数学の質問です。３次元の座標上に、点Ａ(a,b,c)があります。原点から点Ａまでの距離は2000です。

Recさんの回答で、解がzだけ式が短いのですが、
xとyも何か定理（？）を使って同じような式にまとめられませんでしょうか？？？

すいません、やはり一部回答が間違ってましたのでコメントにて連絡させていただきます。
コメント欄ではtex記法が使えないので、この内容をコピーしてはてなブログにペーストして数式を見やすくしてみてもらえればと思います。

間違っていました…すいません。間違いを訂正して再度回答させてもらいます。

[tex:B=\(\array{\\{a_{yz}}\\{b_{xz}}\\{c_{xy}}}\)=\(\array{\\{a_y\cos(RZ^{\circ})-b_x\sin(RZ^{\circ})}\\{a_y\sin(RZ^{\circ})+b_x\cos(RZ^{\circ})}\\{-a\sin(RY^{\circ})+c_x\cos(RY^{\circ})}}\)]
（z座標のsinの項のマイナスが抜けてました）
[tex:=\(\array{\\{\{c_x\sin(RY^{\circ})+a\cos(RY^{\circ})\}\cos(RZ^{\circ})-b_x\sin(RZ^{\circ})}}\\{\{c_x\sin(RY^{\circ})+a\cos(RY^{\circ}))\sin(RZ^{\circ})\}+b_x\cos(RZ^{\circ})}\\{-a\sin(RY^{\circ})+c_x\cos(RY^{\circ})}\)]
[tex:=\(\array{\\{\[\{b\sin(RX^{\circ})+c\cos(RX^{\circ})}\}\sin(RY^{\circ})+a\cos(RY^{\circ})\]\cos(RZ^{\circ})-\{b\cos(RX^{\circ})-c\sin(RX^{\circ})\}\sin(RZ^{\circ})}\\{\[\{b\sin(RX^{\circ})+c\cos(RX^{\circ})}\}\sin(RY^{\circ})+a\cos(RY^{\circ})\]\sin(RZ^{\circ})+\{b\cos(RX^{\circ})-c\sin(RX^{\circ})\}\cos(RZ^{\circ})}\\{-a\sin(RY^{\circ})+\{b\sin(RX^{\circ})+c\cos(RX^{\circ})\}\cos(RY^{\circ})}\)]
[tex:=\(\array{\\{b\sin(RX^{\circ})\sin(RY^{\circ})\cos(RZ^{\circ})+c\cos(RX^{\circ})\sin(RY^{\circ})\cos(RZ^{\circ})+a\cos(RY^{\circ})\cos(RZ^{\circ})-b\cos(RX^{\circ})\sin(RZ^{\circ})+c\sin(RX^{\circ})\sin(RZ^{\circ})}\\{b\sin(RX^{\circ})\sin(RY^{\circ})\sin(RZ^{\circ})+c\cos(RX^{\circ})\sin(RY^{\circ})\sin(RZ^{\circ})+a\cos(RY^{\circ})\sin(RZ^{\circ})+b\cos(RX^{\circ})\cos(RZ^{\circ})-c\sin(RX^{\circ})\cos(RZ^{\circ})}\\{-a\sin(RY^{\circ})+b\sin(RX^{\circ})cos(RY^{\circ})+c\cos(RX^{\circ})\cos(RY^{\circ})}\)]
[tex:=\(\array{\\{a\cos(RY^{\circ})\cos(RZ^{\circ})+b\{\sin(RX^{\circ})\sin(RY^{\circ})\cos(RZ^{\circ})-\cos(RX^{\circ})\sin(RZ^{\circ})\}+c\{\cos(RX^{\circ})\sin(RY^{\circ})\cos(RZ^{\circ})+\sin(RX^{\circ})\sin(RZ^{\circ})\}}\\{a\cos(RY^{\circ})\sin(RZ^{\circ})+b\{\sin(RX^{\circ})\sin(RY^{\circ})\sin(RZ^{\circ})+\cos(RX^{\circ})\cos(RZ^{\circ})\}+c\{\cos(RX^{\circ})\sin(RY^{\circ})\sin(RZ^{\circ})-\sin(RX^{\circ})\cos(RZ^{\circ})\}}\\{-a\sin(RY^{\circ})+b\sin(RX^{\circ})cos(RY^{\circ})+c\cos(RX^{\circ})\cos(RY^{\circ})}\)]
（y座標の[tex:\cos(RZ^{\circ})]が[tex:\sin(RZ^{\circ})]に、[tex:\sin(RZ^{\circ})]が[tex:\cos(RZ^{\circ})]に入れ替わってました。）
以上で正しい解になっていると思います。


