1191822074 ピタゴラスの定理(a^2+b^2=c^2)を満たすa、b、cのうち、少なくとも1つは絶対に3の倍数であることを、超フレンドリーに示して下さい。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/10/08 14:41:15
  • 終了:2007/10/10 19:19:52

回答(6件)

id:Mook No.1

Mook回答回数1312ベストアンサー獲得回数3912007/10/08 15:30:18

ポイント3pt

数学なのである程度の理屈はがまんしてください^^。


まず、証明すべき命題は

a^2+b^2=c^2
のとき、ab の少なくともどちらか一方は3 の倍数である。

です。


まず一般に自然数nは、

nが3の倍数ならばn^2≡0 (mod 3)、
nが3の倍数でなければn≡1 (mod 3)である。

(※ (mod 3) ・・・ は 3で割ったときのあまりという意味です。)


ここでabがともに3の倍数でないとすれば

a^2+b^2≡2 (mod 3)
c^2≡0 or 1 (mod 3)

となり不合理です。

補足:

足し算の合計の剰余は、各要素の剰余の合計の剰余に等しい性質を利用しています。

つまり、余りが1になる数字を二つ足したものは、その余りが2になるので、これはある数字の自乗の余りが1か0になることに矛盾するのです。


したがって結論

aもしくはbの少なくともどちらか一方は3の倍数である。

と命題が証明されます。

http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/triangle.html

id:miku1973

ありがとう。

数学が苦手なこともあり、いくつか質問します。

題意は、a、b、cの3つの数に対し、少なくとも3の倍数が1つはあることを示したいのですが、Mook様の回答はa、bの2つの数に対して示しているように見えます。このように置き換えることができる理由を教えてください。

次に、nが3の倍数でなければn≡1(mod 3)とありますが、n≡2(mod 3)はないのでしょうか。もしくは考慮しなくてもよいのでしょうか。

2007/10/08 15:40:22
id:kappagold No.2

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482007/10/08 15:35:13

ポイント57pt

まず、平方数について考えます。

3の倍数の場合

 当然、3mであらわせます。(証明は省略)

3の倍数ではない場合

 3n-2

 3n-1

 のどちらかで示されます。

その片方ずつについて、

 1,4,7,10,..,3n-2 nは自然数

 (3n-2)2

 =9n2-12n+4

 =3(3n2-4n+1)+1

 したがって、3で割ると1余る。


 2,5,8,11,..,3n-1 nは自然数

 (3n-1)2

 =9n2-6n+1

 =3(3n2-2n)+1

 したがって、3で割ると1余る

 3n-2と3n-1であらわせる数の平方は、3k+1の形であらわせます。



と言うことで、


a^2+b^2=c^2

の場合、a・b・Cが、3の倍数ではないと仮定すると

ピタゴラスの定理は、

(3k+1)+(3h+1)=3p+1

であらわせることになる。

しかし、

(3k+1)+(3h+1)=3(k+h)+2

となることから、a・b・Cが、3の倍数ではないと仮定するとピタゴラスの定理が成り立たない。

従って、a、b、cのうち、少なくとも1つは絶対に3の倍数である、

id:miku1973

おおおおおおおおお!

私的にはかなり理解できました。苦手なりに。

腹にも落ちましたよ~。

ありがとう!

2007/10/08 15:46:21
id:castiron No.3

castiron回答回数418ベストアンサー獲得回数302007/10/08 15:43:22

ポイント20pt

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pythagoras/pythagoras2.ht...

自分では分からないから、これを↑を解説

自然数 a、b、c が、a^2+b^2=c^2 を満たすとき、

 (1) a、b のうち少なくとも一方は 3 の倍数

 (2) a、b のうち少なくとも一方は 4 の倍数

 (3) a、b、c のうち少なくとも一つは 5 の倍数

という性質を持つことは、よく知られた事実とのことである。

実際に、

(1)の証明: 

   a、b のどれも 3 の倍数でないとすると、a^2、b^2 を 3 で割った余りは、必ず 1 となる。

両方とも3の倍数でないと仮定しそれが成り立たないのならば自然と少なくともどちらか一方は3の倍数という事になります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C%E5%BC%8F

の性質から3の倍数でないとすると例えばaは以下のどちらかになります。

a≡1(mod3) //aを3で割ったときのあまりが1

a≡2(mod3) //aを3で割ったときのあまりが2

両辺を二乗すると

a^2≡1^2(mod3)

a^2≡2^2(mod3)

さらに書き換え

a≡1^2(mod3)

a≡4^2(mod3)

ここで下の合同式は左辺が4なのでこれは3で割ると1余ります。

よって

a≡1^2(mod3)

これでbも同様なのでa,bが3の倍異数でないのなら必ず

a^2,b^2はあまりが1になります

  したがって、a^2+b^2 を 3 で割った余りは、2 となるが、

a^2,b^2のあまりがそれぞれ1なので足すと2です。

a^2+b^2=c^2 を 3 で割った余り

  は、0 または 1 なので、これは矛盾である。

右辺のc^2は何の数か分からない数cなので

c≡0,1,2(mod3)

です。(cを3で割ったあまりが0,1,2のどれか)

これを二乗します

c^2≡0,1,4(mod3)

⇔c^2≡0,1,1(mod3)

よって

c^2≡0,1(mod3)

となる。

ここで左辺のあまりは必ず2に成るはずで

右辺が0か1に成るということと矛盾するので

   したがって、a、b のうち少なくとも一方は 3 の倍数である。

こんなん作ってみました。(ありがちだけど)

