数学の問題です。

四面体ABCDの各辺の長さが、
AB=5cm
AC=5cm
AD=5cm
BC=5cm
BD=ルート13cm
CD=6cm
の場合、この四面体の体積は幾つになるでしょう。
途中の式および考え方も含めて回答下さい。
最初に正解された方に100ポイント差し上げます。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/09/01 14:45:34
  • 終了:2007/09/03 21:27:48

回答(3件)

id:ELB-S No.1

ELB回答回数3ベストアンサー獲得回数02007/09/01 15:41:16

ポイント100pt

まず、条件に従って四面体ABCDを書きます。

次にBCの中点をMとします。

本格的な回答はしたからです。

まず三角形ABCの面積を出します。

この三角形の高さはAMです。AMの長さは5sin60°です。

三角形の面積の公式に底辺BC=5と高さAM=5sin60°を代入し、面積を出します。(面積は25√3/4)

この面積が四面体の底面積になります。

次に三角形BCDにおいて、余弦定理より

CD^2=BC^2+DB^2-2BC*DBcos∠DBC

これを計算してcos∠DBCを出します。

(cos∠DBC=1/6√13)

また三角形BMDにおいて、余弦定理より

MD^2=BM^2+BD^2-2BM*BDcos∠DBC

この式にBM,BD,cos∠DBCの値を代入し、

MDを求めます。(MD=√663/6 分子にだけ√がかかっています)

次に三角形AMDにおいて、

頂点Dから辺AMに下ろした垂線とAMの交点をNとし、

NA=xとおきます。

三角形DNMにおいて三平方の定理より、

DN^2=MD^2-NM^2

同様に三角形DNAにおいても三平方の定理より、

DN^2=AD^2-NA^2

(どちらもDN>0)

2式を連立させて、

MD^2-NM^2=AD^2-NA^2

(NM=AM-NA)

この式を解き、xを出します。(xの値はややこしいので勝手ながら省略)

ここで求めたxが四面体の高さとなります。

あとは四面体の体積の公式(底辺×高さ×1/3)に値を代入するだけです。

結果として、体積は95/9立方センチメートルとなります。

以上です。

書き方が雑、及び計算を省略している点はご了承ください。

id:arther_dog

ごめんなさい

どこが間違っているのか分かりませんでした。

連立方程式気から高さを求める考え方は分かりました。

2007/09/03 20:52:48
id:Mook No.2

Mook回答回数1312ベストアンサー獲得回数3912007/09/01 21:25:35

ポイント500pt

やり方を問わず、解を求めるのであれば今回の場合6辺の長さがわかっているのでオイラーの四面体公式を使ってしまえば機械的に求まります。


すなわち各辺の長さを a,b,c,d,e,f とし、体積を V とすると

12V^2=a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2)+b^2e^2(c^2+a^2+f^2+d^2-b^2-e^2)+c^2f^2(a^2+b^2+d^2+e^2-c^2-f^2)-a^2b^2c^2-a^2e^2f^2-d^2b^2f^2-d^2e^2c^2

が成り立つので、これに与えられた数値を代入すると

12V^2=20700

これより

V=\frac{5}{2}sqrt{23}

となります。


http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/375_6.htm

id:arther_dog

オイラーの定理に変の長さから体積を求める公式があるとは知りませんでした。

正解、おめでとうございます。

2007/09/03 20:52:52

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 loio 342 306 50 2007-09-01 15:02:49
  • id:loio
    しまった。つられて面積を求めてしまった。
    というわけで、私の回答はあけないでください。まちがってます
  • id:ELB-S
    もしかしたら、どこかで計算まちがいをしているかもしれません。
  • id:arther_dog
    申し訳ありません。
    最初に「表面積」と書いてしまい、reje55様からご指摘を受け、求める値を体積に変更しています。

    loio様
    再度ご回答をお待ちしております。

    ELB-S様
    もし間違いがあれば再度投稿して下さい。

    思ったよりも回答が集まらないので、ポイントを100から500に増やします。
  • id:Mook
    計算は誤っていないと思いますが、TEX での表記が誤っていました。

    誤:12V^2
    正:(12V)^2

    です。
  • id:ELB-S
    もう一度、1からやり直しました。おそらく間違いはありません。
    あと、一部わかりにくいところがあると思うので、補足説明。
    分数にルートが付いている場合、ルートは分子にのみかかっています。
  • id:arther_dog
    本日18時以降にオープンして終了します。
    回答を予定されている方はご了承ください。
  • id:arther_dog
    正解はMookさんですね。
    ELB_Sさんの答えはこれから検証してみます。
  • id:Mook
    幾何学的なアプローチも少しやりかけたのですが、面倒なので途中でやめました(^^;;)。


    ELB-Sさんの中で底面をABCとしたなら、高さ(x)はDNですよね?

    ですが、実は DN も高さではありません。
    DN は確かに線AMに対しては垂線ですが、面ABCに対しての垂線となっていません。

    垂線を求めるには、各辺に隣接する各3つの三角形の頂点から下ろした垂線を通る垂直線を底面に引き、その交点(垂線と底面の交点)を使って計算することになると思います。
  • id:ELB-S
    >ご指摘ありがとうございます。
    今、教えてもらった方法で計算中です。
    >オイラーの定理にこんな使い方があるなんて知りませんでした。
    驚きです。
  • id:arther_dog
    この問題は以下の点がポイントとなるそうです。
    三角形CBDを底辺とすることで、この三角形の各点B・C・Dから点Aまでの長さが等しく5cmとなる。
    このため、三角形CBDを底辺として真上から見て、点Aの位置を底辺に投影した点をMとすると、三角形の各点B・C・Dから点Mまでの長さは等しくなる。
    つまり、三角形CBDは点Mを中点とした円上に存在する。
    このため、正弦定理から円の半径Rを求めることができます。
    http://homepage3.nifty.com/law_of_causality/math/sin51.htm
    三角形BCDの各辺の長さが分かっているので、半径Rは計算できます。

    半径Rを求めたら、投影した中心点Mを直角とする三角形AMB AMC AMDは全て同じ三角形となり、四面体の高さAMは三平方の定理から5×ルート23÷6が求められます。

    三角形BCDの面積はELB_Sさんと同じもとめ方で9平方cmとなりますので9×5×ルート23÷6÷3でMOOKさんのこたえになります。

  • id:Mook
    なるほど、確かに今回の条件ではその方法がエレガントですね。

    どの面を底面にするかがキーかと思って、その点ばかりを考えていましたが、辺の長さがキーだったようですね。

    今回は久しぶりに、数学を楽しませていただきました。
  • id:ELB-S
    いや~、悔しいな。
    でも、とても面白かったです。
    またチャレンジしたいです。

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