【小学校算数】長方形の面積を求める公式について。

小学校では、「長方形の面積は、縦かける横」と教えますが、これはなぜでしょうか。
X軸、Y軸という順で考えるなら、「横かける縦」であるべきでは、とも思えるのですが。
現に、三角形では「底辺かける高さ割る2」が公式とされている(Xが先でYが後)わけですし。
 
また、
「縦4cm横5cmの長方形の面積」
を求めるにあたって、「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)、としている先生も多いと思うのですが、その根拠はあるのでしょうか。(「公式と違うから」以外で)
 
これが例えば、
「4人が200円ずつ募金したら全部で何円」
といった問題であれば、「200が4つだから200×4」というのはまあわかります。
(4×200だと、「200人が4円ずつ」になる)
しかし、図形の縦横は見ようによりますし、どっちも同じ「長さ」を表す数ですので、「逆でもいいのでは?」と思えてなりません。
 
当方、小学校勤務ですが、不勉強で今ひとつよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/12/16 10:33:25
  • 終了:2007/12/23 00:16:41

ベストアンサー

id:hrkt0115311 No.1

どんジレ、どんさん回答回数892ベストアンサー獲得回数512007/12/16 11:06:41

ポイント25pt

こんにちは。お仕事お疲れさまです。


また、正方形や長方形の面積を求めるには、単位となる正方形を敷き詰めて、その個数を求めればよいことから、その総数を求めることに、乗法を使えば便利であることが分かるようにする。そして、縦(または横)に並ぶ単位の正方形の個数は縦(または横)の辺の長さを表す数と一致していることから、(長方形の面積)=(縦)×(横)

という公式が導かれ、更に面積の見方を一歩進めて、長方形の面積が縦と横の辺の長さを用いた計算によって求めることができることを理解できるようにする。


ともすると、長方形の面積は縦の長さと横の長さをかければよい、と形式的に指導されがちであるが、あくまで一辺が1㎝の正方形の個数を求めるという式の意味を理解できるように指導していく。

http://www.gifu-net.ed.jp/kyoka/sugaku/0210/menseki4.pdf 左記より引用


上記の考え方を参考にすると、縦と横で以下のような違いが生じますよね。三角形の例もあることですし、縦から敷き詰めても横から敷き詰めても同じだよなぁとは思います。下手すると「そう決まってるから」であり理由はないのかもしれないですね。


縦に注目

■     ■     ■■■

■   → ■■  → ■■■■

■     ■■    ■■■■

横に注目

            ■■

    → ■   → ■■■■

■■■■  ■■■■  ■■■■


かけ算ではなく、「敷き詰めていくことをイメージさせる」という点に共感したので、紹介させていただきましたが、ご質問の回答としてはズレてしまっているかもしれないですね。すみません。(※等幅フォント以外だとズレてしまいます。分かりにくい図を書いてすみません)

http://oecc.open.ed.jp/els/els1.htm

↑平行四辺形の説明をやりやすいからかとも考えたのですが、ならばむしろ逆ですよね。

また、

「縦4cm横5cmの長方形の面積」

を求めるにあたって、「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)、としている先生も多いと思うのですが、その根拠はあるのでしょうか。(「公式と違うから」以外で)

この点については、私も不合理だと思います。


なお、ご質問とは直接は関係ないのですが、下記資料で行われている先生の工夫がユニークだったので参考までに紹介させていただきます。

http://www.ysn21.jp/e-project/program/2-p35p36.pdf


以上、少しでも疑問を解く際の足がかりになれば幸いです。

id:filinion

丁寧にありがとうございます。

 

>下手すると「そう決まってるから」であり理由はないのかもしれないですね。

やっぱりそうなんでしょうかね……。

 

面積の場合は、式が逆でも正解として扱う、という対応をすべきなのでかも知れませんね……。むむ。

 

しかし、だとすると、

「箱の中に、りんごが縦4個、横2個並んでいます。全部でいくつでしょう」

のような場合も、4×2・2×4のいずれでも良い、という扱いになりますね。

むむむ。

 

紹介して頂いた資料、拝読しました。

 

面白い……とは思いました。

んー……、あれはつまり、「説明する力」を育てる授業なんですよね。

算数というより国語的だな、と思いました。

2007/12/16 12:15:41

その他の回答(12件)

id:hrkt0115311 No.1

どんジレ、どんさん回答回数892ベストアンサー獲得回数512007/12/16 11:06:41ここでベストアンサー

ポイント25pt

こんにちは。お仕事お疲れさまです。


また、正方形や長方形の面積を求めるには、単位となる正方形を敷き詰めて、その個数を求めればよいことから、その総数を求めることに、乗法を使えば便利であることが分かるようにする。そして、縦(または横)に並ぶ単位の正方形の個数は縦(または横)の辺の長さを表す数と一致していることから、(長方形の面積)=(縦)×(横)

という公式が導かれ、更に面積の見方を一歩進めて、長方形の面積が縦と横の辺の長さを用いた計算によって求めることができることを理解できるようにする。


ともすると、長方形の面積は縦の長さと横の長さをかければよい、と形式的に指導されがちであるが、あくまで一辺が1㎝の正方形の個数を求めるという式の意味を理解できるように指導していく。

http://www.gifu-net.ed.jp/kyoka/sugaku/0210/menseki4.pdf 左記より引用


上記の考え方を参考にすると、縦と横で以下のような違いが生じますよね。三角形の例もあることですし、縦から敷き詰めても横から敷き詰めても同じだよなぁとは思います。下手すると「そう決まってるから」であり理由はないのかもしれないですね。


縦に注目

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横に注目

            ■■

    → ■   → ■■■■

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かけ算ではなく、「敷き詰めていくことをイメージさせる」という点に共感したので、紹介させていただきましたが、ご質問の回答としてはズレてしまっているかもしれないですね。すみません。(※等幅フォント以外だとズレてしまいます。分かりにくい図を書いてすみません)

http://oecc.open.ed.jp/els/els1.htm

↑平行四辺形の説明をやりやすいからかとも考えたのですが、ならばむしろ逆ですよね。

また、

「縦4cm横5cmの長方形の面積」

を求めるにあたって、「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)、としている先生も多いと思うのですが、その根拠はあるのでしょうか。(「公式と違うから」以外で)

この点については、私も不合理だと思います。


なお、ご質問とは直接は関係ないのですが、下記資料で行われている先生の工夫がユニークだったので参考までに紹介させていただきます。

http://www.ysn21.jp/e-project/program/2-p35p36.pdf


以上、少しでも疑問を解く際の足がかりになれば幸いです。

id:filinion

丁寧にありがとうございます。

 

>下手すると「そう決まってるから」であり理由はないのかもしれないですね。

やっぱりそうなんでしょうかね……。

 

面積の場合は、式が逆でも正解として扱う、という対応をすべきなのでかも知れませんね……。むむ。

 

しかし、だとすると、

「箱の中に、りんごが縦4個、横2個並んでいます。全部でいくつでしょう」

のような場合も、4×2・2×4のいずれでも良い、という扱いになりますね。

むむむ。

 

紹介して頂いた資料、拝読しました。

 

面白い……とは思いました。

んー……、あれはつまり、「説明する力」を育てる授業なんですよね。

算数というより国語的だな、と思いました。

2007/12/16 12:15:41
id:kappagold No.2

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482007/12/16 11:12:19

ポイント20pt

非常に不思議な話ですね。


自信はないのですが、以下のサイトにあるような行列の考え方から、縦掛ける横ということになったのではないかと思います。


http://wiki.fdiary.net/lacs/?Errata

[2006-07-21]

p. 34, 1.2.5 項:

「縦掛ける横」と「横掛ける縦」の話がピンとこない場合は, まず 2 行や 2 列の例を考えてみてください. これを確かめてから「じゃあ 1 行や 1 列なら?」と問い直せば, 今度は自信を持って答えられるはずです. と書いてあるところの下の図を見てください。



しかし、面積には、置いた方向というのは関係ないはずです。

"「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)"という考え方であれば、斜めにおいてある長方形の面積は出せなくなりますね。



指導要綱等からこのようなことになるのでしょうが、子供たちのために柔軟な教え方をしてくださることを願います。

id:filinion

ありがとうございます。

 

正直、紹介して頂いた図はよく理解できなかったのです……。

(そもそも行列がよくわかってない)

 

行列だと、A×BとB×Aはイコールではない、ということからしてさっき知ったので。

「X・Y」の順だと「横・縦」だけど、「行・列」と考えると「縦・横」になる……んでしょうか。

 

>斜めにおいてある長方形の面積は出せなくなりますね。

そうですね……。

どっちが縦でどっちが横か示されないと立式できない、とすれば。

実際には、長方形の厚紙を子どもに渡して考えさせたりすることも多いので、

「どっちが縦かは見方による」

というのは自ずと明らかになっている……はずだとは思うのですが……。

2007/12/16 12:23:31
id:SALINGER No.3

SALINGER回答回数3430ベストアンサー獲得回数9692007/12/16 11:59:45

ポイント15pt

より難しい公式を覚える場合、意味は同じでも違う公式を全て覚える必要はないですよね。

例えば、2次方程式の解の公式でも、通分の仕方によって式が変わります。

式が違っても全て正しいのですが、個々が別の式を使って2次方程式を解くのは間違いじゃなくても理解の妨げになるとの考えです。

長方形の面積で考えると、縦×横でも横×縦でも間違いではなくても、どちらかに統一しておいたほうがより理解しやすいとの考えだと思います。


小学生が長方形の面積を覚える場合、まず縦×横で面積が求まるということを学び、次の段階で横×縦でも同じことが分かるというのを習うでしょう。a×bはb×aに置き換えることができるという概念は先の長方形の面積を求めるということに比べると難しいことなので、まず縦×横としか教えないのではないでしょうか。


では、なぜ横×縦ではなく、縦×横なのか。

推測でしかありませんが、外国の横書きの文化から来てるのではないでしょうか。横書きの場合、文章の量を測る場合、まず何行あるかでだいたいわかり、1行が何文字かということで正確に測れます。これは先に縦が来て次に横ということ。

id:filinion

ありがとうございます。

 

>どちらかに統一しておいたほうがより理解しやすい

 

そうですね。

ただ、そのわりに、

「正方形の場合は“一辺×一辺”」

とか、わりと余計気味な内容も出てくるので困ります。

(確かに間違いではないんですが……。でも、正方形だって縦×横で充分、という気もします)

 

>外国の横書きの文化から来てるのではないでしょうか。

ああ、なるほど。

そう……なのかも知れませんね。

 

外国ではどう教えてるんでしょうね?

