体積を求める積分の問題2問です。


①錐面z^2=2xyと2つの平面x+y=1とz=0で囲まれた立体の体積を求めよ。
②x^2+y^2+z^2≦9と3x^2+3y^2-z^2-6z-9≦0で囲まれた立体の体積を求めよ。

参考書にある問題ですが、解説がなく、どうにも解けないです。分かる方いましたら、解き方だけで構いませんのでお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/08/22 21:48:01
  • 終了:2007/08/24 09:26:47

ベストアンサー

id:taku0208 No.1

taku0208回答回数250ベストアンサー獲得回数112007/08/23 00:56:55

ポイント40pt

①について考え方だけ書きます。

この錐面は(110)方向を軸として、x軸、y軸を通ります。

したがって、(110)方向をα軸とすると、α軸に垂直な面(平面x+y=1に平行な面)を錐面が切り取る面積Aをα軸の方向に積分するのがやりやすい方法です。

面積Aは、原点からの距離aにより、

A=πa^2

です。平面z=0と囲まれたと言うのが、どちら側をさすのかわかりませんが、どちらにしてもAの1/2倍になりますので、

A/2=1/2*na^2 を原点から平面x+y=1まで、つまり0から1/√2まで積分すればよいです。

答えは、√2*π/24 でしょうか。

②はまた考えたらお答えしますね。

id:pearlike

2問共解説頂き有難うございます。

大変、分かりやすかったです。

2007/08/24 09:25:20

その他の回答(2件)

id:taku0208 No.1

taku0208回答回数250ベストアンサー獲得回数112007/08/23 00:56:55ここでベストアンサー

ポイント40pt

①について考え方だけ書きます。

この錐面は(110)方向を軸として、x軸、y軸を通ります。

したがって、(110)方向をα軸とすると、α軸に垂直な面(平面x+y=1に平行な面)を錐面が切り取る面積Aをα軸の方向に積分するのがやりやすい方法です。

面積Aは、原点からの距離aにより、

A=πa^2

です。平面z=0と囲まれたと言うのが、どちら側をさすのかわかりませんが、どちらにしてもAの1/2倍になりますので、

A/2=1/2*na^2 を原点から平面x+y=1まで、つまり0から1/√2まで積分すればよいです。

答えは、√2*π/24 でしょうか。

②はまた考えたらお答えしますね。

id:pearlike

2問共解説頂き有難うございます。

大変、分かりやすかったです。

2007/08/24 09:25:20
id:taku0208 No.2

taku0208回答回数250ベストアンサー獲得回数112007/08/23 10:54:19

ポイント40pt

②について、簡単で済みませんが考え方を書きます。

半径3の球の内部と、(0,0,-3)を頂点とする錘との重なる部分の面積ですね。

両者が交差するのは、(0,0,-3)の点と、上記球面とz=1.5の面との交線です。

従って、

  • 3≦z≦1.5までは錘とzに垂直な面とが交わる円の面積でz方向に積分し、

1.5≦z≦3までは球とzに垂直な面とが交わる円の面積でz方向に積分し、

両者を足し合わせれば良いと思います。

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  • 二次曲面 「枯葉散る白いテラスの午後三時」 2007-08-26 01:08:14
    はてなQでこんな質問があって、前半の問題を考えてみた。 最初z軸に垂直な平面の断面積を考えてからz方向に積分しようとしたが、式がうまく整理できず断念。 後日見ると回答がでていて
「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

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