数学です。教えて下さい。


上底が4、下底が6の台形があります。
この台形に内接する(台形の4辺に接する)円が描けるとき、この台形の高さはいくつでしょうか。

簡単かもしれませんが、理由つきで解説お願いいたします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/12/21 09:58:55
  • 終了:2007/12/28 10:00:02

回答(14件)

id:SALINGER No.1

SALINGER回答回数3454ベストアンサー獲得回数9692007/12/21 09:22:06

ポイント10pt

まず、実際に台形の中に円を描きます。

円の中心から台形の各辺に直角になるように線を引きます。

更に、円の中心から台形の各頂点に線を引くと三角形が8個できます。

8個の三角形は実は同じ三角形が4つづつであることがわかります。(2辺が同じ直角三角形だから)

そのことから、台形の他の2辺は長さが5であることがわかります。

上辺の頂点から下辺に垂直な線を引くと斜辺5底辺1の直角三角形ができます。

ピタゴラスの定理により、高さは2√6となります。

id:virtual No.2

virtual回答回数1139ベストアンサー獲得回数1282007/12/21 09:33:02

ポイント10pt

台形ABCDにおいてBC=6,DA=4とし、内接する円の中心をX,各辺に内接した点,辺AB上をE,辺BC上をF,辺CD上をG,辺DA上をHとする。

内接しているのでHX=EX、AXは共通、角XHA=XEA=直角となりAH=AF。AH=AD/2=2

同様にFX=EX、BXは共通、角XEB=XFB=直角となりFB=EB。又、BF=BC/2=3

よってAB=AE+EB=2+3=5

点Aから辺BCに垂線を下ろした交点をIとすると直角三角形の辺AB=5,BI=1(=(6-4)/2)であるのでピタゴラスの定理よりAIを求めると、

AI=√(5^2-1^2)=√24

よって台形の高さは√24

id:kosuke2020 No.3

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82007/12/21 15:10:28

ポイント10pt

上辺ABの長さが4、下辺CDの長さが6である台形ABCDの高さをh(h>0)とすると、台形ABCDに内接する円Qの半径は\frac{h}{2}になります。

ここで、台形ABCDの下辺CDがx軸上に、内接円Qの中心がy軸上にあるxy座標を導入して、内接円Qの中心を点(0, \frac{h}{2})、頂点ABCDの

座標をA(-a,h)、B(4-a,h)、C(6-b,0)、D(-b,0) (0<a<4, 0<b<6)とおくと、線分AB,CDはそれぞれ(0,h)、(0,0)で円Qに接するので、線分AD,BCが円Qに接する条件を求めます。</p>

点A,Dを通る直線sの方程式はy=\frac{h}{b-a}x+\frac{bh}{(b-a)}、点B,Cを通る直線tの方程式はy=\frac{h}{b-a-2}x+\frac{(b-6)h}{(b-a-2)}

(x',y') と直線 lx+my+n=0 の距離は\frac{|lx'+my'+n|}{\sqrt{l^2+m^2}なので、

(0, \frac{h}{2})と直線s:\frac{h}{b-a}x-y+\frac{bh}{(b-a)}=0との距離は\frac{|-\frac{h}{2}+\frac{bh}{(b-a)}|}{\sqrt{(\frac{h}{b-a})^2+1}}=\frac{|-(b-a)h+2bh|}{2\sqrt{h^2+(b-a)^2}}=\frac{(b+a)h}{2\sqrt{h^2+(b-a)^2}}         (1)

(0, \frac{h}{2})と直線t:\frac{h}{b-a-2}x-y+\frac{(b-6)h}{(b-a-2)}=0との距離は\frac{|-\frac{h}{2}+\frac{(b-6)h}{(b-a-2)}|}{\sqrt{(\frac{h}{b-a-2})^2+1}}=\frac{|-(b-a-2)h+2(b-6)h|}{2\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}}=\frac{(10-a-b)h}{2\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}}          (2)

線分AD,BCが円Qに接するためには、点(0, \frac{h}{2})と線分AD,BCの距離が円の半径\frac{h}{2}に等しくなければならないので、(1)、(2)より、

