?を求めようとしているといえます。

0は何を掛けても0ですので、0でないNになるような数の

?は存在しない（不能）ということになります。

また、Nが0である場合は　0*?=0　となる?を求めるわけで、

これは?がどんな数でも成立（0にはどんな数を掛けても0）し、

?が定まりません（不定）。

ということで、どちらも解が無いのでそういう計算はしない

約束になっているのです。

数学的に困ったことになるので割れないことになっています。

1÷0は分数で1／0これだとどうやって計算していいかわからないですよね。

そこで0を0に近い数字にしてみます。

1/0≒1/0.1＝10

もっと0に近づけます

1/0≒1/0.01＝100

・・・・・

1/0≒1/0.0000000001＝10000000000

ずーと小数を小さくしていっても0にならないのですが

1/0はどんどん大きくなって

1/0は無限大になってしまいます。

＝は同じものなので　1/0は同じものが無い。

0では割れないって事になっちゃいました。

すごくわかりやすい解説をしているところがあったのでそのまま引用です。

5÷0の答えはなんだと思う？
　　「わからない」「0」「？」
じゃあさ，15÷3の答えは？
　　「5」
そうだよね．どうして？
　　「15個のものを3人で分ければ5個ずつだから」
え，いつもそうやって割り算してるの？
　　「・・・」
15÷3の答え5を出すとき，何してる？
　　「三五十五」
お！掛け算の九九だね．えらい，よく知ってる！　おれさぁ，いまだに7の段の後半が苦手でさ．しちろく四十八とか言っちゃう時がある．
それはともかく， 15÷3の答えが5なのは，15＝3×5 だからなんだよね．
じゃあ，5÷0 の答えを □ とするよ．すると 5＝0×□ じゃなきゃだめだよね．
0倍したらどうなる？
　　「みんな0」
だよねー．0倍して5になるような数は？
　　「全然ない」
そう，ＯＫ！ ，5÷0 の答えは『全然ない』んだよ．

次にさ，0÷0 の答えを □ とするよ．すると 0＝0×□ じゃなきゃだめだよね．
□ は 0倍して0になる数が入るよ．
それはどんな数？
　　「なんでも」「全部」
正解！みんな良くわかるなぁ．
0で割ると『全然ない』か『全部』になっちゃうから，意味ないでしょ．だから数学では，そんな無意味なことは考えないことにしているんだ．

http://www.uja.jp/contents/math/divbyzero.html

本質的には割り算というのは「分けること」が本質ではなく「１あたりを求める」こと。

そして掛け算は「1あたりがいくつぶんあるか求める」ことです．したがって数学的には 割り算は掛け算の逆算　になるということです。

「割り算」と一口に言っても、生活の中で使う場面では「等分除」と「包含除」があります。

http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/WebHelp/html/page/31/31_04....

