東京で、朝の10時頃から12時30分ごろまで、涼しく、楽しく過ごせる場所があったら教えてください。（例：東京タワーとか）

東京＝東京駅と解釈して、その近くの有楽町で思い浮かべてみました。

ビックカメラ有楽町店

http://www.biccamera.co.jp/shoplist/yurakucho.html

クーラーが効いた大きな店内で商品を見て回るだけでも楽しいですし、疲れたらマッサージチェアで休憩…じゃなくって試用することも出来ます。館内に喫茶店やお好み焼き屋もあります。

東京国際フォーラム

http://www.t-i-forum.co.jp/function/map/guidemap.html

自然に涼しいところが良かったら、ビックカメラ有楽町店の向かいの東京国際フォーラムの地上広場に行くのも良いと思います。ここは風抜けが良いところです。日陰に入り、自動車の屋台で売っているランチを楽しむのも楽しいですよ。

無印良品有楽町店

http://www.muji.net/shop/bigstore.html

ビックカメラに飽きたら、近くの無印良品の有楽町店にいってみるのはどうでしょうか。店舗が大きいのでゆったりしています。店内に大きめなカフェもありますので休憩も出来ます。

八重洲ブックセンター

http://www.yaesu-book.co.jp/floormap/index.html

大きな本屋なので、つぶしがきくでしょう。