n,a,bは各々異なる値を持った自然数、

xを変数としたとき、以下の解を求めてください。

∫nx・10^-(ax + b) dx

(※^←これはべき乗を表します。)

解説を詳しく書いていただけると助かります・・・。
どうやって部分積分or置換積分に持っていけばいいのかさっぱりです。

ポイントがあまり残ってないので、遅く回答来てしまった方、シンプルすぎる回答の方は残念なポイント配分になってしまう可能性が高いです。ご了承願います。

宜しくお願い致します。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/01/28 18:45:23
  • 終了:2008/01/28 23:24:12

ベストアンサー

id:Rec No.1

Rec回答回数10ベストアンサー獲得回数32008/01/28 22:01:16

ポイント65pt

まずは積分に関係の無い部分を積分の外に出しましょう。

nはxに関係しない。

10^(-(ax+b))=10^(-ax)・10^(-b)の内、10^(-b)もxには関係しません。

従って、上の積分は

∫nx・10^(-(ax + b))dx=n・10^(-b)∫x・10^(-a)dx

と変形できます。

さて、この∫x・10^(-ax)dxについて考えましょう。

部分積分に持ち込むために、

-1/(a・ln10)・(10^(-ax))'=10^(-ax)

という関係(*1)を利用します。

ここで、'はxでの微分を表し、lnは自然対数を底とする対数です。

上の積分に代入すると

∫x・10^(-ax)dx=-1/(a・ln10)∫x・(10^(-ax))'dx

です。この式で部分積分の公式(*2)を使うと

-1/(a・ln10)∫x・(10^(-ax))'dx

=-x・10^(-ax)/(a・ln10)+1/(a・ln10)∫10^(-ax)dx

を得ます。

次に上の式に残った積分を処理しましょう∫10^(-ax)dxも(*1)を使えば

∫10^(-ax)dx=-1/(a・ln10)∫(10^(-ax))'dx

=-10^(-ax)/(a・ln10)

です。これらを全部、元に戻せば

∫nx・10^(-(ax + b))dx

=n・10^(-b)[-x・10^(-ax)/(a・ln10)-10^(-ax)/(a・ln10)^2]

が得られます。

(*1)の証明を一応載せておきます

y=10^(-ax)

とおくと、両辺のlnをとって

lny=-ax・ln10

両辺をxで微分すると

y'/y=-a・ln10

両辺にy=10^(-ax)を掛ければ

y'=-a・ln10・10^(-ax)

これを10^(-ax)について解けば

10^(-ax)=-y'/(a・ln10)=-(10^(-ax))'/(a・ln10)

が示せます。

(*2)部分積分

∫(f・g')dx=f・g-∫(f'・g)dx

如何でしょう?

id:fenir

Recさま、回答ありがとうございます!

なるほど、元の式が既に微分されたものであるという方向で部分積分にもってけばいいんですね。

と、自分流に解釈するのが良くないのかも・・・。

いるか賞プレゼントです。

2008/01/28 23:20:52

その他の回答(1件)

id:Rec No.1

Rec回答回数10ベストアンサー獲得回数32008/01/28 22:01:16ここでベストアンサー

ポイント65pt

まずは積分に関係の無い部分を積分の外に出しましょう。

nはxに関係しない。

10^(-(ax+b))=10^(-ax)・10^(-b)の内、10^(-b)もxには関係しません。

従って、上の積分は

∫nx・10^(-(ax + b))dx=n・10^(-b)∫x・10^(-a)dx

と変形できます。

さて、この∫x・10^(-ax)dxについて考えましょう。

部分積分に持ち込むために、

-1/(a・ln10)・(10^(-ax))'=10^(-ax)

という関係(*1)を利用します。

ここで、'はxでの微分を表し、lnは自然対数を底とする対数です。

上の積分に代入すると

∫x・10^(-ax)dx=-1/(a・ln10)∫x・(10^(-ax))'dx

です。この式で部分積分の公式(*2)を使うと

-1/(a・ln10)∫x・(10^(-ax))'dx

=-x・10^(-ax)/(a・ln10)+1/(a・ln10)∫10^(-ax)dx

を得ます。

次に上の式に残った積分を処理しましょう∫10^(-ax)dxも(*1)を使えば

∫10^(-ax)dx=-1/(a・ln10)∫(10^(-ax))'dx

=-10^(-ax)/(a・ln10)

です。これらを全部、元に戻せば

∫nx・10^(-(ax + b))dx

=n・10^(-b)[-x・10^(-ax)/(a・ln10)-10^(-ax)/(a・ln10)^2]

が得られます。

(*1)の証明を一応載せておきます

y=10^(-ax)

とおくと、両辺のlnをとって

lny=-ax・ln10

両辺をxで微分すると

y'/y=-a・ln10

両辺にy=10^(-ax)を掛ければ

y'=-a・ln10・10^(-ax)

これを10^(-ax)について解けば

10^(-ax)=-y'/(a・ln10)=-(10^(-ax))'/(a・ln10)

が示せます。

(*2)部分積分

∫(f・g')dx=f・g-∫(f'・g)dx

如何でしょう?

id:fenir

Recさま、回答ありがとうございます!

なるほど、元の式が既に微分されたものであるという方向で部分積分にもってけばいいんですね。

と、自分流に解釈するのが良くないのかも・・・。

いるか賞プレゼントです。

2008/01/28 23:20:52
id:kosuke2020 No.2

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82008/01/28 22:14:05

ポイント50pt

f(x)=nxg'(x)=10^{-(ax+b)}として、g'(x)を積分すると、

g(x)=\int10^{-(ax+b)}dx

-(ax+b)=u とおき、-adx=du xとuを置換して、

\int{10^{-(ax+b)}dx =\int{10^u}\frac{du}{-a}

=-\frac{1}{a}\frac{10^u}{log10}=-\frac{10^{-(ax+b)}}{alog10}

以上より、

\int{nx10^{-(ax+b)}}dx=\int{f(x)g'(x)}dx

={f(x)g(x)}-\int{f'(x)g(x)}dx

=-nx\frac{10^{-(ax+b)}}{alog10}-\frac{-n}{alog10}\int10^{-(ax+b)}dx

=\frac{-nx}{alog10}10^{-(ax+b)}+\frac{n}{alog10}(-\frac{10^{-(ax+b)}}{alog10})

=\frac{-n}{alog10}10^{-(ax+b)}(x+\frac{1}{alog10}) (終り)

id:fenir

Kousuke2020さま、回答ありがとうございます。

エディタを使った式がとってもわかりやすかったです。

Recさまの解法とはまた違っていて、こちらもかなり参考になりました。

またご質問の機会がございましたら、宜しくお願い致します。

2008/01/28 23:23:05
  • id:kosuke2020
    すいません、どうやってお返事したらいいのか分からなかったため、こちらに書かせてもらいます。

    今回の回答の件でわざわざご連絡いただき、ありがとうございました。このような連絡をいただいたのは初めてのことだったので驚きましたが、自分の回答した内容に喜んでいただけたことに私自身嬉しくなりました。

    回答は自分の頭の体操のためと、tex記法の練習のためにしてたりもするので、結構自己満足的なとこがありまして…なのであまりお気を使われなくてもいいですよ^^ お役に立てれたことがコメントで分かればそれだけで嬉しいので。

    なにはともあれ、回答に喜んでもらえたことが素直に嬉しかったです。ありがとうございました。

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