2007/12/16 12:26:20
id:KUROX No.4

KUROX回答回数3542ベストアンサー獲得回数1402007/12/16 12:18:22

ポイント1pt

>「5×4」は不正解(または減点)

こんなので不正解とか減点なんかありえないですよ。

X,Y座標なんか関係ないですよ。

三角形だって、30度ぐらい回転したものでも面積求められますし、

底辺って、別にX,Y座標関係ないのは明らかです。

長方形だって、回転させれば縦・横が入れ替わります。

入れ替わった長方形の面積は同じです。

実際問題、長方形の土地とかの面積を求めるときに、

どっちが縦か横を選択するかは、主観なわけで・・・。

------------------------------

長方形を求めるのに、

対角線を引いて、2つの3角形だと考えて求めても正解なわけです。

横(底辺)×高さ(横)×1/2×2

これでも、正解なはずです。

平行四辺形の公式で、長方形を求めても良いし、

台形の公式で、長方形を求めてもよいです。

平行四辺形の公式で求めてもOKです。

どれも間違いではありません。

-----------------------------

>「逆でもいいのでは?」と思えてなりません

逆でも問題ないと思います。

親からクレームついたときに、ちゃんと説明できるんでしょうか?

公式がちゃんと使えていないという点で不正解、減点はありですが

問題文が妥当である必要があると思います。長方形の公式を用いて

求めなさいとかそういう一文は必要だと思われます。

------------------------

微積分の概念で考えても、縦×横でも横×縦でも問題ないと思いますが。

id:filinion

ありがとうございます。

 

確かに、どんなやり方をしても面積は求められます。

 

しかし、現に「公式」というものは存在しますね?

(長方形にも正方形にも三角形にも台形にも円にもその他諸々)

 

「なぜ、長方形の面積を求める公式として“縦×横”が採用されているのか?」

 

というのが質問なのです。

2007/12/16 12:40:22
id:j1960 No.5

j1960回答回数322ベストアンサー獲得回数212007/12/16 14:22:16

ポイント10pt

>「なぜ、長方形の面積を求める公式として“縦×横”が採用されているのか?」


それは日本語で「横縦」よりも「縦横」の方がはるかに一般的な順番だからです。

Googleでの検索結果から見ても明らかに使用頻度が異なります。

"縦横" に一致する日本語のページ 約 3,860,000 件

"横縦" に一致する日本語のページ 約 81,900 件


確かに日本語として「横縦」は存在しますがあまり一般的ではありませんね。「縦横」の方が用例もはるかに多いです。

公式なので縦横のどちらかを先に記述するかを決めてしまわないといけなかったとすると縦横の順番の方が自然な流れだと考えます。

また、

「縦4cm横5cmの長方形の面積」

を求めるにあたって、「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)、としている先生も多いと思うのですが、その根拠はあるのでしょうか。(「公式と違うから」以外で)

そんな馬鹿な先生が本当にいるのですか?

長方形の縦と横は90度ずらすとどちらでも交換可能なことを同時に教えてないのですか?

そんな先生がいたとするとその先生は先生をやっている資格が無いですね。

id:filinion

ありがとうございます。

 

>日本語で「横縦」よりも「縦横」の方がはるかに一般的な順番だから

そんな気はしていたのですが、本当にそれが理由なのか自信がないのです。

もし、それが理由である、という出典がありましたらご教示ください。

 

>その先生は先生をやっている資格が無いですね。

そういう先生がいるのは事実と思います。

 

「公式通りに解く」ということ、もっと言えば、「授業で教えられたとおりに解く」ということを重視する立場の人は多いのです。

2007/12/16 15:52:59
id:KUROX No.6

KUROX回答回数3542ベストアンサー獲得回数1402007/12/16 14:23:27

ポイント10pt

-------

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%95%B7%E6%96%B9%E5%BD%A2

公式としては、面積=長さ×幅 でもよいですけど。

http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/blog/node/1870

公式に意味なんてないです。

順番が重要な公式もあり、順番に意味がない公式もあるとしか。

『面積』を考える時点で積の可換性は当然前提にしている,だから積の順序にこだわるのは無意味」

積の順序が重要だという理由は、どこにも見当たりませんが・・。

直方体とかの体積とかになったら、どうなるんでしょうね(^^;

問題文が、1辺が4cm、他辺が5cmの長方形があります。面積を求めなさい

となった場合に、縦横の順番を意識している人たちは、どうやって面積を求めるんでしょうか?

でもって、そういう変な教育を受けた生徒たちは、どうやって面積を求めるのか分からなく

なるのではないでしょうか?

この問題文で面積を求められるのなら、縦横の順番は意味がないということですし、

もし、順番に意味があるのなら、長方形の公式では面積は求められないということになります。


---------

進学校の入試でも、不正解にならないですけど(苦笑)。

id:filinion

Wikipediaの用語「長さ」「幅」は、おそらく英語版の「length」「width」からの翻訳ではないかと思うのですが……。

日本で「縦×横」としている理由はなんでしょうか。

(それとも、日本語でも、数学者の間では、「長さ」「幅」が主流なのでしょうか?)

 

英語では、長い方を長さ、短い方を幅、と呼んで、「長さ×幅」とするのですね。ふむ。

(……逆じゃ駄目なのか……な?)

わざわざ「正方形は一辺×一辺」として別に教えるのも、ひょっとしたらそこに理由があるのかも知れませんね。

 

してみると、「うちの娘は長い方が横と習った」って話はここから来てるんでしょうか……。(間違った教え方だとは思いますが)

 

二つ目のリンク先は既読です。(過大な要求かも知れませんが、コメント欄も御覧頂ければ、と思います)

 

なお、私自身は、縦×横でも横×縦でも、どっちでもいいはずだ、と考えております。

念のため。

2007/12/16 19:54:19
id:pyopyopyo No.7

pyopyopyo回答回数256ベストアンサー獲得回数432007/12/16 15:31:39

ポイント3pt

"縦×横”と“横×縦”は式としては同じ意味です.どちらも面積を求める公式です.

教科書の内容を"理解する"という事と,教科書の文章を"暗記する"ことは違います.

公式として“縦×横”を暗記させるのではなくて,その意味・求め方を理解させることが教育だと思います.

教科書通りの“縦×横”ではない“横×縦”を減点した先生は

"教科書が暗記できていないから"という理由で減点しているように感じます.

言葉は悪いですが,それは教育の放棄です.

面倒がらずに,教科書には“縦×横”とあるが“横×縦”でも面積は求まる.両者は同じ意味であると説明した上で,“横×縦”も正解であると生徒全員に教えるべきです.先生方は多忙だと聞いていますが,答案を返すときに,答案用紙を長方形に見立てて,くるくる回して縦横を入れ替えても面積が変らないよね?ぐらいの話は,臨機応変にやって頂きたいです

id:filinion

おっしゃることには賛同します。

私としても、“縦×横”でも“横×縦”でも、いずれでも構わないはずだ、と考えます。

 

しかし、質問で触れたとおり、掛け算の順序には(答えが同じであっても)意味がある場合もあります。

残念なことに、私は数学に明るくないため、「ひょっとしたら、この順序になにか理由があるのでは?」という思いが捨てきれないのです。

 

pyopyopyoさんは「同じ意味です。どちらも面積を求める公式です」と断定されるわけですが、その根拠はなんでしょうか?

その点、ご教示頂ければ、と思います。

 

なお、回答でない内容はコメント欄に書いて頂ければ、と思います。

そのためにコメント欄を開いていますので。

2007/12/16 16:11:56
id:j1960 No.8

j1960回答回数322ベストアンサー獲得回数212007/12/16 16:47:49

しかし、質問で触れたとおり、掛け算の順序には(答えが同じであっても)意味がある場合もあります。

残念なことに、私は数学に明るくないため、「ひょっとしたら、この順序になにか理由があるのでは?」という思いが捨てきれないのです。

それは単位系と次元の問題ですね。

「長さx個数=全体の長さ」のような問題の場合「個数x長さ」の順序だと論理的に間違っている訳です。しかし、面積を求める問題の場合は「長さx長さ=面積」1次元の長さと1次元の長さの積が2次元の面積を表す訳ですから縦も横も同じ次元の同じ長さを単位とする数字ですから交換可能で順序は関係なくなる訳です。


>日本語で「横縦」よりも「縦横」の方がはるかに一般的な順番だから

そんな気はしていたのですが、本当にそれが理由なのか自信がないのです。

もし、それが理由である、という出典がありましたらご教示ください。

理由が必要なのですか?

どちらが先でもいい事に対して確たる理由なんてありませんよ。

それよりも縦横が交換可能だという概念をよく教えてあげることが重要です。

本当に知りたいのであればプロの先生なのでしたら文部科学省に問い合わせてみてはいかがですか?


文部科学省に関するメールでの御意見・お問い合わせ窓口案内

http://www.mext.go.jp/mail/index.htm


文部科学省 公表資料 > 出版物案内 > 新学習指導要領 > 小学校学習指導要領 > 第3節 算数

http://www.mext.go.jp/b_menu/shuppan/sonota/990301b/990301g.htm

id:filinion

「公式がそうである理由」を問うたのであって、「どちらが先でも良い理由」を問うたわけではないのですが……。

 

どちらが先でも良いにしても、公式がそのようになっているのには何らかの原因・起源がある、ということはあり得ますよね?