\frac{(b+a)h}{2\sqrt{h^2+(b-a)^2}}=\frac{(10-a-b)h}{2\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}}=\frac{h}{2}

\frac{(b+a)}{\sqrt{h^2+(b-a)^2}}=1 かつ \frac{(10-a-b)}{\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}}=1

b+a=\sqrt{h^2+(b-a)^2 かつ 10-a-b=\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}

h^2=(b+a)^2-(b-a)^2 かつ h^2=(10-a-b)^2-(b-a-2)^2}

h^2=4ab かつ h^2=4ab-24a-16b+96

ここで、h^2=4ab=4ab-24a-16b+96より、 24a+16b-96=03a+2b-12=0

bを消去して、

h=\sqrt{4ab}=\sqrt{2a(12-3a)}=\sqrt{6a(4-a)} (0<a<4)</p>

したがって、台形ABCDの高さは0<a<4の範囲で0<h<2√6 の値をとることが分かります。</p>

id:idadi No.5

伊田匡嗣回答回数25ベストアンサー獲得回数22007/12/21 17:59:08

ポイント10pt

内接する円の半径をrとします。ここでは、面積に注目して立式していきます。

円の半径がrだから台形の高さ(=円の直径)は2r。よって、台形の面積は(4+6)*2r/2です。

一方、円の中心と各接点、円の中心と台形の頂点を結び、台形を8この三角形に分解します。この三角形の面積を足し上げれば良いのです。台形の斜辺は√(1+4r^2)で、円の中心と接点を結ぶ線と接線は直交することに注意すると、台形の面積は

2*r*√(1+4r^2)/2+4*r/2+6*r/2となります。

これらを等号で結んであげれば、r=√6となり、台形の高さは2r=2√6となります。

大きな図を書くことが大切です。

id:yamadakouzi No.6

yamadakouzi回答回数296ベストアンサー獲得回数62007/12/22 00:10:45

ポイント10pt

上底と下底の長さだけでは内接する円の大きさ、高さは決定できません。図を描いてみれば分かります。

id:zener-hour No.7

zener-hour回答回数2ベストアンサー獲得回数02007/12/28 09:22:47

ポイント10pt

とりあえずユークリッド幾何学を前提に回答してみる

  1. 上底と下底は並行なので、上底と下底が内接円と接する点を結ぶ線分は内接円の直径。なぜなら、もし、直径でないならば、下底と内接円の接点と内接円の中心を結ぶ直線と上底を延長した直線の交点が上底と内接円の接点と異なり、交差する角度が直角ではなく内角の和が2直角でないため、上底と下底は並行ではない(平行線公理)となり、台形であることと矛盾するため。
  2. 台形を内接円の中心と各辺の接点を結ぶ4本の線分で4つの四角形に分割する。各四角形は内接円の中心と元の台形の頂点を結ぶ線分に対して線対称な2つの三角形に分割される。なぜなら2辺の長さが同じ直角三角形は合同だから。
  3. 内接円の中心と上底と内接円の接点を結ぶ線分が、内接円の中心と上底下底以外の辺が内接円と接する点を結ぶ線分となす角度をそれぞれ、2α、2β、内接円の半径をrとする。前記合同の関係から
    • r\cdot tan(\alpha)+r\cdot tan(\beta)=4 ⇒ tan(\alpha)+tan(\beta)=\frac{4}{r}
    • r\cdot tan(\angle R-\alpha)+r\cdot tan(\angle R-\beta)=6 ⇒ \frac{1}{tan(\alpha)}+\frac{1}{tan(\beta)}=\frac{6}{r} ⇒ tan(\alpha)+tan(\beta)=\frac{6}{r}\cdot tan(\alpha)\cdot tan(\beta)
    • よって、tan(\alpha)\cdot tan(\beta)=\frac{2}{3}
    • つまり内接する台形が存在するとは2次方程式x^2-\frac{4}{r}\cdot x+\frac{2}{3}=0がtanα、tanβの値域、正の実数で2個の解(重解を含む)が存在することと同値である。
    • 2次方程式を変形すると、(x-\frac{2}{r})^2=\frac{4}{r^2}-\frac{2}{3}
    • 2個の実数解(重解を含む)が存在する条件は\frac{4}{r^2}-\frac{2}{3}\geq 0で、このとき\frac{2}{r}\gt \sqrt{\frac{4}{r^2}-\frac{2}{3}}は自明なので、rの範囲はr\gt 0 \wedge r\leq\frac{\sqrt{6}}{2}
  4. 以上より台形の高さは\sqrt{6}以下