ここで、[tex:\cos(\theta)=\mathcal{C}\theta]、[tex:\sin(\theta)=\mathcal{S}\theta]、[tex:(\array{\\RX^{\circ},&RY^{\circ},&RZ^{\circ}})=(\array{\\{\theta}_{x},&{\theta}_{y},&{\theta}_z})]とおくと、
[tex:B=\(\array{\\{a\mathcal{C}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}+b\{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}-\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{z}\}+c\{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}+\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{z}\}}\\{a\mathcal{C}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}+b\{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}+\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{z}\}+c\{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}-\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{z}\}}\\{-a\mathcal{S}{\theta}_{y}+b\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{y}+c\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{y}}\)]
[tex:=\(\array{\\{\mathcal{C}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}}&{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}-\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{z}}&{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}+\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{z}}\\{\mathcal{C}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}}&{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}-\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{z}}&{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}+\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{z}}\\{-\mathcal{S}{\theta}_{y}}&{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{y}}&{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{y}}\)\(\array{4$a\\4$b\\4$c}\)=R\(\array{4$a\\4$b\\4$c}\)]

となり、点(a,b,c)をx軸を中心にRX°、y軸を中心にRY°、z軸を中心にRZ°回転させる変換は3行3列の行列[tex:R]で表現することができます。
この３行３列の行列はRecさんの回答されていたxyz軸周りに回転するときの変換行列を掛け合わせたものになると思います。そして、一番式を簡潔に
表現しようとすると、この行列形式になるかと思います。（z座標だけ式が短いのは、一番最後にz軸について回転させたためでしょう。）

　失礼かと思いますが、　irhnhhtnさんは三次元座標をほとんどご存じないようですね。
　
三次元座標では、回転する順序が変わると答えも変わってしまいます。二次元座標系とは異なります。つまり、公式などあるようで(もっともらしく3x3の行列変換式)、実は無いのです。
　
・アークタンジェント(arctangent:arctan,atan,etc.)をうまく用いる(知りたい角度が簡単に計算される)。
・結局は、二次元の座標変換式を用いる。
　
　の二つを使いながら解いていくのです(アメリカの数学者が作った三次元変換ルーチンのプログラムを解析したらそうなっていました)

例)ｚ方向にRZ角(ラジアン)だけ回転するには、
　1)点Aをまず、x軸上に来るようにz軸で(theta)度、回転させます。(y=0となる)
　2)XZ平面上で、点A'のx軸となす角度にRZ(ラジアン)を加えて回転させる(新しいx,zが得られる)
　　これは、簡単な二次元座標の変換方式そのままです。
　3)こうして得たxz座標上の点を元の位置、つまり、z軸で(-theta)度回転して完成です(zは新しいzのまま)
　　この三段階を紙に書いてイメージをはっきりさせて下さい。
　　はっきりできたら、回転の順序で座標が変わってしまう事も理解できるでしょう。
---
theta = arctan(b/a) で与えられます。

　以上、三次元空間の回転の具体的方法を示しました。
　
　
　これで、お分かりにならない時は、まず、回転する順序を良く考えたあとで、数学の三次元空間の先生にちゃんと授業料を払ってお聞きになると良いでしょう。はてな70ポイントで質問する範囲を逸脱しています。
　

＞kosuke2020さん
わざわざありがとうございます。
じっくり確認してみます。
ポイント多めに設定しますね。

＞hkrhr1さん
回転する順序で座標変わるんですね。
ちなみに勉強の為ではなく、単に答えが知りたかっただけなので、
詳しく調べる前に質問してしました。

再度すいません…またy座標の符号を間違ってました。間違った部分を直したものを上げなおします。
ややこしくしてしまってすいません。

[tex:B=\(\array{\\{a\mathcal{C}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}+b\{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}-\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{z}\}+c\{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}+\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{z}\}}\\{a\mathcal{C}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}+b\{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}+\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{z}\}+c\{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}-\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{z}\}}\\{-a\mathcal{S}{\theta}_{y}+b\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{y}+c\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{y}}\)]
[tex:=\(\array{\\{\mathcal{C}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}}&{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}-\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{z}}&{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{C}{\theta}_{z}+\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{z}}\\{\mathcal{C}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}}&{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}+\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{z}}&{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{S}{\theta}_{y}\mathcal{S}{\theta}_{z}-\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{z}}\\{-\mathcal{S}{\theta}_{y}}&{\mathcal{S}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{y}}&{\mathcal{C}{\theta}_{x}\mathcal{C}{\theta}_{y}}\)\(\array{4$a\\4$b\\4$c}\)=R\(\array{4$a\\4$b\\4$c}\)]