(引用して頂いた文でも、「本当に日本語として一般的だから、というのが理由なのか」とおたずねしています)

 

私自身、「どちらでも良いはずでは?」という思いは抱いていますので、単位系関係の議論はよくわかります。

質問にも、“どっちも同じ「長さ」を表す数ですので”と書いたとおりです。

誤解を招いたようで申し訳ありません。

 

学習指導要領ももちろん確認済みです。

 

ありがとうございました。

2007/12/16 17:06:16
id:garyo No.9

garyo回答回数1774ベストアンサー獲得回数952007/12/16 21:36:00

ポイント25pt

>「縦4cm横5cmの長方形の面積」

>を求めるにあたって、「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)、としている先生も多いと思うのですが、その

>根拠はあるのでしょうか。(「公式と違うから」以外で)


「5×4」は不正解(または減点)とすることは間違いです。根拠は以下の通りです。


小学校学習指導要領 > 第3節 算数 によれば

掛け算の交換則についてはすでに3年生で学習済みです。


イ 乗法に関して成り立つ簡単な性質を調べ,それを乗法九九を構成したり計算の確かめをしたりすることに生かすこと。

(4) 内容の「A数と計算」の(3)のイについては,乗数が1ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱うものとする。

http://www.mext.go.jp/b_menu/shuppan/sonota/990301b/990301g.htm

その後長方形の面積の計算が出てきます。

つまり、長方形の計算を習う前に交換則は既に学習済みなのです。

「4×5」と「5×4」が異なるとするのは既に学習した「交換則」に基づき間違っていると「小学生」でも判断(証明)可能です。

拠って公式は「縦×横」でも「横×縦」でも等しく、なぜ「縦×横」なのかと問うのは無意味でしょう。

これは「縦×横」と「掛け算の交換則」を使えば小学生でも証明可能。



まあ世の中には外積や

b×a = -a×b

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8...

四元数のように交換則が成り立たない演算もありますけどね。

ij = −ji = k,

jk = −kj = i,

ki = −ik = j

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0

id:filinion

ありがとうございます。

 

確かに、小学4年生では、交換法則は学習済みですね。

 

ただ、思うに、

「税抜き3500円の品物は、消費税5%込みでいくらになるか」

で、

「式:1.05×3500」

としたら、誤りとされる可能性はあります。(小数の乗法は5年生の内容)

 

「掛け算の順序には意味がある(こともある)」

ので。

http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/me/instruction/subjects/number/numb...

(他人様に紹介して頂いた記事ですが)

 

ただまあ、確かに実際の長方形では、縦も横もあったもんじゃないので、たぶんどっちでもいいのだと思います。

たぶん。

 

面積を求める公式、三角形は「底辺」、台形は「上底」は平行四辺形は「底辺」が先に来るのに、なんで長方形だけ「縦」を先に持ってきたんでしょうか。

混乱が生じるだけでしょうに。

2007/12/16 22:01:21
id:idadi No.10

伊田匡嗣回答回数25ベストアンサー獲得回数22007/12/18 00:13:24

ポイント25pt

面積を求める公式は、ただ単にゴロなんじゃないでしょうか?リズムが良いから、とか数学的な話とは違う原因がありそうです。

X軸、Y軸という順で考えるなら、「横かける縦」であるべきでは、とも思えるのですが。

現に、三角形では「底辺かける高さ割る2」が公式とされている(Xが先でYが後)わけですし。

この疑問の1つの理由は、「横軸=X軸、縦軸=Y軸」としているところですよね。

X軸を横に取らなくてはならないというルールが存在するわけではありません。べつに横軸をY軸としても良いです。実際、高校物理なんかを見ると、軸の取り方はイロイロあることがわかります(縦方向をX軸とすることもありますから)。

私たちがグラフを書くときになんでX軸を普通は横軸にするかっていうと、X軸がインプットだからなんだと思うんです。発想としては、棒グラフ(棒が上向きに伸びていくグラフ)と同じ発想です。

あと、軸は必ずしも直交している必要もありません(軸となるベクトルが一次独立であれば良いはずです)。

ですので、そもそも単なる長方形や正方形・台形などなどに「こっちがX軸でこっちがY軸」という議論はできないのです。

「縦4cm横5cmの長方形の面積」

を求めるにあたって、「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)、としている先生も多いと思うのですが、その根拠はあるのでしょうか。

これ、実際に私が小学生のときに減点されました。減点だったか不正解になったかまではさだかではないですけど

そのとき、根拠として言われたのは「かけ算の順番には意味があるから」でした。でも、これは納得できないんですね。それなら、「違う意味で解釈しちゃならんのか?」と思ったんです。

大学に入って勉強したのは、「交換法則が成立しない世界がある」ということです。じゃあ、どちらが特殊な世界なのかといえば、交換法則が成立する世界のほうが特殊なんです。

ただ、実数という世界なら交換法則は成立しますので、 逆だから減点というのは、かなり無茶だと思います。

すこしは参考になるでしょうか?

id:filinion

ありがとうございます。

 

>X軸を横に取らなくてはならないというルールが存在するわけではありません。

 

ああ、なるほど。

んー、長方形のどっちを「たて」と見なしても良い、というのにちょっと似ていますね。

 

>「違う意味で解釈しちゃならんのか?」と思ったんです。

>実数という世界なら交換法則は成立しますので、 逆だから減点というのは、かなり無茶だと思います。

 

んー、4人が200円を募金、の例のような場合、やはり200×4が本来の式だとは思います。

交換法則が適用できることを理由に「4×200でも良い」とは言えないと思います。

 

長方形も同様であるかどうかははなはだ疑問なのですが。

ただ、問題文に「公式に従って解きなさい」という指示がある場合は、「縦×横」にせよ、という意味を含むのかも知れません。

 

まず200×4の式を立てて、交換法則に従って式を変形する、という形をとれば問題ないと思いますが。

(でもそんなことする子いないだろうなあ)

2007/12/19 06:44:31
id:KeyKey No.11

KeyKey回答回数29ベストアンサー獲得回数42007/12/20 23:55:08

ポイント20pt

交換法則が成り立つ範囲での計算で本来の式というのはないと思います。

問題なのはどういう解釈でこの順番でかけたのかということだと思います。

んー、4人が200円を募金、の例のような場合、やはり200×4が本来の式だとは思います。
交換法則が適用できることを理由に「4×200でも良い」とは言えないと思います。

現に「4人が200円を募金」と言っているのに「200円を4人が募金」で「200X4」だと200円が4人分あると倒置しています。

それはfilinionさんの解釈の仕方がそうだというだけだと思います。

僕ならこの問題の順番のまま4人分200円があるということで「4X200」と計算します。


そして縦X横の計算ですが。

数学的に縦横の概念は決まっていないというのはとりあえず置いておきます。

上下に伸びてるのが縦、左右に伸びてるのが横というのは一般的な解釈だと思います。

その上で「縦の長さ5、横の長さ4の長方形」を「縦X横」と解釈して「4X5」としたならば間違いになっても仕方ないと思います。

しかし、数式だけではその子は「縦X横」ではなく「横X縦」と計算しただけかもしれません。


数式で解答させている以上どちらの解釈であるかの判断は水掛け論です。数学的にはどちらも正しいし、不正解にするには酷だと思います。

id:filinion

ありがとうございます。

 

んー。

 

「公式を使って回答しなさい」

って書いてあったら、「縦×横」でなければならないが、そうでなければそうではない、ということでしょうか。

それも一つの見識かと思います。

 

というか、今の私の立場がそれかも。

 

>僕ならこの問題の順番のまま4人分200円があるということで「4X200」と計算します。

私だったら、計算しやすい順番でやります。

「8円を1207人が」とかだったら、絶対「1207×8」にして筆算します。

文中の順序とか「元になる数のいくつぶん」とか無関係に。

KeyKeyさんが、文中の順序に従って計算する、というなら、それもそれで間違いだとは思いません。

 

ただ、子どもに教える、というのはまた違う話なので。

 

小学校2年生くらいでは、

「10円のガムを買いました。最初に持っていたのは100円でした。今いくらのこっているでしょう」

で、

「10-100=90」

と書く子がたぶんどこのクラスにもいます。

 

そんな人に、「元の数-減った数」なんだ、ということをなんとかして叩き込まねばならないので。

式を見て、どんな状況を表しているかイメージできるようにさせないといけない、というか。

だから、掛け算も、「元になる数のいくつぶん」が掛け算の基礎となる考え方である以上、子どもたちには「どっちでもいいんだよ、臨機応変にやりなさい」とは言えない(言うと混乱を来す)、という理由もあるんだと思います。

 

長方形は、どっちでも良い気はかなりします。

2007/12/22 22:54:12
id:ymlab No.12

ymlab回答回数504ベストアンサー獲得回数332007/12/21 00:20:29

ポイント25pt

[主観です。]

縦×横の方が、子どもにとってわかりやすいからでは?

1年生の時にかずをならいます。

最初はばらばらに具体物を数えていたものが、

抽象物(数字)に行く前に、

途中で半具体物(例えばタイル)をおきますよね。

その時に、半具体物はどのようにおきますでしょうか。

横に並べて置く先生もいるかもしれませんが、

次の十進位取り記数法を教えるときのことを考えると、

縦に積み上げる方が、より自然です。

[多分黒板に

-----------------------------------

|  1      |5   |

| 十のタイル   |□□□□□|

|----------------------------------

よりも

----------------------------

|  1      |5  |

| 十のタイル   |□  |

|        |□  |

|        |□  |

|        |□  |

|        |□  |

|----------------------------

とする方が自然。

]

次に2年生で九九を習います。

九九の教え方は色々ありますが、教科書では、

1つ分×いくつ分で教えていると思います。

この時足し算とかけ算は交換可能であることを学びます。

次に□×10などの乗数が10,や20の計算を習います。

この時も、□を縦に積み上げて、横に10個ぐらい書きます。

さて、長方形の面積を教える時には、(おそらく)半具体物を使います。

そのときは、これまで半具体物は縦に積み上げることの方が多いので、

縦を基準にすると思います。

長方形の面積の公式は、縦からでも横からでも求めることができますが、

半具体物を使って教えたときの方法(縦×横)を踏襲する方がより、自然なので、

縦×横という流れになったのではないでしょうか。

これは、1年生の時には、十進位取り記数法を教えるときのタイルが縦だから。

という、かなりこじつけかもしれません。


でも、例えば1年生の9月ぐらいに、いきなり3つの数の足し算引き算が出てきて、

私は面くらいました。たった1つ演算が増えただけなのになんで1ヶ月もカリキュラムに入っているんだろうと。

後でわかったのですが、それは10月の減加法や減減法をする時にとても必要とします。

[この時点では暗算で3つの数の演算ができていないといけない。]

つまり、9月に3つの数の足し算を教えることは、理由があったのです。

このように、色々見えないところで理由があることが多いので、

何か理由があるのでは・・・?と思いたいところですね。

[でも、公式の順番は全然関係ないのに、みんながみんな決まった順番がありますよね。

sinの加法定理なんて、

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

と覚えますが、

sin(a+b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)

でも言い訳だし、

sin(a+b)=-sin(b)cos(a)+cos(b)sin(a)

でもよいわけです。

なんで、

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

で覚えるんでしょうね。^^;

]

id:filinion

ありがとうございます。

 

確かに教科書の図でも、「10のまとまり」として並んでいるタイル(ブロックかな?)は、縦に並んでいますね。

で、「20は10が2つ」とかいう時には、それを横に並べますね。

 

なるほど。

ありがとうございました。

 

余談ながら。

子どもがおはじきをおはじき版に並べる時には、横に並べるんですよ。

縦に10個並べるスペースはないわけで。

一年生段階で、黒板と手元で並べ方に違いがあるのは混乱の元なんですが。

さんすうセットの中身は業者の責任とはいえ、なんとかならんのか、と思いました。

2007/12/21 21:15:32
id:hyorohyoro No.13

hyorohyoro回答回数4ベストアンサー獲得回数02007/12/22 00:01:10

ポイント20pt

減点に根拠はないと思います。

公式の起源についてですが

過去の教科書や、教科書制定の歴史を調べるのが一番早いと思います。

どのくらい昔から「縦かける横」と教えているのか

が確認できれば、理由もある程度推察できるのではないでしょうか。

特に、学校に勤務されているのであれば

ある程度過去の教科書はチェックできるのではないでしょうか?


という回答だけでは、あまりにあまりなので

以下に自分なりの推論を書いてみます。

まず、外国からの影響であると考えてみます。

どの国なのかというと、ドイツあたりが有り得そうに思いますが

ドイツ語は理解できないので(笑)

アメリカ合衆国に注目してみます。

既出の回答とかぶる部分もありますが。

http://www.themathpage.com/arith/mental-arithmetic-multiplicatio...

http://en.wikipedia.org/wiki/Rectangle

アメリカでは、積は

(かける数)×(かけられる数)

で計算します。日本とは逆ですね。

そして長方形の面積を

length×widthで求めています(長いほうがlengthで短いほうがwidthですね)。

こう計算する理由を想像してみますと

テープ状ののものを考えているのではないかと思います。

決まった幅のものに、長さをかけるという感じですかね。

で、日本はこの公式を輸入するにあたって

間違えて輸入したのではないでしょうか?

つまりlength⇒縦、width⇒横と単に直訳して(縦幅よりも横幅と表現するのが普通ですよね)

縦×横が正しいとしてしまったのではないかと。


以下は一般の掛け算についての蛇足です。

上でも書いたように

掛け算を(かける数)×(かけられる数)と書くことが自然である

というのは日本国内で通用するルールです。

世界に出れば、もちろんいろんなルールをもった国があるわけです。

(どちらが自然かというのは結局言語にに依存するのだと思います)

そんな日本のローカルルールを必死に教え込むことが

大事だとはあまり思いません。

(filinionさんを責めているわけではありません。)

子供に積を身に付けさせる手段として、積の順番を重視して教えるというのは

大変よい方法だと思いますが

かといって、テストで逆に書いたからといって減点するのは

明らかにやりすぎだと思います。

積を理解させるのに有用であるから順番を重視するのであって

順番を重視させることが目的になってしまっては本末転倒ではないでしょうか。

積の意味を全く理解していないにもかかわらず

掛ける順番のみ逆にした正答を書いた子供と

積の意味を全く理解していないにもかかわらず

掛ける順番を含めて正答を書いた子供

を区別する意味があるとは思えません。

長々と失礼しましたが、一つの参考意見として聞いていただけれと思います。

id:filinion

回答ありがとうございます。

>学校に勤務されているのであればある程度過去の教科書はチェックできるのではないでしょうか?

学校によるかとも思うのですが、少なくとも本校では、現行の教科書以外は置いていません。

各地の教科書センターですらそんな感じだと思います。

 

>日本のローカルルールを必死に教え込むことが大事だとはあまり思いません。

ううん。

難しい問題ですよね。

(私自身は、長方形の面積については、どういう順でもいいようには思うのですが)

 

世界に目を向けると、算数の表記法や計算の考え方自体にも、地域ごとの差がある、というのは、小学校高学年あたりの教科書にも記載されています。

ですので、学校で習うのが「ローカルルール」であることは、子どもたちも知っています。

 

しかし、だからと言って、「12÷3=4」を「12/3=4」と書いてくる小学4年生がいたら、やっぱり減点はされると思うのです。

仮に大人なら認められるとしてもです。

 

>理解させるのに有用であるから順番を重視するのであって順番を重視させることが目的になってしまっては本末転倒

おっしゃる通りと思います。

大人なら許される、というのは、大人なら積の意味を理解しているはずだから、だと思います。

ただ、まさにその単元を学習中の子どもだと、わかってやっているのか単に間違えているのか、区別が難しいので。

(実際には、学力の低い子がやったら間違ってるんだろうな、と思いますが。ただ、それを採点に反映するわけにはいかない)

 

ちなみに、ご意見を頂いて、昔の教科書について調べてみました。

とりあえず、戦後教科書について、資料がありました。

http://www.gakuto.co.jp/junsansu/sansusiryo.html

これを見ると、戦後一貫して、

「AをBこあつめる→A×B」

と表記していることがわかります。

 

ショックだったのは、昭和26・28年度の、いちごの問題。

箱にぎっしりつまったいちごの数を求める、という、面積にもつながる問題なわけですが。

(長方形の中にぎっしりつまった単位正方形を数えるのが、面積の基礎だから)

 

どう見ても「横×たて」で計算しているという……。

 

ううん。

公式は「たて×横」であって、「公式を使って」と言われたらそうするべきなのかもしれませんが。

しかし、横よりもたてが基準列としてふさわしい、という理由はないのかも知れませんね。

2007/12/22 19:46:50
  • id:magis
    根拠を示せないのでコメント欄で。
    積分を用いれば「面積を求める公式」を求めることができるけど,小学生にはなかなか難しくて理解できないので暗記にしたのでは。
    それで順番通りに「暗記」してるかどうかか問題になった,とか。
    長方形は,これくらいの「長さ」の線がこれくらい並んだ「太さ」ですよ~ならまだ理解してもらえそうだけど,三角形の面積の簡単な説明が思い浮かばない。。。
    1次の直線を積分したら1/2が出てきますよーってどんな呪文だ
  • id:filinion
    そうですねえ。
    ただの暗記ですね。
     
    えーと、現実の教え方としては。
    回答にも出てきていますが、長方形の面積なら、タテヨコに1cm刻みで線を引いて、できたマスの数を数えればよいわけです。
    1マスが1平方センチメートルだから、マスの数がそのまま面積になります。
    で、いちいち全部数えなくても、縦の数×横の数で求められるから……というようにして、公式につなげます。
    (面積は確か4年で習いますが、掛け算は2年生で習ってますから)
     
    三角形だと、確か、直角三角形から入るんじゃなかったかと思います。
     
    長方形を対角線で二等分すると直角三角形になる

    縦×横÷2
     
    という感じ。
     
    ……でも、「縦×横÷2」だったら、「高さ×底辺÷2」になってしまいますよね……。
  • id:b-wind
    どっかで見たような話題だと思ったら、
    http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/blog/node/1870
    コメント欄でいろいろと。

    自分的には
    >同僚は呆れて「『面積』を考える時点で積の可換性は当然前提にしている,だから積の順序にこだわるのは無意味」と答えたそうです.
    に同意。
  • id:ardarim
    教育については素人ですのでコメントで。
    こっちで話題になっちゃってる件ですよね。
    http://b.hatena.ne.jp/entry/http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/blog/node/1870
    ブクマと本記事のほうにもいろいろコメント付いているので未読であればぜひご覧ください。

    個人的には面積に関して言えば横×縦でも間違いではないですし、不正解や減点というのは理解に苦しみます。

    教え方という観点では算数の苦手な子もいるでしょうから、まずは「縦×横」と暗記的に教えることは問題ないのではないかと思います。ただしそれを応用して「横×縦」でも同じになることを理解した子供を間違いにするのは行き過ぎの気がします。そんなことをしてその子の意欲を削いでしまうことにならなければよいのですが。

    こういうことが教育の現場で行われているから、日本の学力低下(特に応用力の低下)に拍車がかかっているのかもしれませんね。

    掛け算の順序についてこちらの話は興味深いものがありました。
    http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/me/instruction/subjects/number/number/composition/order/index_j.html
    ただし面積計算においてはこの話は意味ないように思えます。
    縦・横の意味づけは無意味(90度回転すれば縦横の意味が逆転してしまうし、そもそも斜めで見たらどちらが縦なのか?)だし、そもそも「縦」「横」という日本語自体の意味があいまい過ぎます。
  • id:SALINGER
    小学生の先生からの質問ということで少し驚きました。
    というのは、こういうことの教え方というのは、統一的な明確な指導方針があるものなんだと思っていたからです。
    逆に個々の先生がそれぞれの考えで教えているとしたら、減点された生徒は先生に抗議してもいいですね。


    余談ですが、長方形が2つくっついた形の面積を求める問題ありましたよね。
    面積を求めるために、2つの長方形に分ける方法は2通りあるのですが、
    小学生の頃、手を挙げて「全体から、空白になる部分を引く方法もある」ということを言ったら褒められたのを思い出しました。
    そこら辺から数学が好きになりましたが、今は減点なのかな。
  • id:filinion
    >b-windさん・ardarimさん
    おっしゃるとおり、そのエントリを読んで質問しました。
    (ただ、「むしろ“横×縦”」の方がマシなんじゃ?」というのは、事実昔からの疑問でもありました)
     
    現状、「横×縦」で式を立てた子も正答として良いのかな、という気でおります。
     
    ただまあ、小学校段階だと、たとえば
    「クッキーが12こあります。3つたべると、のこりはなんこでしょう」

    しき:3-12=9 こたえ:9こ
     
    とかいう子が10人に1人くらいいるので、わかってて逆にしたのかわかんないで逆になっているのか難しいところもありますが。
    (足し算・掛け算では逆にしても答えは一緒だが、引き算・割り算ではそうではない、という時点で混乱しかねない)
     
    ardarimさんに紹介して頂いた記事、ちょっと腰を据えて読んでみることにします。
    ありがとうございました。
  • id:filinion
    >SALINGERさん
    >統一的な明確な指導方針があるものなんだと思っていた
    ええとごめんなさい、私はかなり適当なや教え方をしている人間だと思います。
    (勤務先が小規模校ということもあるのですが) 
     
    また、「教える」のと「採点する」のは別の問題ですので。
    「“縦×横”とだけ教えたけど、“横×縦”という回答も正解扱いにする」
    というケースもあり得ると思います。
    (というか、それが一番多いと思います)
     
    大きい学校で、一学年何クラスもあるようだと、採点基準を学年で統一する必要が出てきますので、あるクラスでは不正解扱いだったものが別なクラスでは正解……といったケースは少なくなると思います。たぶん。
    (いかに大規模校でも、よその学校とまで統一を図っていることは少ないと思いますが……。
     ただ、大規模だと、学年で統一している分、苦情を言っても取り合ってもらえない率が高まると思います)
     
    (とはいえ、教え方に教師の裁量が入ってくるのはある種当然でもあります) 
     
    しかし、採点基準はさておき、教科書には「縦×横」と書いてあります。
    これを無視して「横×縦」と教えることはさすがにできません。
     
    でもなんで?
     
    というのが長年の疑問だったので、今回質問したような次第です。
     
    >長方形が2つくっついた形の面積を求める問題
    はい、それも頭にありました。
    ああいう問題だと、そもそもどこを長方形の「辺」と見なすか、という時点で、見方の問題が入ってくるわけで。
    (ただ、どっちが縦かは図では考えるまでもないので、質問では触れませんでした)
     
    >「全体から、空白になる部分を引く方法もある」ということを言ったら褒められた
    うわ、賢い子だ。
     
    たぶん、設問自体が応用力を問う問題なので、さすがに「今は減点」ってことはないと思います。
     
    応用力・思考力自体は、昔も今も重要視されているので、応用的な解法がなんでもかんでも不正解扱い、ということはないと思います。たぶん。
    ただ、“常に”応用が認められるのか(というか「意味がわかってて応用的なやり方をしてるのか」)、というのが難しいところだな、と思います。
  • id:hkwgch
    想像による回答なのと、上記の回答を読んでないので、ダブっているかもしれないことを断っておきます。
    「横かける縦」ではなく「縦かける横」なのは、後者の方が「日本語で言いやすいから」説。
    「たてよこ」という言葉はあるけど「よこたて」という言葉は無いなど、縦の方を先にした方がしっくりくる。
    小学生でも斜めに置かれた長方形の面積を求める場合もあるでしょうから、縦横を気にする必要はないのでは?
  • id:KUROX
    一辺が4cm、他辺が5cmの長方形の面積はどうやって求めるのが正解なのでしょうか。
  • id:fumikef
    数学的には根拠がなくて、国語的に語呂が良いから・・・だったりしませんかね。「じゅうおう」という熟語もありますし。「じゅうおう」から始まる四字熟語もいくつか有りますし。「よこたて」という訓読みも無くはないですが・・・。
  • id:filinion
    >hkwgchさん・fumikefさん
    そうですねえ。
    「タテヨコ」とは言うが「ヨコタテ」とはあまり言わない。
    その程度の理由なのかもしれません。
     
    だとしたら不合理だとも思いますが。
     
    「よこたて」が言いづらいとしても、「たてかけるよこ」と「よこかけるたて」には大差ないと思いますし……。
    (「たてかけるよこ」の方が言いやすいとすれば、それは多分「学校でそう習うから」のような気が)
     
    >KUROXさん
    >一辺が4cm、他辺が5cmの長方形の面積
    私としては、
    「筋が通っていて答えが合っていればなんでもいい」
    と思います。
    KUROXさんがおっしゃっていた、直角三角形二つ、とみなすやり方でも。
    (……というと、自由すぎるんでしょうかね?)
     
    一方、「縦×横」であることを重視する人に言わせれば、
    「どちらを縦と見なすかによる」
    という答えになるのかもしれません。
  • id:filinion
    ……私も、どっちでもいいはずだと思うんですよ?
     
    それを、
    「どっちでもいいに決まってるじゃん」
    で済ますことができれば楽なんですけどね。
     
    でも、教科書だってプロがよってたかって作ってるわけですよ。
    生半可な知識でうっかりバカにしたら、実はこっちが間違ってた、なんてことも当然あり得るわけです。
     
    教師に応用力がないとか悪口を言って済む人はそれでいいですけど、授業するのはこっちですから。責任がある。
    教科書と違うことを教えて万一それが間違いだったらまずいわけで。
     
    だから、教科書を離れる前に、
    「本当に離れて大丈夫なのか?」
    って確認することが必要だと思うんです。
     
    ……まあ、今年は一年担任だから直接関係はしないんですが。
  • id:pyopyopyo
    5×4で不正解になる例を思いつきました.

    「縦4cm横5cmの長方形の面積」を
    - 縦×横で 5×4
    - 横×縦で 4×5
    と考えた場合は間違いになりますね.縦と横の長さを取り違えているためです.

    実際の問題文がないので想像でしかないですが,
    面積の公式は関係なくて,問題文の読解力が不足していた場合なら
    5×4が不正解となるのも理解できます.
  • id:uml
    文字通り「教条主義」だな
    こんな質問をすること自体問題
  • id:j1960
    >>
    教師に応用力がないとか悪口を言って済む人はそれでいいですけど、授業するのはこっちですから。責任がある。
    教科書と違うことを教えて万一それが間違いだったらまずいわけで。
     
    だから、教科書を離れる前に、
    「本当に離れて大丈夫なのか?」
    って確認することが必要だと思うんです。
    <<

    だから私はあなたの親分である文部科学省に問い合わせてみたらどうですか?と書いたのですけど。
    はてなで「根拠」としてでてくる情報を元に責任ある学校教育ができるとお考えでしょうか?
    疑問に感じたら出典(ソース)にあたるのが基本だと思いますよ。
    どうしてそれをしないのですか?
  • id:Z9M9Z
    算数の知育と同時に「人の話をちゃんと聞け」という教育をしていると考える場合。
    先生が「縦かける横で書きなさい。横かける縦で書いたら、これを聞いてなかったとみなして減点です」と宣言する。
    ‥に近いケースがありうる。

    先読みダイスキだったから、算数ではどこまで授業でやったかはかなり重要だった。
    その先の知識を使ったらアウト(笑)‥これは高校の頃までずっとそうだった。
    チェバの定理はダメ、ソロンの公式はダメ、ロピタルの定理はダメ‥(笑)
  • id:filinion
    >pyopyopyoさん
    私も実際の問題文がないので想像なのですが。
    類例として、解き方の手順を穴埋めする問題で、
    「……長方形の面積は“たて×よこ”で求められるから、式は(       )」
    のように明記されている場合にも、不正解となりうるかも知れませんね。
     
    中学年のテストでそういうことがあるかどうかはちょっと疑問なのですが。
     
    >umlさん
    そうかも知れません。申し訳ありません。
     
    ただ、テキストに疑問を抱かない人こそ真の教条主義者であると思います。
     
    疑問を抱いた上で慎重に行動するようでありたいと思います。
     
    >j1960さん
    >どうしてそれをしないのですか?
    おそらくj1960さんも、本件について文科省にメールで問い合わせて、ちゃんと回答がある、とは考えていらっしゃらないのではないでしょうか。
    (疑問があっていちいち文科省に問い合わせる「プロの先生」がそんなにたくさんいるとは思えませんし、いたらなおのこと回答は返ってこないでしょう)
    ですので、これは「こんなことをはてなで聞くな」という意味であろうと推測しました。
     
    しかし、職業上の疑問に関して、はてな人力検索に質問される方は少なくないと思います。
     
    そして、そのような場合、例えば仕事に関わる法律上の疑問を質問する人がいたとして、
    「法務省に問い合わせてください」
    という回答はされないと思います。
    (もちろん、はてなの回答だけを行動指針にするわけにもいかない、とは思いますが)
     
    まあ、今年は面積の授業をするわけではないので、そこまでこの問題について責任ある立場で聞いたわけでもないのですが……。
    ただ、
    「大した理由はないに決まってる。どっちだっていいに決まってるじゃないか」
    で済ませられるほど気楽に聞いているわけでもない、と言いたかったのです。
    不愉快にさせたようでしたら申し訳ないです。
     
