数学の問題です。(x、yは実数)

再質問になります。

命題「x>0ならば、あるyについてxy>0である」

に関して質問します。

逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」
裏 :「x≦0ならば、あるyについてxy≦0である」
対偶:「あるyについてxy≦0ならば、x≦0である」
で正しいでしょうか。

それとも、
逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」
裏 :「x≦0ならば、全てのyについてxy≦0である」
対偶:「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」
が正しいでしょうか。

それとも、それ以外でしょうか。
どうぞよろしくお願い致します。

回答の条件
  • 1人3回まで
  • 登録:2007/10/14 17:57:28
  • 終了:2007/10/17 07:34:39

回答(7件)

id:KUROX No.1

KUROX回答回数3542ベストアンサー獲得回数1402007/10/14 18:20:38

命題が真なら、対偶も真ならなければおかしいので、

質問文の2つとも対偶ではないと思います。

----------------------------------

x>0ならば、あるyについてxy>0である

をいかに直してみました

X>0ならば、XY>0であるYが存在する

対偶

XY>0であるYが存在しないのなら、X>0でない

あってるかどうかは分かりません。

id:miku1973

すいません、

命題は「x>0ならば、あるyについてxy>0である」で確定ですので変更なしでお願いします。

この命題に対する、逆、裏、対偶についての質問です。

2007/10/14 19:05:20
id:ita No.2

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472007/10/14 18:30:21

命題「あるxについてP」

の否定は

「全てのxについてPでない」になります。

したがって

「あるyについてxy>0である」

の否定は

「すべてのyについてxy≦0である」

です。

id:miku1973

【ケース1】

逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」

裏 :「x≦0ならば、あるyについてxy≦0である」

対偶:「あるyについてxy≦0ならば、x≦0である」

【ケース2】

逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」

裏 :「x≦0ならば、全てのyについてxy≦0である」

対偶:「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」

【ケース3】

それ以外

とすると、どれであるとおっしゃってくれていますでしょうか。

また、

> 命題「あるxについてP」の否定は「全てのxについてPでない」になります。

というのはなんとなくそうかなという気もするのですが、ちょっとわからないので補足してくれれば嬉しいです。

引き続き回答をお待ちします。

2007/10/14 19:09:38
id:endeavor No.3

すまーとぼーい回答回数78ベストアンサー獲得回数12007/10/14 20:00:44

「x>0」の否定は「x≦0」

「あるyについてxy>0である」の否定は

「xy>0であるyは存在しない」=「全てのyについてxy≦0である」

よって

逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」

裏 :「x≦0ならば、全てのyについてxy≦0である」

対偶:「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」

となります。

id:miku1973

ありがとうございます。1つ追加質問します。

命題「x>0ならば、あるyについてxy>0である」は私は真だと思っています。

よってそれが正しいなら、その対偶も真に必ずなります。

さて、endeavor様の対偶は「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」です。

このendeavor様の対偶の真偽は「偽」になってしまいませんか?

2007/10/14 20:13:37
id:ita No.4

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472007/10/14 20:00:12

「飲み会にある女の子が来る」の反対は

「飲み会に来るのは全員男」ですね。

というわけで、

【ケース2】

とおっしゃってくれています。

前の回答にはポイントはなしでOKです。

id:miku1973

ありがとうございます。ita様の意見ではケース2が正しいということですね。

追加でendeavor様と同じ質問を致します。

ケース2が正しいとした場合ですが、

命題「x>0ならば、あるyについてxy>0である」は私は真だと思っており、よってそれが正しいなら、その対偶も真に必ずなります。ita様の対偶(ケース2の対偶)は「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」ですが、ita様の対偶(ケース2の対偶)の真偽は「偽」になってしまいませんか?

差し支えなければコメント欄でも構いませんので、ご意見頂ければ幸いです。

2007/10/14 20:19:40
id:endeavor No.5

すまーとぼーい回答回数78ベストアンサー獲得回数12007/10/16 23:36:31

ポイント100pt

3.のレスへの回答です。

「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」(A)は背理法で証明できますよ。

まず(A)を否定して「全てのyについてxy≦0であり、x>0であるxが存在する」(B)と仮定します。

(B)はy=1の時も成り立つので

y=1 の時:(B)は「x≦0であり、x>0であるxが存在する」となります。

この命題は明らかに矛盾しています。

よって「全てのyについてxy≦0であり、x>0であるxは存在しない」は真です。

したがって「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」は真です。

(証明終わり)

ちなみに「全てのyについてxy≦0ならば、x≧0である」も同様にy=-1と置いてやると証明できます。

つまり「全てのyについてxy≦0ならば、x=0である」ということです。

(これの対偶は「x≠0ならば、あるyについてxy>0である」)

 

id:miku1973

ありがとうございます!

命題は真、対偶が偽となってしまうと思い、悩んだ末した質問でした、

対偶は真だということがよく理解できました。

2007/10/17 07:34:00

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 juic 38 36 3 2007-10-14 20:56:17
2 juic 38 36 3 2007-10-14 20:57:31
  • id:KUROX
    >「x>0ならば、あるyについてxy>0である」
    命題として真だと思いますが、それはその認識でよろしいですか?

  • id:miku1973
    実はここでは真偽を質問していないのですが、実は真偽どちらかという正解を私は知りません。
    ですが、「x>0ならば、あるyについてxy>0である」は私は真だと思います。ですが、正しい保証はありません。
    もし真なら、対偶も真になりますね。
  • id:juic
    間違って2回送ってしまいました。(どうやったら削除できるのでしょう……)
    同じ内容ですので、2つ目は開かないでください。
  • id:ita
    命題「PならばQ」は
    Pが成り立たないときも真となります。
    「太陽が西から昇ったらこの犬は白い」
    は、そういことはおこらないから犬の色にかかわらず
    正しいといえば正しいのです。

    全てのyについてxy≦0
    となるxは存在しないので、
    対偶は真といえます
  • id:yo-kun
    全てのyについてxy≦0となるxは存在しますよ。
    x=0です。

    従って
    全てのyについてxy≦0⇒x=0⇒x≦0
    ですから真です。
  • id:miku1973
    「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」
    が、私は偽だと思ったのですが、真であるという意見が2人からありました。

    いまいち腹に落ちないため、もう少し補足していただけないでしょうか。

    どうぞよろしくお願い致します。
  • id:ita
    あ、そうか。
    「全てのyについてxy≦0になるようなxはx=0だけである」
    は納得ですか?

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  • 逆裏対偶 いまさらですが。 question:1192314780 数学の問題やで。(x、yは実数) 命題「x>0ならば、あるyについてxy>0である。」 この命題に対する、逆、裏、対偶を述べ、さらに、命題、逆、
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