Sub ピタゴラス数()
    n = 1
    For x = 1 To 1000
        For y = x To 1000
            a = x
            b = y
            Do While 1
                r = a Mod b
                If r = 0 Then
                    Exit Do
                End If
                a = b
                b = r
            Loop
            If b = 1 Then
                z = Sqr(x ^ 2 + y ^ 2)
                If Int(z) = z Then
                    Cells(n, 1) = x
                    Cells(n, 2) = y
                    Cells(n, 3) = z
                    n = n + 1
                End If
            End If
        Next y
    Next x
End Sub
id:miku1973

ありがとう。

ちょっとフレンドリー・・・・かどうかはわからないけど、なんとなくわかりました。

どうも、a、b、cのいずれかというよりは、a、bのいずれかのようですね。

2007/10/08 15:55:22

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 heppokoA 65 60 7 2007-10-08 15:52:32
2 hasekazu_smile 6 5 1 2007-10-10 02:47:07
3 takahiro4 25 18 0 2007-10-10 04:41:52
  • id:j1960
    a,b,cは整数という条件が必要ですよね。
  • id:miku1973
    確かにそうですね。
    ・・・ですが、あえて書いていません。「ピタゴラスの定理」ですから当然書かなくても整数であることがわかるからです。
  • id:castiron
    wikiを見る限りピタゴラスの定理は自然数に限定してないと思います。
    ピタゴラス数なら特に整数と書かなくても良いじゃないですか?
    Mookさんのはcが3の倍数でも良いし3の倍数でなくても良い場合を示しています。
    (kappagoldさんのはcが3の倍数の場合のみ(たぶんあえてそういう意図で回答したのだと思いますが))
    そして、a,bの内少なくとも一つは必ず3の倍異数であることを示すことが出来れば
    a,b,cの内すくなくとも一つが3の倍数であることも証明できていますよね。(なぜならa,bの内どちらかが3の倍数だから)
  • id:miku1973
    ごめん、その通りでした。
    a,b,cは整数という条件がやっぱ必要っす。
  • id:Mook
    失礼しました。

    >nが3の倍数でなければn≡1(mod 3)とありますが、n≡2(mod 3)は
    これは、回答が誤記でした。

    nが3の倍数でなければn^2≡1(mod 3)

    という意味です。
  • id:castiron
    フレンドリーじゃないですか・・・(自分なりにがんばったんですよ。)
    それってわかりにくいってことですよね。
    確かに合同式を使うというのは良くなかったかも。
    (kappagoldさんってすごいなぁ)
    それとも顔文字とかを入れればフレンドリーだったかな。^^v
  • id:miku1973
    Mook様、もう少し教えてください。すいません。

    「ピタゴラスの定理(a^2+b^2=c^2)を満たすa、b、cのうち、少なくとも1つは絶対に3の倍数であることを示して下さい。」①
    に対し、
    「まず証明すべき命題は、a^2+b^2=c^2のとき、aかbの少なくともどちらか一方は3の倍数である」②
    と間髪いれずに置きかえられる理由がちょっとわかりません。

    あと、
    > しかし回答で示した証明は「a、bがともに3の倍数でなく、
    > cだけが3の倍数であることはない」ということも示しています。
    とありますが、それは具体的にはどこで示されているのでしょうか。(①と②の間で示されているならわかるのですが、それ以外のところで示されている???)
  • id:Mook
    たしかに。同じ証明なのですが、
    kappagoldさんのはわかりやすいですね。



    >「まず証明すべき命題は、a^2+b^2=c^2のとき、aかbの少なくともどちらか一方は3の倍数である」②
    >と間髪いれずに置きかえられる理由がちょっとわかりません。

    これに関してはおっしゃるとおり、説明に問題がありました。
    「ピタゴラスの定理」と聞いたときに、「aかb」というイメージがあったので、命題をそのように設定してしまいました。
    回答で設定した命題は、miku1973 さんの質問された命題に含まれていますので、上記の証明で十分(必要・十分の十分)ですが、等価ではないですね。

    また、「示しています」もいいすぎでした。
    簡単な置き換えですが、a、bが3の倍数でなく、cが3の倍数であるとき
    a^2+b^2≡2 (mod 3)・・・①
    c^2≡0 (mod 3)・・・・・②
    もまた、矛盾するということです。

    つまり①は、a、bが3の倍数でないときはピタゴラスの定理は成立しないということですね。

    穴だらけの説明で、もうしわけありませんでしたm_ _m。
  • id:miku1973
    Mook様、よくわかりました。皆様ありがとうございました。高校の数学を思い出した感じです。
  • id:z-1
    (横からゴメン)問題ないと思いますが、一応。

    「cが3の倍数」という場合はありますよね。
     9^2 + 12^2 = 15^2 とか。
     
    (要は、
     3^2 + 4^2 = 5^2
     の両辺に 3^2 = 9 を乗じて、
     「a,b,c 全てが3の倍数」にしただけなので、
     「そんなの無意味」と言われれば、その通りなのですが)
  • id:Mook
    ん? 私のに対してのコメントかな?

    もちろん c が3の倍数はありえますが、それはa,b ともに3の倍数のときですね。
    「cだけ」が3の倍数になることはないというのが、先のコメントです。


    別の部分をさしているのでしたら、失礼しました。
  • id:z-1
    (上記の、私z-1のコメントは、Mookさんへのコメントではありません)。

     最後の回答に対する、miku1973さんのコメントで、「(3の倍数は)a、b、cのいずれかというよりは、a、bのいずれかのようですね」と書いてあったのを、「ふーん」とか思いながら読んでたのですが…。

     そのあと、「アレッ」と思って、ちょっと計算して、この箇所について、自分で勘違いしてたことに気が付きました。

     それで、「ほかにも勘違いする人がいるかもなぁ~」と思って、「理解している人にとっては蛇足かなぁ」とも思いつつ、あえてコメントさせて頂きました。

    では~

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