複素数αの絶対値はどうして

 |α|=√a^2+b^2(←ここ、√の終わり。表し方がわからず、すいません。)
と表せるのですか?
※ベクトルはまだ未学習なので、ベクトルからの説明だとわからないと思います。

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  • 登録:2008/02/24 13:38:41
  • 終了:2008/02/24 19:54:45

ベストアンサー

id:juic No.1

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32008/02/24 14:04:46

ポイント50pt

まず「絶対値」とは、「その数が 0 からどれだけ離れているか」を表します。

これは数直線で、実数の絶対値を考えてみれば良いと思います。


複素数の場合ですが、複素数 a+bi を視覚的に表す場合、xy平面における点(a,b)を対応させて考えます。

(※このときの平面を「複素数平面」といいます。今の高校教科書には載っていませんが、下のリンクなどで少し見てみるといいと思います。)


そこで、あらためて考えると、複素数における絶対値は、xy平面における点(a,b)と原点の距離と考えられるので、|a+bi|=√(a^2+b^2)となります。(三平方の定理より)


http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukusosuu/henkan-tex....

id:massa-will

簡潔ながら、すごくわかりやすいです。ありがとうございました。

2008/02/24 19:41:15

その他の回答(3件)

id:juic No.1

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32008/02/24 14:04:46ここでベストアンサー

ポイント50pt

まず「絶対値」とは、「その数が 0 からどれだけ離れているか」を表します。

これは数直線で、実数の絶対値を考えてみれば良いと思います。


複素数の場合ですが、複素数 a+bi を視覚的に表す場合、xy平面における点(a,b)を対応させて考えます。

(※このときの平面を「複素数平面」といいます。今の高校教科書には載っていませんが、下のリンクなどで少し見てみるといいと思います。)


そこで、あらためて考えると、複素数における絶対値は、xy平面における点(a,b)と原点の距離と考えられるので、|a+bi|=√(a^2+b^2)となります。(三平方の定理より)


http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukusosuu/henkan-tex....

id:massa-will

簡潔ながら、すごくわかりやすいです。ありがとうございました。

2008/02/24 19:41:15
id:a2gi No.2

a2gi回答回数81ベストアンサー獲得回数32008/02/24 13:55:35

ポイント20pt

z=a+bi

とする時、

|z|=sqrt{a^2+b^2}

ってやつですよね?

簡単に言うと虚数を表現するための複素数平面というのがあって

実部であるaがx軸、虚部であるbがy軸の値を取る平面となっています。

なので|z|は原点からの距離を表すことになります。

そうするとピタゴラスの定理を使います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A...

底辺がa,高さがb,斜面が|z|となります。

数式を表示する(tex記法) - はてなダイアリーのヘルプ

http://www.forkosh.com/mimetex.html#preview

id:massa-will

数式表示のチップまでつけていただきました。ありがとうございます。

2008/02/24 19:43:13
id:kosuke2020 No.3

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82008/02/24 14:18:52

ポイント30pt

複素数の絶対値の定義がそのようになっているからです。

絶対値とは、その数が0からどれだけ離れているか、その大きさを表す考え方です。

実数の絶対値を考えた場合、その数は元の実数の負符号を取り除いたものになります。つまり、3も-3も0からの距離はどちらも3ということになります。

しかし、複素数(complex number)は実数(real number)と虚数(imaginary number)からなる概念上の数であり、その大きさと言われても日常感覚ではイメージできません。

なので、実数の絶対値とは異なる、複素数の絶対値というものを定義してあげる必要があります。

wikipedia調べで申し訳ないですが、絶対値の性質は

1.|x| ≥ 0

2.x = 0 のとき、且つそのときに限って、|x| = 0

3.|xy| = |x| |y|

4.|x/y| = |x|/|y| (if y ≠ 0)

5.|x + y| ≤ |x| + |y| (三角不等式)

6.|x - y| ≥ | |x| - |y| |

7.|x|=√x^2

8.-y ≤ x ≤ y のとき、且つそのときに限って、|x| ≤ y

の8つを満たすものになります。

複素数α=a+ibの絶対値を、 |α|=√a^2+b^2としてやることによって、上記の絶対値の性質の1から6まで満たすことになり、これを複素数の絶対値と呼びます。

実数の絶対値は7.8.まで満たしますが、複素数の絶対値は7.8.を満たすとはいえません。ここが、実数の絶対値と、複素数の絶対値の考え方の異なる点です。まったくの別物なのです。別物なのですが、とても共通した性質をもった数、考え方なのです。

なので、複素数の絶対値がなぜ|α|=√a^2+b^2と表されるか、と考えるのではなく(考えてもいいのですが大学以降の内容になると思います)、|α|=√a^2+b^2と表されるものが、複素数の絶対値と定義されているものなのだと覚えるべきもの、なのです。

では、なぜ複素数の絶対値を|α|=√a^2+b^2というものに定義するのかというと、そう考えることで複雑な方程式や考え方がとてもすっきりと表現できるようになるからです。 その内容は大学に入ってから学ぶものなので、高校の時点では分からないと思います。興味があれば、自分で調べてみるのもおもしろいと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4

id:massa-will

丁寧な回答で、勉強になりました。ありがとうございます。

2008/02/24 19:46:04
id:cod-tara No.4

cod-tara回答回数13ベストアンサー獲得回数22008/02/24 14:19:36

ポイント60pt

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4

URLはwikipediaの絶対値の項目です。

なぜ絶対値が

|α|=(a^2+b^2)^(1/2)

となるのかということですが、複素数αを、iを虚数単位としてα=a+bi(a,bは実数)としたときに、|α|=(a^2+b^2)^(1/2)を絶対値とすると、定義したからです。何か式を弄ったりして派生してくるものではなく、複素数

αを定義した際に、αの絶対値は|α|=(a^2+b^2)^(1/2)で表されるよと、同時に定義したと考えてもらって差し支えないかと思われます。数学的な絶対値の性質を満たすように複素数の絶対値を定義した結果、

|α|=(a^2+b^2)^(1/2)

こういうことになります。数学的な絶対値の性質については、数学の教科書やwikipediaを参照してもらえればわかりやすいかと思われます。

 ということを言ってもなかなか受容できないのが現実(なぜそう定義するのかetc)だと思いますので

、感覚的(図形的)な話をしたいと思います。

 xy平面上における点は、(x,y)と表記され、二つの実数xとyの組み合わせによって表されることはご存じかと思います。今、二つの実数という点に注目すると、複素数αにも、a,bという二つの実数があることに気づきます。

 いま、複素数αによって表される点を、xy平面上の点(a,b)で表すとすると、以下の図のようになります。

 

 これが、複素数平面と呼ばれるもので、xy平面のx軸方向に複素数αの実部の値、y軸方向に虚部の値を対応させた平面です。たとえば、複素数平面上で、α=1+3iによって表される点は、xy平面上では(1,3)に対応しています。複素数平面においては、xy平面におけるx軸のことを、実部に対応していることから「実軸」、y軸のことを、虚部に対応していることから「虚軸」と呼びます。

 数学上の絶対値とは、「原点からの距離」であることを思い出してください。(例:3の絶対値は3、点(1,1)の絶対値はルート2)

 複素数平面によって表されるαとは、xy平面上で点(a,b)に対応する点のことでしたよね?αの絶対値、つまりαの原点からの距離を考えると、三平方の定理を用いて、容易にその値が

|α|=(a^2+b^2)^(1/2)

であることがわかるかと思います。これが、複素数の絶対値の、図形的な説明に相当するかと思われます。ベクトルの考え方を用いて説明してしまっているのでポイントは要りませんが、少しでも理解の足しになればうれしいです。

 しかし、再度繰り返すと、複素数の絶対値

|α|=(a^2+b^2)^(1/2)

は、あくまで定義であり、複素数というものをα=a+biと定義したときに、同時に"そうである"と決めたルールであるということを忘れないでください。

id:massa-will

詳しい上に易しい解説で、大変によくわかりました。ありがとうございます。

2008/02/24 16:16:37

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