次の拡散方程式(非線形項あり)の解f=f(t,x)がわかったら教えてください。特解でもかまいません。


D_t f = (D_x)^2 f + k * f * D_x f

fは、t>0かつ-∞<x<∞で定義されたなめらかな実数値関数、kは正の定数です。D_tはtによる偏微分、D_xはxによる偏微分を表します。(弱電離プラズマの振る舞いを調べていたら、この方程式が出てきました。)

いま、わかっていることを参考までに書きます。たとえば、初期波形として(振幅の大きな)正弦波を選んでみます。直感的には、時間が経つにつれ、右上がりの坂はどんどん急に、右下がりの坂はどんどんなだらかになって、ノコギリ波のようにひずみながら崖の高さは高くなる。そのひずむスピードと、拡散の効果でぼやけていくスピードとが競争する、というイメージの解になりそうです。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2007/11/20 12:28:11
  • 終了:2007/11/23 01:08:08

ベストアンサー

id:ita No.1

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482007/11/22 09:27:25

ポイント100pt

fを1/k倍にスケールすると係数を1に出来るのでk=1で考えればいいですね。

それで

f=-(x-x0)/(t-t0) という解を見つけました。

id:LaLaLa

おお、素晴らしい。ありがとうございます(分母はt0-tかな)。解に加え、k=1のスケールも目から鱗でした。

もし、x→±∞で0になるような解が見つかったら(欲張りすぎですが…)、最高にうれしいです。なので、もうしばらく質問をopenにさせて下さい。

2007/11/23 00:31:25
  • id:ita
    とけたわけじゃないけど線形安定性の議論で。
    自明な定常解として f=A (const) があり、これに摂動 δexp(ikx) , δ<<Aを加えると
    [tex:f=A+\delta\exp(ikx+t(-k^2+ikKA))]となり摂動が振動しつつ減衰します。
  • id:LaLaLa
    itaさん、コメントありがとうございます(回答として書いてくださればよかったのに。なんだか申し訳ないです)。
    非線形項f * D_x fが効く場合に興味があるのですが、「定常解を考えてみる」という大きなヒントをいただきました。調べてみると、反比例(y=c/x)の形の定常解があるようです。この定常解はx=0で不連続になっていますが、興味があるのは、はじめ連続だった関数が、時間がたつにつれて反比例(y=c/x)の形に近づいていく様子です。そのあたり、なにかお気づきになりましら、よろしくお願いします。
  • id:ita
    というわけで回答1の解から分かるのは、f=0を正の傾きCで横切っている部分があると、時間 1/kC 後にその部分は傾き無限大になる、って感じですね。
  • id:LaLaLa
    itaさんの回答1の解のおかげで、崖が急になっていく様子がかなり定量的にわかってきました。あとは、直線でない解の場合に「f=0を正の傾きCで横切っている部分」の傾きが増えていく様子が、周辺の部分の影響をどの程度受けるのか、が知りたいです。
    LaLaLaが気付いたことを追加します。初期波形とそのx微分がx→±∞で0に近づく場合には、定積分 V(t) = int_{-∞}^{+∞} f(t,x) dx がtによらず一定になるようです。
  • id:LaLaLa
    この質問は終了して、新たな質問を登録することにします。よろしくお願いします。

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません