2変数の独立変数x,yに関する関数uについて汎関数

I[u(x,y)]=∫F(x,y,u,∂u/∂x,∂u/∂y)dA
を停留化する条件を教えてください

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/02/05 13:34:40
  • 終了:2008/02/06 23:19:13

回答(1件)

id:ita No.1

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472008/02/06 09:15:39

ポイント100pt

I[u(x,y)]=∫F(x,y,u,∂u/∂x,∂u/∂y)dA

u(x,y)が各点でδu(x,y)だけ変化した場合の増分を考えると、

\delta I = \int_A \delta F dA

\partial u/\partial x=u_xなどと書き、\partial F/\partial u_x=F_{ux}などと書くと、

\delta F= F_u \delta u + F_{ux} \delta u_x + F_{uy} \delta u_y

後ろ二つを部分積分でδuの積分に変換。ベクトル場\vec{V}=(F_{ux}, F_{uy})と定義すると

\delta I = \int_A F_u \delta u + \vec{V}\cdot \nabla (\delta u)

グリーンの定理から

\int_A  \vec{V}\cdot \nabla (\delta u)=\int_S \vec{V}\cdot d\vec{S} \delta u -\int_A (\nabla \cdot \vec{V})\delta u ここでSは積分範囲Aの境界でdSは境界での微小法線ベクトル。境界でuが固定されているならここでδu=0なので前者は0。

したがって\delta I = \int_A \delta u (F_u -\nabla \cdot \vec{V}) dA。δuの係数が各点で0が停留条件。書き出すと

 \partial F/\partial u - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial (\partial u /\partial x)} -  \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial (\partial u /\partial y)}=0

id:shinmu

ありがとうございます。助かりましたm(_ _)m

2008/02/06 23:18:25
  • id:ita
    しまったグリーンの定理は「ネットデーキ=木間下の定理」の間違い。

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  • JGeek Log - 何を作ろうか 2008-03-15 12:56:18
    何を作ろうか 前に作ったデフォルメB2はまだ満足がいかないので公開するレベルじゃない。今試しに1/144のリアル版を設計しかけてるけど、全幅40cm程度なのに操縦席あたりの高さが1.2
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