    なお、出典に関してですが、まず、文科省は教科書を直接書いているわけではありません。
    (ついでに言えば、教員の採用の主体でもないので、「親分」というのもちょっと違います)
    また、教科内容の基礎となる学習指導要領には、(ご承知の通り)公式に関する記述はなく、
    「正方形及び長方形の面積の求め方を考え,それらを用いること」
    とあります。
     
    従って、そういう意味では、長方形の面積を求める公式が「縦×横」である、という根拠すらありません。
     
    ただ、教科書の著作の名義を有するのが文科省なのも事実で、教科書には使用義務がありますので(学校教育法第21条第1項)、むやみにその内容を変更するわけにもいきません。
    扱うとすれば、発展的内容、という扱いになるかと思います。
    従って、何か教科書編纂上の意図があるならそれを理解して、その上で、児童の実態に照らして適切かどうか判断……ということになるかと思います。
    (大規模校だともっと大変なのだろうと思います)
     
    何というか、j1960さんのおっしゃることは非常によくわかるのです。
    基本的に全くの同意見ですので。
     
    >Z9M9Zさん
    >‥に近いケースがありうる。
    確かに。
    というか、おそらく、「横×縦」を不正解にする先生はほぼみんなそうだろう、と思います。
    解き方の「手順」を教えて、その通りにやることを要求する立場の人も多いんですよね……。
     
    「=」をミニ定規で書くことを要求して、そうしないとマルをあげない、という立場の人さえいる。
    (これは、算数というより、ノート指導、という理由ですが)
     
    >算数ではどこまで授業でやったかはかなり重要だった。
    いやはや……。
     
    お察しします。
     
    私が小5の時、円筒形の体積をどうやって求めたらいいか、という問題をみんなで考える授業があって。
    (今は、体積そのものが6年の内容なんですが)
     
    一人が
    「底辺の面積を求めてから、高さをかければいい」
    って答えたことがありました。
     
    教科書の内容より高度だったんですが、先生はいたく褒めてましたね。
    「すごいね! それは6年生でやるやり方だよ!」って。
    まあ、いろんな先生がいる、ってことなんでしょうね。
     
    ……凡才だった私は、その時「ほんとにそれでうまくいくの? なんかだまされてない?」って気がしたんですが。
  • id:SALINGER
    日本の数学教育は独自なものではなく、欧米からの影響を受けていると思います。
    小学生の図形の教科書の元になったものは、遡ればユークリッドの幾何学原論だと思います。
    幾何学原論は聖書の次に広く人に読まれた書物と言われ、実際十九世紀の中ごろまでヨーロッパの学校では教科書として使われていました。
    原論で言うなら第二章の面積のところに「長方形の面積の計算方法は縦掛ける横」って書いてあったんじゃないでしょうかね。
    原論を見たわけじゃないので、真実は知りませんが。
  • id:hrkt0115311
    どんジレ、どんさん 2007/12/16 20:25:38
    id:filinionさん、コメント対応お疲れさまです。
    id:SALINGERさん、ユークリッド言論少し確認してみました。

    http://q.hatena.ne.jp/1197768804#a787275を回答したid:hrkt0115311と申します。こんばんは。


    ユークリッドの原論
    http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/he.html
    ---
    Ⅱ巻,幾何算術(図形的代数)
    命題[Ⅱ-4]
    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    ---
    ↑こんな感じでした。これだけではなんとも言えないのですが、縦横までは指定してない印象を受けました。

    ---
    明日の算数・数学教育を求めて
    -明治以降の算数・数学教育思想と学習指導要領、教科書を通して-
    http://www.osaka-c.ed.jp/hensenpdf/webcur/wc04suug/wc0401.pdf
    ---
    ↑また、日本の算数の歴史に関しては上記が読みやすいかなぁと思いました。資料の提出が遅くなってすみません。


    さて、海外のケースですが、個人的に興味深いケースを見つけました。
    http://mathforum.org/library/drmath/view/54685.html
    ↑なのですが

    area = height * (a+b)/2

    私の読解力不足かもしれませんが、台形・平行四辺形・長方形・正方形を全てこの式で説明し、最後に三角形について解説しています。この教え方が西洋の算数教育のポピュラーな例なのかまで確認できませんでしたが、高さを重視している点で「縦かける横」の「縦」が優先された遠因の一つとして「明治期に西洋の教育方法の影響を受けた結果」と推測することはできないでしょうか。


    以上、補足というか、ご笑覧いただければ幸いです。
  • id:j1960
    >>
    >j1960さん
    >どうしてそれをしないのですか?
    おそらくj1960さんも、本件について文科省にメールで問い合わせて、ちゃんと回答がある、とは考えていらっしゃらないのではないでしょうか。
    (疑問があっていちいち文科省に問い合わせる「プロの先生」がそんなにたくさんいるとは思えませんし、いたらなおのこと回答は返ってこないでしょう)
    ですので、これは「こんなことをはてなで聞くな」という意味であろうと推測しました。
     
    しかし、職業上の疑問に関して、はてな人力検索に質問される方は少なくないと思います。
    <<

    私はそう書いたのはあなたが「責任」という言葉を持ち出したからですよ。

    私はちゃんと回答があるべきだと思っています。
    あなたは普段、教科書に書いてある内容に疑問が生じたときにどのようにして責任ある解決方法を見出しているのですか?教育現場にいるあなたと文部科学省の間のどこかに必ず責任を持って回答するべき人がいるはずです。その人を探し出して訊くだけで済む事ですよ。
    なぜそうしないのかとても不思議です。

    しかも今度は別の学年を教える事になるからもう関係ないんですか?

    学校という場所は疑問に対する答えを教えるだけの場所じゃないんです。
    疑問に対する答えの見つけ方を教える場所なんです。
    先生はそれを実践して見せる責任があります。
    それを先生であるあなたは放棄しちゃっているんじゃないですか?
  • id:SALINGER
    ユークリッド原論についてはこちらがほとんどの命題を網羅してるようです。
    http://math.pisan-dub.jp/euclid/index.php
    基本的な命題を扱った第一章をざっと見ても縦×横として扱う記述は見つかりません。
    後の方の難しい命題を解くために長方形の面積を暗黙的に縦×横で測っているかもしれません。
    ただ、あったとしても原文をそのまま訳しているかはわからないのですが。
  • id:hrkt0115311
    どんジレ、どんさん 2007/12/16 21:31:35
    id:SALINGERさんこんばんは。
    http://math.pisan-dub.jp/euclid/index.php
    拝見しました。充実してて感服しました。脱帽です。
  • id:SALINGER
    ちょっと別のアプローチからそれっぽいものを見つけました。
    「縦×横」の原点は何かという個人的な興味なので、本題から少しはずれていることをお詫びします。

    近代教育の算数は欧米の影響ではないかと思うのは変わりませんが、もともとの日本の算数和算は中国の影響を受けています。
    それは、九章算術というものです。それで九章算術の方田[主に田畑の(年貢のための)面積計算と分数の計算]ではどうなっているのかというと
    http://www3.synapse.ne.jp/kintaro/content203.htm
    方田のところに田畑の面積を図る方法で
    方田術曰、廣従歩數相乗得積歩
    とあります。これは
    田を方する術にいう。横と縦の歩数を掛け合せ、面積の(数)歩を得る。
    ということつまり横×縦!
    九章算術が日本に来て和算で縦×横になったのか、和算は横×縦で、近代教育で縦×横になったのかと更に謎になりました。
  • id:filinion
    取り急ぎ。
    http://www3.ocn.ne.jp/~kokoten/03tyouken.pdf
     
    「塵劫記」では、「縦・横」のようです。
     
    してみると、これが残って、長方形だけ「たて・よこ」という用語になったのかも知れませんね。
    他の図形は「底辺」とかなのに。
  • id:SALINGER
    「塵劫記」同じものを見てました。
    九章算術に関しては違う記述も見つけてまして。
    http://www.kyoiku-shuppan.co.jp/math/essay/040603.html
    の中ほどの図1面積についての中に
    长方形面积=长×廣
    これは縦×横を表していると思えます。
    こう考えると原点は紀元頃の中国人というのが正解なのかもしれません。
  • id:filinion
    字体は違いますが、「長×広」でしょうか?
    (前の例では従と廣でしたが)
    字面だけ見ると、「length」「width」のようでもありますね。
    中国語には詳しくないので自信がありませんが。
  • id:filinion
    日本の算数科教育が、諸外国の影響を受けている、ということはありそうではありますね。
    これは、例えば音楽科でもそうだし、国文法ですらそうですから。
     
    というか、実のところ、この質問をした時には、
    「これは、明治時代に流入したドイツの~」とかいう回答(国名は適当)があることを半ば予期してさえいたのです。
     
    普段、教科内容に関する疑問が生じた場合どうしているのか、という質問がありましたので、回答します。
    これはあくまで私個人の例ですが、大体以下のような手順で解決を試みます。
    (順序は信頼性の高低とは関係しません)
     
    1:指導書(実践編)を読み返す。
    2:指導書(研究編)を読み返す。
    3:指導要領を確認する。
    4:ネットで調べる(裏付けは別として)
    5:その教科が専門の、先輩の先生に尋ねる。
    6:人力検索で質問する(裏付けは別として)
     
    というか、ほとんどの場合は1~3くらいで解決できるので、人力検索で聞いたのはこれが初めてです。
    昨日は日曜でしたし、指導書も手元にない(本校ではあれは学校の備品で、その学年の担任に貸与されるものなので)ので、3・4・6の順に飛んだわけです。
    ですので、はてなで質問したこと自体が責任の放棄である、というようには考えていません。
     
    はてなの次、「7」を考えるなら、「教育委員会のその教科が専門の指導主事に聞く」でしょうか。
    ただ、これまでやったことはありませんし、今回もしません。
    指導主事は非常に多忙です。面積の授業に直接関係しない私が尋ねても、邪魔扱いされると思いますので。
    4年担任になったら質問するかも知れません。
     
