1189233802 数学の問題です。


「1から10までの数が書かれた10枚のカードを1列に並べる時、偶数の書かれたカードが4枚以上連続して並ぶ確率を求めよ。」

簡単と思いますが、おじさんはもうだめぽ。超絶フレンドリーに解説しておくんなまし。回答は9月9日(日)から順に開けます。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/09/08 15:43:23
  • 終了:2007/09/10 21:15:15

回答(8件)

id:castiron No.1

castiron回答回数418ベストアンサー獲得回数302007/09/08 17:03:18

ポイント19pt

まず全事象(起こりうる全ての並べ方)は

10枚のカードを1列に並べるので10!(階乗)通りです。

これははじめの一枚を選ぶのは10枚、選んだ一枚の次の一枚を選ぶのは9枚と成っているという風になっています。

よって

10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3628800(通り)・・・①

これが確率を出す際の分母です。


次に偶数が4枚連続で並ぶのは何通りあるでしょうか?

この場合は偶数4枚を一つのカードとしてカードAとでもしておきます。

そうすると並べるカードは偶数1枚、奇数5枚、カードA1枚となり

これを並べると

7!(通り)

になります。しかしここで注意しなければ成らないことが3つあります。

1.偶数1枚のカードの選び方

2.カードAの中の並べ方

3.偶数1枚とカードAが隣り合ってしまう場合

それぞれについて考えてみると

1.については5枚の中から1枚を選ぶのでもちろん5通り存在します。

2.については4枚のカードの並べ方なので4!通りと成ります。

3.については偶数1枚とカードAが並ぶというのは5枚連続になる場合です。

このため4枚並ぶ場合を考える場合はこれを除外することになりますが今回は5枚連続になる場合を求めるのでこの場合はあえて引きません。

ということで以上をふまえて何通りになるか考えてみると

7!*5*4!=604800・・・②

よって確率は①/②なので

604800/3628800=16.6666666・・・・

約17%となります。

というか普通は分母と分子で約分するので

\frac{7!\times5\times4!}{10!}=\frac{1}{6}

id:miku1973

ありがとう!!

今から熟読します。すごい!

2007/09/09 12:29:39
id:makoohira No.2

makoohira回答回数136ベストアンサー獲得回数42007/09/09 00:46:04

ポイント19pt

偶数5枚中4枚を選ぶ組み合わせ、5C4=5パターン

その4枚の並び順 4!=24パターン

その4つをひとかたまりとしたときの、7かたまり(6枚と1かたまり)の並び順 7!=5040パターン

全10枚を自由に並べたときのパターン 10!=3628800パターン

7!×5C4×4! ÷ 10! ×100(%)

= 5*24*5040 ÷ 3628800 ×100(%)

= 604800 ÷ 3628800 ×100(%)

= 16.666667%

合ってます?

id:miku1973

わ、1の方と答えは同じですね!

ありがとう!

2007/09/09 12:30:52
id:z-1 No.3

z-1回答回数66ベストアンサー獲得回数52007/09/08 18:35:56

ポイント42pt

以下、場合の数を、ひたすら数えるやり方です。

 (もっとうまいやり方がありそうですね。 わかる方いれば、教えて下さい)。

 (以下では、(G=偶数、K=奇数) として表記します)。

 

----------

連続4枚以上 → (A)連続5枚 または(B)連続4枚です。

 

----------

(A)偶数が連続5枚は6種類

 

(1) GGGGGKKKKK → (5x4x3x2x1)x5x4x3x2x1 通り

(2) KGGGGGKKKK → 5x(5x4x3x2x1)x4x3x2x1 通り

(3) KKGGGGGKKK → 5x4x(5x4x3x2x1)x3x2x1 通り

(4) KKKGGGGGKK → 5x4x3x(5x4x3x2x1)x2x1 通り

(5) KKKKGGGGGK → 5x4x3x2x(5x4x3x2x1)x1 通り

(6) KKKKKGGGGG → 5x4x3x2x1x(5x4x3x2x1) 通り

 

 

上記(A)の、(1)~(6)の、場合の数を全て足すと

 

{ (5x4x3x2x1)x5x4x3x2x1 } x 6   通り

 

  (↑(1)~(6)の、各々の場合の数は、全て同じだから、6倍するだけ)

 

----------

(B)偶数が連続4枚は30種類

 