3番以降も図形的に説明したかったけど、ちょっと挫折

id:perserte No.8

perserte回答回数1ベストアンサー獲得回数02007/12/23 23:23:06

ポイント10pt

まず答ですが2√6になります。


<解説>

どこか1つの接線をxとおいて方程式を立てるのがセオリーですが、ここはより簡単な方法でいきたいと思います。

まず簡単化するために上底と下底が平行な台形として考えます。

さらに上底と下底のそれぞれの中心を結ぶ線分が台形の高さになるようにします。

図を描いてもらえれば分かると思いますが、この台形は先ほどの線分を軸として左右に対称な台形となります。

(台形の一番基本的な形ですね)


さて、台形に内接する円があるのでこの円について考えます。

円の性質として

『円の外側のとある点からその円に接線は二つ引ける。その外側の点をPとし、接点をそれぞれA、BとおくとAP=BPがなりたつ。』

という性質は習っていると思います。(用語は別かもしれませんが)

まず左右対称なのですから、上底の接点と上底の線分の端の距離はともに2。

下底も同様の理由でともに3です。

左右対称なので片方の斜辺部分だけ考えます。

上記の円の性質より、斜辺と円の接点から、上底の端までの距離は2、下端までの距離は3となることが分かります。

するとこの斜辺の長さが2+3=5と分かります。

ここで上底の両端から下底にそれぞれ垂線を下ろします。

このとき下端は3つの長さに分かれますが、左右対称ですので、外側の2つの長さは等しいはずです。

さらに真ん中の部分と上底の長さも等しいと分かると思います。

(図を描けば長方形が真ん中に出来ているのが分かると思います)

下底の3つに分かれた部分のうち真ん中が4、残りの2つの部分の長さは等しいということから、残りの2つの部分の長さはともに1と分かります。

ここで台形の斜辺と下底の長さ1の部分、および上底の端から下底へ下ろした垂線の3辺で囲まれた部分を考えます。

この部分の図形は明らかに直角三角形ですので三平方の定理が使えます。

この直角三角形の斜辺の長さが5、一辺が1と分かっているので残りの一辺(垂線部分)は√(5^2-1^2)=√24=2√6となります。

求めるものは台形の高さでしたが、図形を見てわかるようにこの台形の高さは上端から下端への垂線の長さに他ならないので、求める台形の高さは2√6となります。


長い解説になってしまいましたが出来る限り分かりやすく書いたつもりです。

こういった図形問題では文字を追うよりも実際に図を描いてみたほうが分かりやすくなると思いますのでまずは視覚的に捕らえてみてはいかがでしょうか。

出来る限り都合のいい形に変えるのもそういったところから生まれてくると思います。

id:doragnov No.9

doragnov回答回数2ベストアンサー獲得回数02007/12/25 02:39:41

ポイント10pt

上底をAB、下底をCDとする台形ABCDを考えます。

上底と下底は平行ですから、

内接円の直径と台形の高さhは等しくなります。

また、内接円は台形の4辺に接しているので、

AB+CD=BC+DA

が成り立ちます。

いま、AB=4、CD=6であり、BC=DA(等脚台形)を考えると、

BC=DA=5

です。

このときAからCDへ下ろした垂線の足をEとすると、

DE=1

ですから、三角形AEDで三平方の定理を考えると、

DA^2=AE^2+ED^2

すなわち、

25=h^2+1

となります。

あとは、hについて解くと、

h=2√6

となります。

id:WAKA-t No.10

WAKA-t回答回数1ベストアンサー獲得回数02007/12/26 01:34:13

ポイント10pt

2√6だと思います。

この台形はいわゆる一番シンプルな台形になると思われます。4cmの上底と6cmの下底が平行に位置し、それぞれの垂直二等分線が線対称の軸となっていて、その軸上に内接する円の中心も存在していると思います(この前提が間違っていたら私の解答は無意味になってしまいます、すいません)。また、この台形は線対称な図形なので、下底は上底から左右に1cmずつ飛び出ており、長方形と直角三角形が二つ左右にくっついているような形だともいえます。