    指導主事にも答えられない場合は……たぶん、その先は指導主事が調べることになるのだろうかと思います。よくわかりませんが。
     
    さて、本日、学校で4年担任に指導書(東京書籍)を借りて読んでみましたが、やはり公式は“たて×横”。
    式もすべてその形式で統一されていました。
    また、「斜めの正方形」の面積を求める問題はあるのですが、長方形はほとんどがタテヨコが明らかな形で示されていました。
    唯一、応用的な問題で、大きな長方形に長方形の小さな穴が開いているような形で、斜めの長方形があり(穴が斜めになっている)、式には(例)という附記がありました。
     
    研究編も確認したのですが、特に“たて×横”の起源とか、“横×たて”でも許されるとか許されないとかいう記述はありませんでした。
     
    先輩に聞いてみたのですが、確実なことはわかりませんでした。
    ただ、先輩は「式は逆にすべきではない」という見解でした。
     
    理由は以下の通り。
     
    「例えば、3cm×4cmの長方形の場合、公式の学習の段階では、1cm×1cmの正方形が、縦に3つ並び、その列がさらに横に4つ並んでいる、と見なす。
    つまり、縦の“3個”の列を基準として、その4倍である、“たて×横”の公式は、“縦3個が4列”という視点でできているのだから、この場合にも順序に意味があると見なされる。
    従って、面積の学習の段階では、公式通り“たて×横”であるべき」
     
    事実、教科書では、まず縦一列にいくつ並んでいるかを数え、それが横に何列あるか、ということから公式を導いています。
     
    では、仮に順序に意味があるとして、なぜ“縦×横”であって“横×縦”ではないのか、また、なぜ長方形だけが「たて・横」であって「底辺・高さ」ではないのかと質問したのですが。
     
    「それはおそらく、長方形が平行四辺形等に比べて身近な図形であること、日常的には長方形の縦と横、という表現が主流で、底辺と高さとは表現しないことが原因ではないか。
    確かに、底辺と高さに統一すれば合理的かも知れないが、子どもたちや我々の生活の実態からは乖離することになり、算数科の目的から考えるとむしろ望ましくないため、長方形だけが特別な扱いになっているのではないか」
     
    ということでした。(縦が先である理由については、織機の縦糸横糸の例を挙げて説明してくれたのですが……正直納得できかねました)
     
    ……というわけで、結局、手順1~5を全部試して、再びはてな。
  • id:pyopyopyo
    「例えば、3cm×4cmの長方形の場合・・・」とありますが,これは暗に縦3cm 横4cmを意味していますよね?

    日本人は,慣例的に寸法を 縦 横 の順番で測っている気がします.小包も 縦 横 高さ ですし.
    その慣例に合わせて,面積の求め方も 縦x横 の順番にしたのかもしれませんね.

    いずれにせよ,長方形の面積は2辺の長さの積で求まるわけで,それが判ってしまえば縦横なんて関係ない訳ですが.
  • id:SALINGER
    整理するとこの問いは2つの問いになります。
    1 なぜ縦×横と横×縦の片方だけを使うのか。
    2 なぜその片方は横×縦ではなく縦×横なのか。

    1については数学的にそれは無意味なことは容易にわかるので、そうする意味は教育的な物であると推測できます。いろいろな人の回答で納得できるものもあります。

    2については慣習的に使われているからということだとは思いますが、どうして慣習的に使われるようになったのかという疑問が残ります。縦横という言葉がよく使われるからというのも、長方形の面積を測ることは文字の普及と同じくらい古いという事実があります。

    三角形の面積はなぜ、高さ×底辺÷2ではなく底辺×高さ÷2なのかは、なんとなく説明できます。問題を解く場合より簡単な事項から計算したほうが効率がいいからです。三角形の面積の場合、底辺は三角形の一部ですが、高さは底辺と頂点を結んだ最短距離ということで、少しだけ高さの方が底辺よりも求めるのに手順を必要とする場合があります。それで、底辺×高さ÷2となるのではないか。

    効率的に測ることができるのは縦と横のどちらなのかと考えてある仮説を思いつきました。
    長方形の面積は古代人が田畑の面積を測ることから来ているというのは前に触れました。
    田畑が目の前にあるとして(自分は長方形の下の線分上にいる)縦と横をどちらから測るかですが、縦ならばそのまま畑を踏んで奥に歩いて行ってその歩数で測れます。対して横は横に歩いて行っていったんまた戻らなくてはならない。その頃の田畑は正確に長方形だったとも思えないしちゃんとした畦道があったとも思えないので、田畑の辺を測るような正確なことをしていなかったのではないか。とすると先に測れる縦を測ってから横を測ったのではないか。

    まあこういうことを考えるのは検証のしようが無いので無意味かもしれませんが、考えるほうは面白い題材を与えていただきそれなりに楽しませていただいたと思っています。
  • id:smoking186
    あまり本題に関係の無いツッコミです.

    >これが例えば、
    >「4人が200円ずつ募金したら全部で何円」
    >といった問題であれば、「200が4つだから200×4」というのはまあわかります。
    >(4×200だと、「200人が4円ずつ」になる)
    >しかし、図形の縦横は見ようによりますし、どっちも同じ「長さ」を表す数ですので、「逆でもいいのでは?」と思えてなりません。

    200が4つということは
    200 (円) * 4 (無単位) = 800 (円)
    という考えですよね?
    これは
    200 (円) * 4 (無単位) = 4 (無単位) * 200 (円) = 800 (円)
    と交換可能です.

    また, 「200円ずつ」なので 200 (円/人) と考えると,
    200 (円/人) * 4 (人) = 4 (人) * 200 (円/人) = 800 (円)
    と交換可能です.

    単位系っていつ習うんでしたっけ?
  • id:shimarakkyo
    idadiさんと同じ考えです。ただ単なる「言いやすい」というもんじゃないでしょうか。

    昭和の生まれですが小学校の時にその公式「順番どおりに!」と教わった記憶がありません。
    今でも忘れられない面積のコンセプトを最初に習った授業はまず「昔々のエジプトの話」から始まって、

    面積というものを発見したのはエジプト人。
      ↓
    昔のエジプトでは、毎年毎年、ナイル川が氾濫してその度にどっからどこまでがだれの畑か分からなくて困っていた。
      ↓
    ある年、頭のいい人がナイル川が氾濫する前に畑の周りをロープで一回りして、洪水の後「そのロープの長さで囲めるだけの畑が俺のものだ!」と言った。
      ↓
    ところが、実際にやってみるとどうもおかしい。前よりも畑が小さくなったり大きくなったりする。
      ↓
    それで初めて「どうやら畑の周りの長さを測るだけじゃ畑の大きさは決められないぞ」と気が付いた。
      ↓
    じゃあどうする?

    と言って1班に1本紐を配って「どうやったらその紐1本で黒板に書いた四角と同じ大きさのものを画用紙に書けるか?」ちう答えを出させてました。なので縦も横もなかったです。
  • id:filinion
    今のところ、「慣例による」ということみたいですね。
     
    算数科の、数学より生活に寄った部分、ということなんでしょうか。
     
    >smoking186さん
    すみません、「単位系」という言葉の意味を正しく理解できているかどうか自信がないのですが。
     
    回答には単位を付けなければならない(「~~人」「~~こ」とか)→ 一年生
    違う単位同士は比べられない(最初に扱うのは長さ。cmとmm)→ 二年生
    「長さ×長さ=面積」のような単位(組立単位って言うんですか?)→ 四年生
     
    「200円が4つ」と言ったとき、4は単位がない、というより、何かの個数を表すのではなくて、「元になる量(ここでは200円)の4倍」であることを示すと思います。
    だから、基本的には「かける数」になるわけで。
     
    もちろん、200も4も実数であって交換法則が適用できますので、「200×4」という式を立てた後で、これを「4×200」に変形するのは自由だと思います。
     
    件の先輩は、長方形の面積を求める公式は、
    「単位正方形が縦一列に並ぶ個数 × 列数」
    を表すので、逆にしてはいけない、という意見でした。
    (たてが「もとになる数」で、その何倍であるか、という視点)
     
    私としては、面積の場合には、横列を基準にしてもかまわないはずと思います。
    (「りんごが箱の中にたてに3つ、横に4つならんでいます」と同様)
    ただ、公式では縦を基準としているところ、横を基準として計算した場合、「公式に沿っている」とは見なせない、という意見には一理あるように思いました。
     
    >shimarakkyoさん
    面白い授業ですね。
    実際、教科書だけを使って面積の学習をすることは少ないと思います。
    長方形の厚紙などを渡されて、その面積を考える時、どちらが「たて」であるかは見方によりますし。
    (ただ、どちらを「たて」と見なしてもよい、ということと、「横×たて」でも良い、というのは少し違う話になってしまいますが)
     
    お話にある授業は、周を測るだけでは面積は求められない、という話ですね。
    これだけだと、求積というより、合同な図形の作図に近い課題に思えますが、
    「広さを比べるにはどうしたらいい?」
    という質問に、周りの長さを測る、という回答は当然予期されますので、まずそれが正しいかを確かめた、ということなのでしょうね。
  • id:smoking186
    >「長さ×長さ=面積」のような単位(組立単位って言うんですか?)→ 四年生
    ありがとうございます.

