数学の問題です。

Question

arther_dog

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学習・教育

数学の問題です。

四面体ＡＢＣＤの各辺の長さが、
ＡＢ＝５ｃｍ
ＡＣ＝５ｃｍ
ＡＤ＝５ｃｍ
ＢＣ＝５ｃｍ
ＢＤ＝ルート１３ｃｍ
ＣＤ＝６ｃｍ
の場合、この四面体の体積は幾つになるでしょう。
途中の式および考え方も含めて回答下さい。
最初に正解された方に１００ポイント差し上げます。

回答の条件

1人2回まで

登録：2007/09/01 14:45:34
終了：2007/09/03 21:27:48

※ 有料アンケート・ポイント付き質問機能は2023年2月28日に終了しました。

	回答者	回答	受取	ベストアンサー	回答時間
1	loio	342回	306回	50回	2007-09-01 15:02:49
1	loio

loio 2007/09/01 16:18:47

しまった。つられて面積を求めてしまった。
というわけで、私の回答はあけないでください。まちがってます
ELB 2007/09/01 17:27:04

もしかしたら、どこかで計算まちがいをしているかもしれません。
arther_dog 2007/09/01 18:58:48

申し訳ありません。
最初に「表面積」と書いてしまい、reje55様からご指摘を受け、求める値を体積に変更しています。

loio様
再度ご回答をお待ちしております。

ELB-S様
もし間違いがあれば再度投稿して下さい。

思ったよりも回答が集まらないので、ポイントを１００から５００に増やします。
Mook 2007/09/01 21:33:16

計算は誤っていないと思いますが、TEX での表記が誤っていました。

誤：12V^2
正：（12V）^2

です。
ELB 2007/09/01 23:39:58

もう一度、１からやり直しました。おそらく間違いはありません。
あと、一部わかりにくいところがあると思うので、補足説明。
分数にルートが付いている場合、ルートは分子にのみかかっています。
arther_dog 2007/09/03 11:32:16

本日１８時以降にオープンして終了します。
回答を予定されている方はご了承ください。
arther_dog 2007/09/03 20:13:13

正解はＭｏｏｋさんですね。
ＥＬＢ＿Ｓさんの答えはこれから検証してみます。
Mook 2007/09/03 21:00:06

幾何学的なアプローチも少しやりかけたのですが、面倒なので途中でやめました(^^;;)。

ELB-Sさんの中で底面をABCとしたなら、高さ(x)はDNですよね？

ですが、実は DN も高さではありません。
DN は確かに線AMに対しては垂線ですが、面ABCに対しての垂線となっていません。

垂線を求めるには、各辺に隣接する各３つの三角形の頂点から下ろした垂線を通る垂直線を底面に引き、その交点（垂線と底面の交点）を使って計算することになると思います。
ELB 2007/09/03 21:01:10

＞ご指摘ありがとうございます。
今、教えてもらった方法で計算中です。
＞オイラーの定理にこんな使い方があるなんて知りませんでした。
驚きです。
arther_dog 2007/09/03 21:24:14

この問題は以下の点がポイントとなるそうです。
三角形ＣＢＤを底辺とすることで、この三角形の各点Ｂ・Ｃ・Ｄから点Ａまでの長さが等しく５ｃｍとなる。
このため、三角形ＣＢＤを底辺として真上から見て、点Ａの位置を底辺に投影した点をＭとすると、三角形の各点Ｂ・Ｃ・Ｄから点Ｍまでの長さは等しくなる。
つまり、三角形ＣＢＤは点Ｍを中点とした円上に存在する。
このため、正弦定理から円の半径Ｒを求めることができます。
http://homepage3.nifty.com/law_of_causality/math/sin51.htm
三角形ＢＣＤの各辺の長さが分かっているので、半径Ｒは計算できます。

半径Ｒを求めたら、投影した中心点Ｍを直角とする三角形ＡＭＢ　ＡＭＣ　ＡＭＤは全て同じ三角形となり、四面体の高さＡＭは三平方の定理から５×ルート２３÷６が求められます。