また、ある点から円に内接する2本の線が書けますが、その点から接点までの長さは同じです。つまり、上底の片方の端から円の接点までは4÷2で2cm、同じく斜めになっている辺の中での接点までも2cm。同様に下底でも考えられるため、斜めの辺の長さは、2+3で5cmとなります。

ということで、横に飛び出ている三角形は底辺1cm、斜辺5cmの直角三角形です。

最後に、この三角形で三平方の定理を使うと、高さの二乗は、5×5-1×1=24。

よって、高さは√24、つまり2√6となります。この三角形の高さは、もともとの台形の高さと同じなので、答えは2√6となります。

id:chrmphr No.11

chrmphr回答回数2ベストアンサー獲得回数02007/12/26 09:06:58

ポイント10pt

提示された問題の条件だけだと、条件を満たす解(台形の高さ)は無数に存在することになります。

問題がこれであっているか確認してみてください。


ちなみに、問題の条件では解が無数に存在するということを証明することも可能です。

もしそちらが知りたければ、再度質問していただければお答えします。


何かに答えたわけではないので、私にはポイントは割り振らなくて結構です。

id:jack-jack No.12

村山ケンジ回答回数1ベストアンサー獲得回数02007/12/27 23:19:33

ポイント10pt

え~と、台形を、左上がA、右上がB、右下がC、左下がDとする。

で、円が外接している点を、一番上がE、時計周りにして、F、G、Hとする。

また、内接円の中心をOとする。

公式より、AH=AE、EB=BF、FC=CG、GD=DHとなる。

仮定であるAE=EB、CG=GDより、

AH=AE=EB=BF=2、FC=CG=GD=DH=3となる・・・①

そして、GEの延長線と、CBの延長線の交点をIとする。

すると、IOCとICGは相似になります。

CIの長さは、(2+3)×3で、15。

円の半径をXとすると、6:X=2X・3:15-3(IFの長さ)

6Xの二乗=72となる。

つまり、Xの二乗=12

X=√12=2√3

高さは、Xの二倍だから、

4√3。

多分あってると思いますが、違っていたらすいません。

検算お願いします。

id:royzumi No.13

royzumi回答回数2ベストアンサー獲得回数02007/12/28 01:14:59

ポイント10pt

解:4.8~2√6(≒4.899)の範囲の数

解に範囲があるのは、問題の台形の上底と下底の位置関係が曖昧なためです。

上底と下底の端が揃っている場合の台形の解は4.8です。

上底と下底の中心が揃っている場合の台形の解は2√6(≒4.899)です。

■上底と下底の中心が揃っている場合の解法

上底の左端をA、下底の左端をB、下底の右端をC、上底の右端をD、

上底の中心をE、下底の中心をFとする。内接円の中心をOとする。

線分CDと内接円の接点をGとする。

上底と下底の中心が揃っている場合、点Eと点Fと点Oは一直線上にある。

点Oからそれぞれ点C、点D、点Gに補助線を引きます。点Dから線分FCへ垂線を引き、交わった部分を点Hとする。

ここで、直角三角形OEDと直角三角形ODGは合同(斜辺が同一、線分OEと線分OGが同一なため)。同様に直角三角形OGCと直角三角形OCFも合同。

線分DG=線分ED=2、線分GC=線分FC=3

∴線分DC=5

直角三角形DHCで、線分DC=5、線分HC=1なので、ピタゴラスの定理より、線分DHは2√6(≒4.899)となる。

■上底と下底の端が揃っている場合の解法

上底の左端をI、下底の左端をJ、下底の右端をK、上底の右端をL、内接円の中心をO、点Oから上底、下底へ垂線を引いたときの上底との接点をM、下底との接点をNとする。線分KLと内接円の接点をP、点Lから線分NKへ垂線を引き、交わった部分を点Qとする。

