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学習・教育科学・統計資料

フーリエ変換について質問です。

f(t)=t sin(ω0t)
-∞<t<∞のとき、フーリエ変換F(ω)の求め方と答えを教えてください。

∫f(t)e^-iωt |-∞→∞　というフーリエ変換の公式があるのですが、
上記の問題のω0とこの公式のωを同一のものとみて計算してよいのか、別のものとみて計算すればよいのかがわかりませんでした。

よろしくお願いします。

回答の条件

1人2回まで

登録：2008/01/29 20:54:06
終了：2008/02/05 20:55:02

No.1

hidering5932008/01/29 21:48:49

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数学に関しては随分昔にやったことなので忘れてしまいましたが、

フーリエ変換については、『フーリエの冒険』という書籍が参考になりますよ。

この本は中学生程度の学力があれば、フーリエ変換についてわかるように解説されています。

随分昔からある本ですが、定評があり良書です。（表紙が安っぽいですが。。。）

大きな書店なら今でも置いてあると思います。

購入する場合は、中身を確認してからにして下さいね。

http://www.7andy.jp/books/detail?accd=30514589&pg_from=rcmd_deta...

ありがとうございます。

図書館で探して読んでみたいと思います。

2008/01/29 21:52:30

No.2

kosuke20207382008/01/29 22:10:48

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$\omega_0$ を定数として答えます。

$(f(x)g(x)h(x))'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$ より、

$\int_{0}^{\infty}t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt=-\frac{1}{\omega_0}\{\[t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt-(-s)\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}$

$\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt=\frac{1}{\omega_0}\{\[t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt-(-s)\int_{0}^{\infty}t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}$

$\[t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}=0$ 、 $\[t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}=0$ 、

$\int_{0}^{\infty}\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt=\frac{\omega_0}{s^2+{\omega_0}^2}$

$\int_{0}^{\infty}\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt=\frac{s}{s^2+{\omega_0}^2}$

以上より、

$F(s)=\int_{0}^{\infty}t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt=-\frac{1}{\omega_0}\{\[t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt-(-s)\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}$

$=-\frac{1}{\omega_0}\{-\frac{s}{s^2+{\omega_0}^2}+s\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}=\frac{s}{\omega_{0}(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s}{\omega_0}\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}$

$=\frac{s}{\omega_{0}(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s}{\omega_{0}^2}\{\[t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt-(-s)\int_{0}^{\infty}t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}$

$=\frac{s}{\omega_{0}(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s}{\omega_{0}^2}\{-\frac{\omega_0}{s^2+{\omega_0}^2}+sF(s)\}$

$=\frac{s}{\omega_{0}(s^2+{\omega_0}^2)}+\frac{s\omega_0}{\omega_{0}^2(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s^2}{\omega_{0}^2}F(s)=\frac{2s\omega_0}{\omega_{0}^2(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s^2}{\omega_{0}^2}F(s)$

$(1+\frac{s^2}{\omega_{0}^2})F(s)=\frac{2s\omega_0}{\omega_{0}^2(s^2+{\omega_0}^2)}$ 　　　　　よって　 $F(s)=\frac{2s\omega_0}{(s^2+{\omega_0}^2)^2}$ (終）

ちなみに、前回質問されていた問題は回答者の答えてた解き方であってたのでしょうか？　ちょっと気になってまして＾＾：

とても丁寧に導出していただけて本当に嬉しいのですが、フーリエ変換ではなくラプラス変換を行っているようです。

でも、今後の参考にします。本当にありがとうございました。

回答者様の解答で無理やり導出することはできました。

ただ、前回の問題は、定義域のミス…というのが結論でした。

2008/01/30 21:57:25

No.3

Rec1032008/01/29 22:20:51

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デルタ関数が出てきちゃうんですが、以下の方法で計算できます。

まず、

$\int^\infty_{-\infty}t\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=i\frac{d}{d\omega}\int^\infty_{-\infty}\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt$

と変形できることに注意します。

この積分について考えます。被積分関数中の $\sin(\omega_0 t)$ が

$\sin(\omega_0 t)=\frac{e^{i\omega_0t}-e^{-i\omega_0t}}{2i}$

と変形できるので

$\int^\infty_{-\infty}\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{2i}\int^\infty_{-\infty}e^{-i(\omega-\omega_0)t}dt-\frac{1}{2i}\int^\infty_{-\infty}e^{-i(\omega_0+\omega)t}dt$

です。右辺の第一項は1のフーリエ変換なので

$\int^\infty_{-\infty}e^{-i(\omega-\omega_0)t}dt=\delta(\omega-\omega_0)$

右辺第二項も１のフーリエ変換で

$\int^\infty_{-\infty}e^{-i(\omega+\omega_0)t}dt=\delta(\omega+\omega_0)$

となります。

(フーリエ変換表参照:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A...)

これを元の式に戻して

$\int^\infty_{-\infty}\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{2i}\delta(\omega-\omega_0)-\frac{1}{2i}\delta(\omega+\omega_0)$

となり、さらに最初の式に戻せば

$\int^\infty_{-\infty}t\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{2}\frac{d}{d\omega}\delta(\omega-\omega_0)-\frac{1}{2}\frac{d}{d\omega}\delta(\omega+\omega_0)$