(_1) GGGGKGKKKK →(5x4x3x2)x5x1x4x3x2x1 通り

(_2) GGGGKKGKKK →(5x4x3x2)x5x4x1x3x2x1 通り

(_3) GGGGKKKGKK →(5x4x3x2)x5x4x3x1x2x1 通り

(_4) GGGGKKKKGK →(5x4x3x2)x5x4x3x2x1x1 通り

(_5) GGGGKKKKKG →(5x4x3x2)x5x4x3x2x1x1 通り

 

(_6) KGGGGKGKKK → (以下略)

(_7) KGGGGKKGKK

(_8) KGGGGKKKGK

(_9) KGGGGKKKKG

 

(10) KKGGGGKGKK

(11) KKGGGGKKGK

(12) KKGGGGKKKG

(13) GKGGGGKKKK

 

(14) KKKGGGGKGK

(15) KKKGGGGKKG

(16) GKKGGGGKKK

(17) KGKGGGGKKK

 

(18) KKKKGGGGKG

(19) GKKKGGGGKK

(20) KGKKGGGGKK

(21) KKGKGGGGKK

 

(22) GKKKKGGGGK

(23) KGKKKGGGGK

(24) KKGKKGGGGK

(25) KKKGKGGGGK

 

(26) GKKKKKGGGG

(27) KGKKKKGGGG

(28) KKGKKKGGGG

(29) KKKGKKGGGG

(30) KKKKGKGGGG

 

 

上記(B)の(1)~(30)の、場合の数を全て足すと

 

{ (5x4x3x2x1)x5x4x3x2x1 } x 30   通り

 

  (↑(1)~(30)の、各々の場合の数は、全て同じだから、30倍するだけ)

 

----------

(C) 上記の(A)と(B)の場合の数を足すと、

 

{ (5x4x3x2x1)x5x4x3x2x1 } x 36   通り

 

 (↑ これが「偶数が連続4枚以上」の、全ての場合の数です)

 

----------

(D) カード10枚並べるときの、全ての場合の数は

 

  10x9x8x7x6x5x4x3x2x1  通り

 

----------

(E) 「偶数が連続4枚以上」の確率は(C)÷(D)

 

  { (5x4x3x2x1)x5x4x3x2x1 } x 36 通り

 ----------------------------------------

     10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 通り

 

= 1/7

 

すなわち 「 解答は 1/7 」

 

id:miku1973

あら?微妙に他の人と違うなぁ。熟読しますね。

2007/09/09 12:32:15
id:fluegel No.4

fluegel回答回数5ベストアンサー獲得回数02007/09/08 17:34:52

ポイント10pt

高校の順列の問題ですね。

順列の計算が出来る(nPrが計算出来る)前提の回答です。

ちょっとフレンドリーでもケアフリーでもないかもです、すみません。



確立なので、並べ方の総数を事象の数で割ります。

事象は4枚以上の偶数が連続する場合です。


並べ方の総数 10P10通り


次に4枚の偶数が連続する場合と5枚の偶数が連続する場合をそれぞれ考えます。


i)4枚の偶数が連続する場合

○を偶数、△を奇数とし、連続する4枚の偶数と[○○○○]と表します

(この時、4枚の連続する偶数は1つのかたまりとして見なします)。

連続する4枚の偶数の並べ方は 5P4通り(←5つの偶数から4つ選んで並べるため)

以下の6ヶ所に[○○○○]と○は並べることが出来ます

 (1)△(2)△(3)△(4)△(5)△(6)

 例) [○○○○]△○△△△△

   △○△△△[○○○○]△

上記の6ヶ所への[○○○○]と○の並べ方は 6P2通り

よって、4枚の偶数が連続する並べ方は 5P4×6P2通り


ii)5枚の偶数が連続する場合

連続する5枚の偶数の並べ方は 5P5通り

i)と同様に考えると、[○○○○○]は以下の6ヶ所に並べられます。

 (1)△(2)△(3)△(4)△(5)△(6)

 例) △△[○○○○○]△△△

   △△△△△[○○○○○]

よって、5枚の偶数が連続する並べ方は 5P5×6通り


以上より、求める確立は

 (5P4×6P2+5P5×6)÷10P10

=(5×4×3×2×6×2+5×4×3×2×1×6)÷10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

=5×4×3×2×6×3÷10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

=1/5040

id:akinakasyou No.5

ルーニ回答回数5ベストアンサー獲得回数02007/09/08 22:25:52

ポイント10pt

1.