等分除は、

「～～個のものを～～人で分けると、一人分は何個かな」

という形式。

包含徐は、

「～～個のものを、一人に～～個ずつ分けると、何人にわけられるかな」

という形式です。

前者、「０人で分ける」だと想像しづらいので、後者の包含徐で考えてみましょう。

まず助走問題から。

問１「６個のりんごを、１人２個づつわけます。何人に分けられるでしょう」

簡単ですね。

式：６÷２　答え：３人

続いて数字を変えて、

問２「６個のりんごを、１人１個づつわけます。何人に分けられるでしょう」

より一層簡単ですね。

式：６÷１　答え：６人

では、

問３「６個のりんごを、１人０個づつわけます。何人に分けられるでしょう」

式：６÷０　答え：………？

「０個づつ分ける」ということは、つまり分けてないわけで、「何人に分けられるか」という質問は無意味になります。

単に渡したふりだけしてるわけですね。

ある意味では、私もあなたも「りんごを０個」受け取っているわけですから、

「無限大の人数に分けられる」

と答えることもできます。

「答え：∞人」

でしょうか？

（数学に詳しい人からは、「無限大は数じゃない」って怒られそうでもありますね）

では、上の３つの問題について、検算をしてみましょう。

割り算の検算は、

「割る数×答え＋あまり＝割られる数」

となるかどうかを確かめれば良いのです。

（今回はあまりはないですが）

問１。

「２×３＝６」

合っています。

問２。

「１×６＝６」

これも合っています。

問３。

「０×∞＝………？」

検算が不可能になります。

こういった問題には、おそらく高等数学では回答があるのでしょうが、残念ながらこれは小学生には手に余ります。（私の手にも余ります）

このため、ゼロ除算はしないことになっているのです。

（実際生活で必要にならない、ということもあります）

だから、

「存在しない数で割ることはできない」

……というのは、間違いではないけれど、はっきり正しくもない気がしますね。

たぶん、「存在しない答えが出てしまうから」という方が正しいんじゃないでしょうか？

（「∞は存在する！」とか怒られそうですが）

これが、割られる数が０、というのであれば、

「０個のりんごを１人２個ずつ配ると何人に分けられますか」

という問題になります。

式：０÷２＝０

要するに、箱を開けてみたら中身は空っぽ、という状況ですから、「誰にも分けられない＝０人」ということになります。

検算をすると、

「０×２＝０」

ですから、正しい答えだということになります。

いかがでしょうか？

６個のりんごを３枚のお皿に分けると１枚のお皿に２個のりんごが乗ります。

では、６個のりんごを０枚のお皿に分けることにしましょう。

「無いお皿に乗せることはできない。」

ですから、答えはできないということです。

０個のりんごを３枚のお皿に分ける場合は、１枚のお皿にりんごが乗ってはいないけれど、

確かにお皿はあってそこにりんごが無いということなので、答えは０個となります。

と私は考えるのですが、どうでしょう？

>「リンゴを分ける」という前提条件がクリアされていないじゃないか。

「手元（分ける前）のリンゴを、何回の配る操作（取り去る操作・まね可）

によって無くせるか」を考えてみては。

手元から無くせることが、前提条件。

３個のリンゴを０個ずつ配ろうとしても、手元からなくならない。

→幾らやってもクリアならず。（不能）

０個のリンゴを０個ずつ配るとすると、既に手元には無いのだが、

何度でも配る（まねが）できる。

→前提クリアしたけど、回数は一意に求まらず。（不定）

私は数学を専攻していませんが・・。

□÷0という式を使ってはいけない理由は、

割り算として定義されていないからです。

割り算[割り切れる場合]の定義とは、

整数 m と n に対して、m = qn を満たす整数 q が唯一つ定まるとき、m ÷ n = q, q = m / n などと表して、m は n で整除（せいじょ）される、割り切れる（わりきれる、divisible）あるいは n は m を整除する、割り切るなどと言う。

つまり m= 12, n = 4とすると、12=q×4を満たす整数qは、

q=3と唯一つ定まり、m÷n=q(12÷4=3)と書くことができます。

逆に言えば、12=q×4のqが唯一つに定められない場合は、

そもそも12÷4=ということは定義されていないため、

使ってはいけません。

0で割ることは、これにあたります。

12=q×0のqを唯一つに定めることができません。

割り切れない場合も式変形をすればよいので同様です。

定義されていないことを数学で勝手に使うことは許されていません。

小学校の2年生の図形で[言葉までは説明しませんが、定義と定理の違いの初歩の初歩を学びます]三角形の定義について学びます。

三角形とは

・三本

・囲まれている

・直線

[水を入れたときにあふれないとかそういう指導をすることがあります。]

と学びます。[内角の和などは高学年]

この定義を元に、三本の曲線で囲まれた図形は三角形ではないと、

子ども達に判断させていくのです。[三角形の定義に当てはまらないから、これは三角形ではない。と。日常的には三角形で通用するくらいの図形なのですけどね。]

すなわち定義は証明できません。[定理は証明できます。]

今回の場合、0で除算することは、除算すること自体が

定義されていません。つまり割り算でさえありません。

個人的な気持ちでは、掛け算と割り算は対等の関係ではなく、

掛け算⊃割り算

だと思っています。

例を挙げると曲がった線を指差して、なんでこれは直線ではないのですか？なんで曲がっていたら直線といってはだめなんですか？と聞くようなものです。

[また0で割っても無限大にはなりません。限りなく近い0に近い0でない数で割ると無限大になります。]

子どもに聞かれたら、「どうしてだと思う？」と、

まずは自分で考えさせます。

その後、4÷0になる答を求めさせると答がみつからないことが

わかります。

解なし。

次に、[解なし]ってよいと思うかを聞きます。

ほぼ確実に[だめ]だと答えると思います。

[解なし　は、中3まで習いません。これも虚数解が高校まで習わないからですが。]

だめなことはしてはいけないよね。

とこちらからいえば、ある程度は納得できると思うのですが・・。

教育的に、間違った知識を教えることはある程度ジレンマが

ありますが、子どもの発達段階を考えると、無用な混乱で、

他の問題まで解けなくなってしまうデメリットを考えると、

ダメなものはダメでよいような気がします。

[例えば小学生一年生に図工とかで半分ずつにきっていくことをさせたとき、一番小さい粒は、[目に見えないような粒粒]じゃなくて[分子]でもなくて[原子]でもなくて、あっ原子は中性子と陽子と電子があって、その陽子と中性子はπ中間子をキャッチボールしながら、アップクォークという素粒子とダウンクォークが変身し合っているんだよー。でも実はクォークの中にもなんかいるみたいだけど、まだよくわかっていないんだー、重さ0なら光子ってのもあるよ。]

と本質を答えても引くだけだと思います。実際に授業後の雑談で質問されて、1年生に答えたら、口をぽかんと開けられました。