微分積分の問題についての質問です。

      
∫aからx f(t)dt+∫0から3 f(x)dx =x^2+6x+3

を満たす関数f(x)、およびaの値を求めなさいという問題なのですが、
答えには最初に両辺をxについて微分して、f(x)=2x+6となるとかいてあるのですが、
両辺を微分するとf(x)+f(x)=2x+6とならないのですか?
定積分を微分する方法はしらないのでチンプンカンプンですorz

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/10/26 22:03:00
  • 終了:2007/10/26 22:56:27

ベストアンサー

id:juic No.1

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32007/10/26 22:34:27

ポイント60pt

定積分の基本的な性質としては、

∫[a,b]f(t)dt=F(b)-F(a)(ただし、F(x)はf(x)の不定積分)

ですね。

a,bに具体的な数字を入れた場合は、これがある値を表すわけです。

ここで、bにxという文字を代入してみましょう。aは何でもいいですが、たとえば2にしておきます。

そうすると、∫[2,x]f(t)dt=F(x)-F(2)となります。これは、xについての関数となります。


(例)f(t)=2tとすると、F(t)=t^2なので、

   ∫[x,2]f(t)dt=x^2-4


質問の問題について言えば、∫[a,x]f(t)dtはある“xの関数”です。∫[0,3]f(x)dxはある“値”です。

右辺は2次式ですから、左辺も2次式、ゆえにf(t)は1次式となります(積分すると次数が1増える)。なので、f(t)=pt+qとおいて考えてみるとイメージが掴みやすいと思います。

解答を書く上では、質問に書かれているように、両辺を微分するとよいです。その場合f(x)=2x+6となります。

 ※∫[0,3]f(x)dx=F(3)-F(0)=ある“値”、なので微分すると0です。

id:holizon

ありがとうございます。“値”なのですね。

不勉強がたたりました><

2007/10/26 22:54:51

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