まずカードの並べ方の全組み合わせは10×9×8×7×6×5×4×3×2×1通りあります。

(10!と書かれる)

つまり最初の1枚は1から10の10通りあり、次のカードは最初に置いたカード以外の9通りの可能性があり、その次のカードは最初と2枚目以外の8通り・・・・・

2.

次に偶数の書かれたカードが4枚以上連続する組み合わせの数を数えます

まず5枚ある偶数のカードから4枚を選び、ひと塊と考えます。

この塊を便宜上「A」、残った偶数のカードを「B」と名づけます。

奇数のカード5種類とA,Bの計7種類を並べるとすると、

その時、必ず偶数が4枚以上連続します。

例えばA=2,4,6,8 B=10で1・5・A・9・B・7・3と並べると

1・5・(2・4・6・8)・9・10・7・3 とカードを並べたのと同じと考えます

また、()内の並び替えにより、さらに組み合わせは増えます

まず、7種類のカードの並べ方は7!=7×6×5×4×3×2×1通り

また、Aの塊の中の4枚の偶数のカードの並べ方は4!=4×3×2×1通り

さらにAとBの分け方は5通りあります

(Bの選び方は2,4,6,8,10の5通りあるから)

よって上の考え方の時の並び替えの数は

7!×4!×5通り

3.

ただし、この数え方だと5枚連続した時、重複してしまう組み合わせがあります。

つまり、例えば

2・4・6・8・10・1・3・5・7・9の時

A・B・1・3・5・7・9(A=2.4.6.8、B=10)と

B・A・1・3・5・7・9(A=4.6.8.10、B=2)が同じ並び方にもかかわらず別のものとして数えられてしまっています。

5枚連続した時に、A・Bと並ぶのとB・Aと並ぶのをダブルカウントされているので、重複している組み合わせの数は偶数カードが5枚連続する数と同じです。

偶数5枚をひと塊と考えて、2.と同様に計算をすればこの組み合わせの数が出ます。

まず、1・3・5・7・9・(偶数5枚)の6種類の並べ方は6!=6×5×4×3×2×1

また、5枚の偶数の塊の中でのカードの並べ方は5!=5×4×3×2×1

さらに偶数の塊の選び方は1通り

よって上の考え方の時の並び替えの数は

6!×5!×1通り

4.「1から10までの数が書かれた10枚のカードを1列に並べる時、偶数の書かれたカードが4枚以上連続して並ぶ確率を求めよ。」

確率は

(偶数4枚をひと塊とした組合わせの数-偶数5枚をひと塊とした組み合わせの数)/全組み合わせ

=(7!×4!×5-6!×5!×1)/10!

=(7×6×5×4×3×2×1×4×3×2×1×5-6×5×4×3×2×1×5×4×3×2×1×1)/10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

=1/7となります

と解いてみて思ったけど、答えがこんなにすっきりした数字なら

絶対もっと美しい解法があるよなぁ・・・orz

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 nouchi-take 1 0 0 2007-09-08 19:46:34
2 koukun0803 5 0 0 2007-09-08 22:30:39
3 koukun0803 5 0 0 2007-09-09 12:56:47
  • id:miku1973
    すいません。私の勘違いだったら申し訳ないです。

    castiron様とmakoohira様は1/6と導いてくださっているので、考え方が同じなんだと思いますが、
    偶数のかかれたカードが5枚連続するケースの中には、4枚だけ連続するケースも含まれてしまっており、結果として、重複して数えてしまっているということはないでしょうか。

