クラインの壷というものがありますが、これをパリーンと「割ると」どうなるのでしょうか?


 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%A3%BA

 もし割れた破片が3次元的に矛盾のない形になるならば、クラインの壷が普通の物質から作れてしまうことになるのでしょうか?
 位相幾何学などにまるで詳しくないため、推測することもできません。教えていただけると嬉しいです。

回答の条件
  • 1人10回まで
  • 登録:2008/01/20 03:49:23
  • 終了:2008/01/27 03:50:03

回答(3件)

id:Wize No.1

Wize回答回数65ベストアンサー獲得回数92008/01/20 04:02:06

ポイント27pt

次元を下げてメビウスの輪について考えると、

メビウスの輪は2次元空間では作ることが不可能ですが、3次元では作ることができます。

そして、メビウスの輪を適当に切り刻んだ時、残るのはただの帯であり、2次元で現せるものです。


あくまで類推ですが、

3次元:クラインの壷 と 2次元:メビウスの輪 の対応から考えますと、

3次元空間では作れないクラインの壷も、割れたものは3次元的に矛盾はないものになると思います。

あくまで「つなげ方」が次元的に制約があるのであって、

部分部分をとれば、クラインの壷も3次元物質なのではないでしょうか。


もしsplintさんにとって自明のことであったなら申し訳ありません。

id:splint

なるほど。確かにメビウスの帯との対応を考慮すると、

「つなげ方」が問題である、という言葉には説得力を感じます。


気になるのは、メビウスの輪が「3次元的には存在可能である」という点ですね。


(すいません、色々書いたんですけど、Wizeさんの回答を理解できてなかったので↓に書き直しました)