三角形LQKについて、ピタゴラスの定理より、

KL^2 = LQ^2 + QK^2

線分QK=2なので、

KL^2 = LQ^2 + 4 ・・・(1)

上底と下底の中心が揃っている場合の解法から、台形MNKLの上底と下底の和は線分KLと等しいことがわかる。反対側の台形IJNMについても考えると、上底と下底の和は線分IJと等しいことがわかる。つまり、台形IJKLの上底と下底の和は線分IJと線分KLの和に等しい。

LI + JK = IJ + KL

LI=4、JK=6、IJ=LQなので、

10 = LQ + KL

LQを移項して、

KL = 10 - LQ ・・・(2)

(1)に(2)を代入し解くと、

(10 - LQ)^2 = LQ^2 + 4

100 - 20LQ + LQ^2 = LQ^2 + 4

20LQ = 96

LQ = 96 / 20 = 4.8

#無理やりな感じがしてます。もっとスマートな解き方はないのだろうか・・・?

id:chin_326 No.14

chin_326回答回数1ベストアンサー獲得回数02007/12/28 08:34:19

ポイント10pt

左上の頂点から順にABCDとし、AC、BDに補助線を引きます。その交点をEとします。

トレミーの定理よりAB×CD+AD×BC=AC×BDなので、

4×6+4×4=AC×BD よってAC=BD=2√10が求まります。

錯角や円周角の性質より∠BAC=∠ACBとなり、(少々面倒なので省略します)

△ABCは二等辺三角形でBC=4となるので、

余弦定理よりcos∠ABC=(16+16-40)÷2×4×4=-1/4

よってsin∠ABC=√15/4、

△ABCの面積は、1/2×4×4×√15/4=2√15

また∠ADCは180°-∠ABCなので

sin∠ADC=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC=√15/4

よって△ACDの面積は1/2×4×6×√15/4=3√15

以上よりABCDの面積は2√15+3√15=5√15

高さをxとすると(6+4)×x÷2=5√15

x=√15

となります。計算ミスがあるかもしれませんが、考え方は合っている筈です。

  • id:SALINGER
    多数の回答があったにも係らず、トラックバックで回答した人がいたせいか、結局キャンセルになってしまったのは残念です。
  • id:taku0208
    kosuke2020さんすばらしいですね。僕もいろいろ考えたのですが、面倒くさくなって途中で投げ出しました。

    しかし、この質問者の人は少しおかしいですね。
    これだけ回答を集めておきながら、3つだけ開いて、しかもキャンセルとは。
    最初から全部開く気がないのなら、途中で打ち切ればいいのではないでしょうか。
    とても失礼だと思いますよ。

    過去の履歴を見ると、やはり回答を全部開いていないものがほとんどですね。
    たかが100円200円をけちっているのでしょうか。
    34歳にもなって、常識のない人ですね。

    回答者について、回答拒否などの設定はできるのですが、質問者にもそのような制限があってもいいのではないかと思います。
  • id:SALINGER
    少なくとも私の回答は質問者様がオープンされたのではありません。
    他の2回答もそうだと思います。
  • id:perishable
    この質問を見たとき、こりゃ2√6だなーと思ったのですが、そうでもないのですかね。

    taku0208さんへ
    この質問は、
    質問者が回答3つあけてからキャンセルしたのではなく、
    時間切れでキャンセルになった後、質問者でない誰かが回答を3つあけた
    のだと思います。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2007/12/28 14:26:44
    3つの回答者は「等脚台形」に絞られているようですが、そうでない条件に合う「台形」は多くありますが、どうでしょう?
  • id:imo758
    kosuke2020さんの回答は非等脚台形もあわせて考えたものになってますよ>yamadakouziさん
  • id:revolu
    わざわざ質問欄を使うまでもなく
    簡単な回答をブログに書いて
    トラバを送れば済むレベルだと思いました。
    このような黄チャートレベルの問題を
    質問するというのもナンセンスだと思いますし
    3のように一般台形で考えるのもまた
    ナンセンスに思います。
    また、問題からしてこれは等脚台形でしょう。
    一般台形にしたところでどんな面白味ある
    問題なのかなと思います。
    こういう問題の価値は、センターなどで
    短時間に発想力と計算力を
    みるところにあると思います。
  • id:gomaka
    与えられた条件を満たすのはh=2√6およびh=8/√3の2つです。