    詳しく見切れてないですが、z-1さんの1/7が、重複なく数えることができているのかなぁなんて。

    ちょっとわからないので、どなたかどうぞよろしくお願い致します。
  • id:castiron
    NO.1です。
    間違えていました済みません。
    下のようなケースがありました。
    連続する4枚のカードが0,2,4,6の時の
    |0,2,4,6,|8,1,3,5,7
    と連続する4枚のカードが2,4,6,8の時の
    0,|2,4,6,8,|1,3,5,7
    を違うと見なしてしまっていますね。
    (5枚連続に成るパターンを2回カウントしてしまっています)
    このケースを引くには5枚連続に成るパターンを引いてやればよいので
    5枚連続になるのは5枚の連続を同じようにひとかたまりと考えて(カードB)
    6枚のカードの並び方が6!通り。さらにカードBの並び方は5!通りあるので
    (6!*5!)(通り)
    これを先ほどの回答の分子から引けばよいので
    ((7!*5*4!)-(6!*5!))/10!
    =((7*6!*5!)-(6!*5!))/10!
    =((7-1)*(6!*5!))/10!
    =(6*(6!*5!))/10!
    =1/7
    これでばっちりです。
    NO.3の方のようにちゃんと列挙した方が間違いも少なく直感的に理解できますね。申し訳ありませんでした。
  • id:miku1973
    いえいえ、ありがとうございます。
    もちろん、正解を知りたいという思いもあるのですが、そう考えた過程も勉強したいと思っているので、満足しております。
  • id:z-1
    (NO.3の者です。
     NO.1を見て、別解を思い出しました。
     そういえば、高校の頃やったなあ)

    ========================================================

    (以下では、(G=偶数カード、K=奇数カード) として表記します)。


    ----------
    (A)偶数カード5枚連続の場合。

    ① 「偶数カード5枚」を、ワンセットにして「S」とします。

    ② 奇数カードを、あいだを空けて、5枚並べます。

     … K … K … K … K … K … 

     この並べ方は、「5X4X3X2X1 通り」です。


    ③ この奇数カードの、「すき間」または「端」に、①の「S」を、並べて入れます。

     … K … K … K … K … K … 
    _↑___↑___↑___↑___↑___↑
    _1___2___3___4___5___6


    ③「S」の入れ方は、上記のように「6通り」です。

    ④この「S」は5枚セットですから、その並べ方は、
     「5X4X3X2X1 通り」 です。

    ⑤従って、5枚連続の場合は、
     (5X4X3X2X1)X{6X(5X4X3X2X1)} 通り


    ----------
    (B)偶数カード4枚連続の場合。

    ① 偶数カードを4枚と1枚に分けて、
      「偶数カード4枚」の方をワンセットと見て「P」とします。

     (この4枚+1枚に分けるやり方は、「5通り」です。
      これは、5枚のうちの、1枚を選ぶだけですから)


    ② 奇数カードを、あいだを空けて、5枚並べます。

     … K … K … K … K … K … 

     この並べ方は、「5X4X3X2X1 通り」です。

    ③ この奇数カードの、「すき間」または「端」に、①の「P」を、並べて入れます。

     … K … K … K … K … K … 
    _↑___↑___↑___↑___↑___↑
    _1___2___3___4___5___6


    ④「P」の入れ方は、上記のように「6通り」です。

    ④「P」を入れなかった、残り5箇所のうちの1箇所に
     残りの偶数カード1枚を入れます。この入れ方は「5通り」。

    ⑥「P」は4枚セットですから、その並べ方は、
      4X3X2X1 通り

    ⑦従って、4枚連続の場合は、
     5X(5X4X3X2X1)X{6X5X(4X3X2X1)} 通り

    ----------
    (C) 上記の(A)と(B)の場合を足し合わせると、

           (5X4X3X2X1)X{6X5X4X3X2X1}
     + 5X  (5X4X3X2X1)X{6×5×4X3X2X1}
    -----------------------------------------------------
    =(1+5)X(5X4X3X2X1)X{6×5×4X3X2X1}

    =(6X5X4X3X2X1)X(6X5X4X3X2X1)

     (↑ これが「偶数が連続4枚以上」の、全ての場合の数です)

    ----------
    (D) カード10枚並べるときの、全ての場合の数は

     「10X9X8X7X6X5X4X3X2X1 通り」

    ----------
    (E) 「偶数が連続4枚以上」の確率は(C)÷(D)

     (6X5X4X3X2X1)X(6X5X4X3X2X1) 通り
     --------------------------------------------------
      10X9X8X7X6X5X4X3X2X1 通り

    = 1/7

    すなわち 「 解答は 1/7 」

    ----------
    (補足)

    この解答は、よく見ると、実は、NO.3の回答と、同じことをやっているだけということが、分かるかと思います。

    ただ、(A)(B)のプロセスについて、NO.3では、「順序良く数える」という方法をとっていますが、この別解では、「適切に並べるルールを探す」=「ルール化する」ことにより、見通しが多少良くなっているかと思います。

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