三角形ＢＣＤの面積はＥＬＢ＿Ｓさんと同じもとめ方で９平方ｃｍとなりますので９×５×ルート２３÷６÷３でＭＯＯＫさんのこたえになります。
Mook 2007/09/03 21:37:07

なるほど、確かに今回の条件ではその方法がエレガントですね。

どの面を底面にするかがキーかと思って、その点ばかりを考えていましたが、辺の長さがキーだったようですね。

今回は久しぶりに、数学を楽しませていただきました。
ELB 2007/09/03 22:27:04

いや～、悔しいな。
でも、とても面白かったです。
またチャレンジしたいです。

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

リクエスト送信済

回答リクエストを送信したユーザーはいません

ELB · Answer 1 · 2007-09-01T15:41:16+09:00

まず、条件に従って四面体ＡＢＣＤを書きます。

次にＢＣの中点をＭとします。

本格的な回答はしたからです。

まず三角形ＡＢＣの面積を出します。

この三角形の高さはＡＭです。ＡＭの長さは５ｓｉｎ６０°です。

三角形の面積の公式に底辺ＢＣ＝５と高さＡＭ=５ｓｉｎ６０°を代入し、面積を出します。（面積は２５√３/４）

この面積が四面体の底面積になります。

次に三角形ＢＣＤにおいて、余弦定理より

ＣＤ^２=ＢＣ^２+ＤＢ^２-２ＢＣ*ＤＢｃｏｓ∠ＤＢＣ

これを計算してｃｏｓ∠ＤＢＣを出します。

（ｃｏｓ∠ＤＢＣ=１/６√１３）

また三角形BMDにおいて、余弦定理より

ＭＤ^２=ＢＭ^２+ＢＤ^２-２ＢＭ*ＢＤｃｏｓ∠ＤＢＣ

この式にＢＭ,ＢＤ,ｃｏｓ∠ＤＢＣの値を代入し、

ＭＤを求めます。（ＭＤ=√６６３/６　分子にだけ√がかかっています）

次に三角形ＡＭＤにおいて、

頂点Ｄから辺ＡＭに下ろした垂線とＡＭの交点をＮとし、

ＮＡ=ｘとおきます。

三角形ＤＮＭにおいて三平方の定理より、

ＤＮ^２=ＭＤ^２-ＮＭ^２

同様に三角形ＤＮＡにおいても三平方の定理より、

ＤＮ＾２＝ＡＤ＾２-ＮＡ＾２

（どちらもＤＮ＞０）

２式を連立させて、

ＭＤ^２-ＮＭ^２＝ＡＤ＾２-ＮＡ＾２

（ＮＭ＝ＡＭ-ＮＡ）

この式を解き、ｘを出します。（ｘの値はややこしいので勝手ながら省略）

ここで求めたｘが四面体の高さとなります。

あとは四面体の体積の公式（底辺×高さ×１/３）に値を代入するだけです。

結果として、体積は９５/９立方センチメートルとなります。

以上です。

書き方が雑、及び計算を省略している点はご了承ください。

Mook · Answer 2 · 2007-09-01T21:25:35+09:00

やり方を問わず、解を求めるのであれば今回の場合６辺の長さがわかっているのでオイラーの四面体公式を使ってしまえば機械的に求まります。

すなわち各辺の長さを a,b,c,d,e,f とし、体積を V とすると

$12V^2=a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2)+b^2e^2(c^2+a^2+f^2+d^2-b^2-e^2)+c^2f^2(a^2+b^2+d^2+e^2-c^2-f^2)-a^2b^2c^2-a^2e^2f^2-d^2b^2f^2-d^2e^2c^2$

が成り立つので、これに与えられた数値を代入すると

$12V^2=20700$

これより

$V=\frac{5}{2}sqrt{23}$

となります。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/375_6.htm

数学の問題です。

回答（3件）

ELB302007/09/01 15:41:16

Mook13143932007/09/01 21:25:35

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コメント（12件)

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