    このままだと正解があやふやなまま流れていきそうなので、おせっかいかもしれませんが。


    kosuke2020 さんの書き方でいうと、a=2のときh=2√6になり、a=4/3またはa=8/3のときh=8/√3になります。
    そして、aはこの3つの場合以外では、4辺に接する台形という仮定は満たしません。
    (たぶん、1式&2式をあわせた2つ等号がある式で、できるはずの3つの方程式のうち、最初の式と2番目の式を等号で結んだ方程式を解いていないため、必要条件までしか導けなかったのではないかと思います。)

    ちなみに、h=8/√3のときには、等脚台形ではなく、他の2辺は16/3と14/3になります。
  • id:imo758
    ではgomakaさんに次の計算結果の検証をお願いします。
    kosuke2020さんの回答におけるa=1、つまりh=3√2/2の場合です。

    A:(-1, 3√2) B:(3, 3√2) C:(3/2, 0) D:(-9/2, 0)
    円の中心:(0, 3√2/2), 円の半径:3√2/2

    台形の四辺を含む直線の方程式:
    辺AB : y=0
    辺BC : y=2√2(x-3/2)
    辺CD : y=3√2
    辺DA : y=( 6√2/7 )( x+9/2 )

    円と辺の接点:
    辺AB上の接点 : (0, 3√2)
    辺BC上の接点 : (2, √2)
    辺CD上の接点 : (0, 0)
    辺DA上の接点 : (-18/11, 27√2/11)
  • id:taku0208
    perishableさん、どなたか殊勝な方が開いてくれたのですね。
    そういうことですか。わかりました。
  • id:gomaka
    kosuke2020さん、imo758さん、ごめんなさい。

    勝手な条件をくわえて計算していたようです。

    やはり、0<a<4までの任意のaについて、題意を満たす内接円が存在しますね。

    ですから、kosuke2020の言うとおりですね。
    (a=2のとき、すなわち等脚台形の時、hは最大値2√6をとる)

    こちらの勝手な思いこみで混乱させてしまってすみません。
  • id:kosuke2020
    どなたかが回答オープンしてくれたみたいですね。ありがとうございます。お礼に続く3つの回答オープンしておきました。

    僕も等脚台形じゃないのかなーっと思ったんですが、個人的に等脚以外の一般の台形についてもどうなるのか知りたかったので、質問者の意図と違うのかもしれませんが一般的な台形として回答させてもらいました。(残念ながら質問者さんは放置されたようですが^^:) taku0208さん、評価いただきありがとうございます! imo758さん、回答の説明ありがとうございました。gomakaさん、こちらこそ、自分の回答が間違ってるかもしれないという指摘と、高さが最大値をとるときに台形の形が等脚台形になるという補足説明ありがとうございました。最後の高さhのとる範囲で0<h<2√6としてましたが、0<h≦2√6の間違いですね。訂正します。
  • id:imo758
    gomakaさん、検証のお願いを容れて頂きありがとうございました。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2007/12/31 22:16:57
    imo758さん、ご指摘ありがとうございます。当然ながらkosuke2020さんの回答をみました。設問条件から高さの最大値は2√6(等脚台形のとき)は皆さん(その時点では)一致していたのですが、最小値が0<hに成っていたので無視しました。(少なくとも2cm以上はある 0<hは大まか過ぎる)
    まともな回答(数値と、根拠)をしてない私がこんな事を書いてすみません。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2007/12/31 22:40:54
    失礼しました、少し勘違いをしてました。
    h=0の場合も有りました。ただ普通は台形に見えませんが、台形です。
    下底=6、側辺1=6、上底=4、側辺2=4の4辺に接する内接円は直径0、従って高さも0
    所謂、蛸形を押しつぶした様な形ですが、確かに上底と下底は平行です。
  • id:miku1973
    質問者です。

    キャンセルになってしまい申し訳ありませんでした。
    (事情によりネットが使えませんでした)

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