次の拡散方程式(非線形項あり)


D_t f = (D_x)^2 f + f * D_x f

の解f=f(t,x)で、x→±∞でf/|x|がゼロに近づくが、定数関数ではないものがわかったら教えてください。fの傾きが一点で発散する様子の評価でもかまいません(参考:この質問は、http://q.hatena.ne.jp/1195529290 の続きです)。

fは、t>0かつ-∞<x<∞で定義された(区分的に)なめらかな実数値関数です。D_tはtによる偏微分、D_xはxによる偏微分を表します。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2007/11/23 01:29:55
  • 終了:2007/11/29 23:39:48

ベストアンサー

id:ita No.1

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472007/11/28 12:50:19

ポイント85pt

別の定常解を見つけました。

f(x)= 2a \tanh (ax)です。不安定解のような気がします。cosh, sinh, tanh を使って非定常解も作れそうな気がします。

id:LaLaLa

itaさん、どうもありがとうございます。非定常解のほうも、ぜひよろしくお願いします。

定常解のほうは、拡散方程式の右辺をゼロとおいた式を一度xで積分すると

df/dx + f^2/2 = 定数(=Cとおく)

となり、この定数Cの符号に応じて、Cが正のときはtanh、Cが負のときはtanの形の定常解になるようです(Cがゼロのときは定数解または反比例解)。

2007/11/28 23:55:38
  • id:ita
    あ、-2a tan(ax) も解ですね。
    ノコギリ形はまだ解が分かりません。

  • id:ita
    も一つ解です。 -x/t +2/x
    初期値sin(x)のノコギリは数値解といろんな関数を比べてみてます^^;
  • id:LaLaLa
    おお!非線形なのに、解の和が解になっているとは驚きです。こんな解が見つかることは予想外でした。質問文に余計な条件をつけてしまったようです。
    数値解はLaLaLaも試みたのですが、素朴な差分近似がいけなかったのか、不安定になってしまい、情報を得られずじまいです。なにかわかりましたらよろしくお願いします。
  • id:LaLaLa
    質問を終了して、新しい質問を登録することにします。どうぞよろしくお願いします。
  • id:ita
    tanh とか tan の逆数(名前忘れた^^)も定常解のようですね。また tanh + 1/tanh とかも、f Dxf でうまくクロスタームが消えて解になるようです。
  • id:LaLaLa
    なるほど。クロスタームが消える場合には、解の和が解なんですね。-x/t +2/xは見事に該当しています。というか、うますぎです。
    こたん解(^^;や和の解は、tan解の平行移動、あるいは倍角公式による書き換えと考えても、理解できるようです。

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