    >「200円が4つ」と言ったとき、4は単位がない、というより、何かの個数を表すのではなくて、「元になる量(ここでは200円)の4倍」であることを示すと思います。
    >だから、基本的には「かける数」になるわけで。

    「単位がない数を掛ける」ということが「4倍」しているということです.
    filinionさんの「200円が4つで800円」ってのと, 前後を交換した「4つの200円は800円」ってのは意味は変わらないと思いました.
  • id:filinion
    >smoking186さん
    おっしゃるとおり、
    「200円が4つあります」
    でも、
    「4つの200円があります」
    でも、意味は通ります。
     
    ただ、それは、自然言語(ていうか日本語)では逆順にしても意味が通じる、ということであって、計算式でも逆にして良い、ということを意味しないと思います。
     
    このへんは、ardarimさんが上の方のコメントで紹介してくださった記事が勉強になりました。
    http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/me/instruction/subjects/number/number/composition/order/index_j.html
     
    ……記事の内容を完全に理解したか、って言われると謝るしかないんですが。
    (高校以来文系で、大学でも国語ばっかり勉強してたんで……)
     
    ともあれ、長方形はさておき、募金の問題であれば200×4であるはず、と考えます。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2007/12/19 23:05:43
    {>「5×4」は不正解(または減点)
    こんなので不正解とか減点なんかありえないですよ。}と有りますが、現実には有るでしょうね。

    教師が本に書いてある通りしか理解できない「コチコチ頭」や問題の本質が理解できてない時などです。

    {四元数のように交換則が成り立たない演算もありますけどね。}で指摘されていますが、「四元数」や「高級ハミルトン数」の演算を単なる「単元数」の演算に当てはめるのは「屁理屈」でなく誤りです。(garyoさんはそう言う算法があると、数学の奥深さを指摘されているのだと思います)

    もう一つ、数学は基本的には、どう考えようと自由な学問です。しかし一環した体でなければなりません。ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何を自分の都合に合わせて(他人を馬鹿にする目的などで)ゴチャマゼに使ってはなりません。代数でもブール代数や剰余を使えば自ずと答えは変わります。でも体系がキチッとしているので、目的さえはっきり捉えて居れば、経路(計算過程)違っても正しい答えは出ます。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2007/12/19 23:23:21
    もう一つ、忘れていました。
    [数値]と[数量]を混同しない事です。数量は単位の次元(=ディメンション)を持ちます。
    例題の場合4人×200円/人=800円となります。それは200円/人×4人でも同じです。決して4人×200円や4×200円でも4人×200では有りません。
    しかし4×200は[数値]ですので正しいです。計算後、正しい単位をつければOKです。(通常は単位を省いて数値で計算をし後で単位を調整する方法が取られます)
  • id:z-1
    filinionさん、小学校って大変なんですね。(同情します…)。

    ----------
    「タテ×ヨコという順序は正である」は前提とします。

    その上で、以下3つの立場があります。
    ①「ヨコ×タテの順序は誤」
    ②「ヨコ×タテの順序も可だが、タテ×ヨコという順序がより望ましい」
    ③「ヨコ×タテの順序も正(正しさの度合いはタテ×ヨコと同じ)」

    ここで議論すべきは、以下2点。
    (a)「小学校で教える際に、①~③どの立場をとるべきか」
    (b)「小学校でテスト採点の際に、①~③どの立場をとるべきか」

    この(a)(b)は、
    「数学的な正しさ」の問題ではなく、
    「(先生の)教え方の適切さ」「(生徒の)考え方の適切さ」の問題です。

    (数学的な「正しさ」は、明らかに③である、と私は考えています)。

    ここで「①~③のどの立場をとるか」は、
    filinionさんが、いろいろ周囲と相談するなどして、
    「決める」しかないと思います。

    「決める」方法は、いろいろあります。

    県や市、または学校全体とか学年主任とかが、
    そういう方針だから、それに従う、とか、
    または、filinionさんが自らの信念にしたがって、
    こう教えると決める、とか。

    (「決める論拠」はいろいろあります。
     既にいろいろ出されてますし、他にもあるかもしれません)。

    その「決めた結果」は、県で統一してなければならない、とか
    (または市、または学校全体とか学年全体で統一とか)、
    または、先生ひとりひとりで、異なっていて可、とか、
    この「統一性の範囲」も決めることの一つです。

    ----------

    と、書いてきましたが、
    filinionさんの欲しい回答と、ズレていたらゴメンナサイ。

    ----------
    ちなみに、先生/生徒、双方が困らないなら、
    「なんにも決めないで、全てその場しのぎ」って手もありますね。

    (仕事ではよくありますね、こういう手)
    ----------

    では。
  • id:sakura771006
    そもそも公式とは解法を一般的に分かりやすい形(覚えやすい形)にしたものなのではないのでしょうか?数学において解法は無限に存在しますから…
    式自体に意味は無く字面がよい公式や、ゴロがよいために存在する公式というものもたくさんあると思います。(もちろん証明済みである事は大前提ですが)
    そう考えるとタテ×ヨコというのはゴロがいいからという理由で公式化しているとしか考えにくいのですが… どうでしょうか
  • id:filinion
    >yamadakouziさん
    ええーと……。
    すみません、私、おっしゃることが理解できているとは思えないです。
     
    四元数とかブール代数とか、ググってどうにかなる問題じゃない、ということだけは理解できました。
     
    おそらく、交換法則が適用できる問題に適用したからといって不正解にすべきでない、といった話かと推測したのですが、合っているでしょうか?
     
    「本に書いてある通りしか理解できない「コチコチ頭」や問題の本質が理解できてない」教師、というのがどういう人を指しているのか、詳しくはわかりません。
    ただ、誤解しないで頂きたいのですが、子どもに対して「縦×横」を要求する先生であっても、自分が日常生活で面積計算をする時には、単に計算しやすい順でやるでしょうし、他の誰かが逆順で計算していても、それが子どもでなければ「間違っている」とか言ったりはしないでしょう。
     
    ただ、教育上の理由、というものがあります。(私はこの言葉が嫌いなんですけど。うえー、って感じ)
    すでに習得した大人がやるならいいけど、まさに学習中の子どもには許さない、ということです。
     
    例えば、私を含めて、「19×3」という計算をする過程で、九九の「さんくにじゅうしち」を使う、という人は多いと思うのです。
    「くさん」の方を使う人はたぶん少数。
     
    交換法則が自然に脳内で使われて、「くさん」は実際には使わない人も多いわけです。
    しかし、だからと言って、始めから九九を半分しか教えなくて良いか、と言うと、それには反対意見も多いと思うのです。(私はそれほど反対しませんけど)
     
    ただ、前述のごとく、yamadakouziさんのおっしゃることを理解できたとは言えないので、誤解している点があったらご教示ください。
    なお、すでに述べたとおり、私の数学知識は情けないことに文系高校生と同等かそれ以下です。(高校以後の教育課程で数学を勉強していませんので)
    コメント欄ですので無理にとは申しませんが、その点も配慮頂けると幸いです。
     
    それと、「それは200円/人×4人でも同じです」ってことは、
    http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/me/instruction/subjects/number/number/composition/order/index_j.html
    に出てくる例も、「2個/袋×3袋」だから、逆順にしても良い、ってことなんでしょうか?
     
    してみると、このケースが「理論的(数学的) には順序が問題にな」る、という説明は、どこに誤りがあるのでしょうか?
    小学2年の授業にも関わりますので、もし説明して頂けると(私にも理解できるように……)幸いです。
     
    >z-1さん
    >小学校って大変なんですね
    いえー。
    子どもがかわいいので楽しいですよ。
     
    おっしゃるとおり、数学的にどうなのか、という問題と、教育的にどうなのか、という問題がありますね。
    両者を峻別せずに質問したのは手落ちだったかも知れません。
     
    教科書では縦列を基準に、その何倍、として計算しますが、これを、横列を基準にしてはいけない、という理由は何もないように思います。
    「たとえ縦列が基準でも、“横×縦”で問題ない」
    という意見もあるわけですが、ともかく、“横×縦”が数学的に不適切だ、という根拠はないと思います。
     
    ……してみると、やっぱり教育的なことなのでしょうかね。
    担任裁量が許される範囲なのか。
     
    >sakura771006さん
    私も、気分的にはそんな気もしています。
    もしそれが真相なら、ちょっととほほな結論ですが。
  • id:filinion
    23日になった頃(夜半頃)終了したいと思います。
    皆さんありがとうございました。
  • id:hrkt0115311
    どんジレ、どんさん 2007/12/23 01:20:00
    id:filinion さん、こんばんは。いるかありがとうございました!
  • id:filinion
    hrkt0115311さん、こちらこそありがとうございました。勉強になりました。
     
    また、いるかを差し上げられなかった回答者のみなさん、それから、コメント欄でいろいろ教えてくださったみなさん、ありがとうございました。
     
    一教科の一単元でこれほど奥が深かろうとは思いませんでした。(ユークリッドとか、エジプトとか中国とか……)
     
    今後とも、算数に限らず、よく勉強したいと思います。
     
    ありがとうございました。
  • id:smoking186
    リンク先の宮下英明さんの説明だけだと答え切れていないと思います.
    http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/me/instruction/subjects/number/number/composition/order/index_j.html

    >「飴が2個はいった袋があります。3袋のときの飴の個数を求める式は?」
    >の問いに「3×2」と書いてバツにされた。(「2×3」ならマル)
    >式にするときには,順序なんか関係ないじゃないか!
    >(どうせ,2×3=3×2 なんだし‥‥)

    2 (個) × 3 (無単位)
    という式は正しいが,
    3 (無単位) × 2 (個)
    とするとバツにされるという話です.
    ここで問題になっているのは「量」と「倍作用素」の交換則です.

    それなのに後の方で議論になっているのは,
    >「理論的(数学的) には順序が問題になる」の説明は,「積 (×)」の場合で説明する方がやりやすいので,
    >以下「積 (×)」で説明します。
    >(中略)
    >量qをm倍し,さらにこれをn倍したら,もとのqの何倍になっているか?
    >この倍を,「m×n」と書くことにする。
    >(中略)
    >「理論的(数学的) には順序が問題になる」というのは,理論構築の進め方の問題とともに,端的につぎの事実もあるからです:
    >このように定義した「積」では,一般に交換法則が成り立たない。
    この議論で問題になるのは, q×(m×n)=q×(n×m)か? ということです.
    「倍作用素」同士の交換則だけが対象になっています.

    http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/me/subjects/nq/overview/
    この辺を見ても分かるとおり, 結局, q×mとm×qの話はしてないんですよね.

    あと, この議論だと, yamadakouziさんが言うところの数値と数量の話は出てきません.

    余談:
    中学校以降になると, m×q とスカラーの方を前にする式が多くなります.
    変数を多く使う所為もあるんですけど.

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