記憶が曖昧なのですが、クラインの壷というのは4次元的には存在可能である、という話を聞いたことがあります。

ここからメビウスの輪との対応を考えると、


クラインの壷:4次元的には存在可能だが3次元的には存在不可能

 ↓ ↓ ↓

メビウスの輪:3次元的には存在可能だが2次元的には存在不可能


ということになると思います。

ところで、メビウスの輪を「切り刻む」というのは、3次元的な壊しかただと思います。

ここからさらにクラインの壷との対応を考えると、


メビウスの輪:2次元的に存在不可能な物体を3次元的な壊しかたで壊すと、2次元的に存在可能な破片になる

 ↓ ↓ ↓

クラインの壷:3次元的に存在不可能な物体を4次元的な壊しかたで壊すと、3次元的に存在可能な破片になる


という推測ができます。「4次元的な壊しかた」というのがどんなものかは理解できませんが、

つまり、「4次元的に壊せば3次元的に矛盾しない破片になる」ということも言えるのかな、と思いました。

では、パリーンと「『3次元的に』割ると」どうなるんでしょう。うーむ。

2008/01/20 04:49:31
id:uehaj No.2

uehaj回答回数158ベストアンサー獲得回数152008/01/20 10:32:32

ポイント27pt

まず、割るか割らないかは別にして、クラインの壷は理想的な数学上の曲面として

考えられているので、それを物質で作ることにはいくぶんかの困難が伴います。こ

れは、「直線」というのを物質で作るのが難しいことと同じです。直線には

太さがありませんが、どんな細いペンで紙に直線を書こうとも太さは生じて

しまいます。定規のフチを直線とみなせば、太さはありませんが、原子や

素粒子レベルではやはり直線とはいえないでしょう。


こう考えると、クラインの壷だけではなく、球とか、三角形とかも厳密には

存在不可能なわけです。そういう形のものを例えばプラスチックとか金属

で作ったとして、それらの現実物体をみて、われわれはその表面の境界平面

を「球とみなしている」にすぎない。シャボン玉を球とみるときでも、その

シャボン玉を構成している膜の表側を球とみることもできるし、裏側を球と

見ることもできます。膜の厚さがかなり薄いのでわれわれは特に表面と

裏面を区別することなく、全体としておおむね球と認識するでしょう。


さて、前置きが長かったですが、クラインの壷を作るときに以下をまず

おさえておきたかったです。


 ・厳密に数学的に現実物質で作ることは不可能。ただこれは

  クラインの壷に限った話ではない

 ・日常の認識のレベルでは、まあ作ることができるかもしれない。

  とはいえ、人間がそれを「球だね」「クラインの壷だね」と

  認知できるレベル。


その上で、


 ・そのレベルで作ろうとしたときに、「面」を物質の存在・不存在の

  「境界」として作るのか「膜」として作るのかという2つの方針が

  ありうる。球でたとえるとボーリングの玉のようなものか、

  シャボン玉か。クラインの壷の場合、「もぐりこみ」があるので、

  あるいは逆転があるので、「境界」としては作りにくい。なので、

  「膜」として作るほうが多分実現性が高い。

 ・膜というのも、原子レベルで見ると、分子のならびにすぎない。

  表面にせよ、裏面にせよ、ある境界を面とみなすことで

  球面なり平面を人間が認識することになる。

 ・そう考えると、例えば「網」みたいなものでクラインの

  壷を実現しても別によいことになる。きめの細かさの程度の問題。


いかがでしょうか。元の質問に対する答えは、割るか割らないかは

関係なく、数学的には作れないし、近似的なものは作れる、です。

id:splint

 「壊す」ことがすでに、壊す対象が実在していることを前提にしている、ということですね。クラインの壷(に限らず図形一般ですが)のような曲面を現実のもので作ることは、もちろん不可能。よって、「破片はどうなるのか」という質問自体がナンセンスである、ということになる。なるほど。

 だからと言って、「壊すこと」を「最小の構成要素に分解する」(曲面を微分する、ともいえる)と置き換えてしまうと、今度はWizeさんの回答が正しいということになって、どちらにしろ疑問がキャンセル or クリアされてしまうのですね。おおー。


 基本的な点から丁寧に回答していただいてありがとうございました。

2008/01/21 06:54:38
id:hujikojp No.3

hujikojp回答回数101ベストアンサー獲得回数72008/01/22 17:40:04

ポイント26pt

まず、クラインの壷を位相幾何学的にとらえるか、微分幾何学的にとらえるかでちがいます。

直感でいうとクラインの壷がゴムでできてるか、ガラスでできてるかの違いです。

ゴムでできていた場合、Wizeさんの回答と、そこでしている自問のとおりです。例えば、WikiPediaの絵を逆に見れば、クラインの壷を切り刻んで一枚の正方形のゴムにしたとも言えます。

ガラスでできてた場合、予想は正しいです。つまり「割れた破片が3次元的に矛盾のない形になるならば、クラインの壷が普通の物質から作れてしまうこと」になります。さらに踏み込んで対偶で言えば、「クラインの壷を割った場合、必ず一つ以上は 3次元的に実現不可能な破片ができます」。

Wizeさんの例で言えば、メビウスの輪がガラスなら、どこかに 3次元的な曲面が必ずあるはずだということです。

ここら辺の、位相幾何学的な性質が微分幾何学的な性質を決めてしまうのは、幾何学の妙味でしょう。多分、近年解決されたポアンカレ予想にもそういった性質が使われたのだと思います (自分はまったく理解してませんが)。

id:splint

>クラインの壷を割った場合、必ず一つ以上は 3次元的に実現不可能な破片ができます

>メビウスの輪がガラスなら、どこかに 3次元的な曲面が必ずあるはずだ


 ゴムとガラス。非常に納得がいきました。

 ポアンカレ予想というのは言葉だけ知っていますが内容までは知りませんでした。今度なにか読んでみることにします。

 ご回答ありがとうございました。

2008/01/23 00:02:23
  • id:imo758
    三次元平面の接合だけでもクラインの壷は作れると思うけど…。カクカクのポリゴン状になってしまいますが。
    というのもメビウスの帯も、紙テープで作って全体を上から押さえつけ、できた折れ線のところで全体を切断すれば全て二次元平面に還元されるはずで…。
    違ったかな…。
  • id:hujikojp
    たしかにカクカクでよければ 二次元平面(ですよね?) の貼り合わせでできますね。微分幾何学的といった時点でなめらか(=いたるところ微分可能)なものを前提としてました。
    それまで含めると、貼り合わせ方が4次元的になるはず、ということになりますが...あまり Wizeさんとかわらなくなっちゃったかな。

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  • 部屋掃除/計算機/疑問  非常に高価な買いものをしてしまったため、罰として部屋を掃除した。  まだ中途半端な状態だが、それでも40リットルのごみ袋が15袋近くにのぼった。  日曜日
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