解答のついていない練習問題で、次の分数式のxに関する不定積分を考えましたが、力尽きました。どなたかご教示お願いします。

1/(1 + e^x)

回答の条件
  • 1人3回まで
  • 登録:2008/03/02 02:14:01
  • 終了:2008/03/03 21:30:05

回答(3件)

id:kosuke2020 No.1

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82008/03/02 04:19:20

ポイント40pt

f(x)=-log|e^{-x}+1|ですね。

f'(x)=-\frac{1}{e^{-x}+1}*(-e^{-x})

=\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}=\frac{1}{1+e^x}

id:takao78ks

koseke2020さん解答ありがとうございます。f(x)の真数部ですが、e^-xは正なので、真数が負の数にはなり得ず、絶対値記号は不要ではないでしょうか?それだとすれば、真数部を通分すると、

(1+e^x)/e^x となると思います。したがって、

f(x) = -log[(1+e^x)/e^x]=log(e^x)-log(1+e^x)=x-log(1+e^x)

よって、

f'(x)= 1-e^x/(1+e^x)=1/(1+e^x) 命題の与式になりました。

別解として、suzumenoko_pokeさんのtで置換する方法でも出来るはずと思うのですが、結果が一致しません。どちらも正しく思えます。

2008/03/03 21:23:06
id:suzumenoko_poke No.3

suzumenoko_poke回答回数1ベストアンサー獲得回数02008/03/02 17:10:25

ポイント40pt

1+e^x=tとおくと

\int\frac{1}{1+e^x}dx=\int\frac{1}{t}dx

\frac{dt}{dx}=e^xよりdx=\frac{dt}{e^x}=\frac{dt}{t-1}

よって\int(1+e^x)dx=\int{tdx}=\int\frac{dt}{t(t-1)}=\int(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t})dt

=log|t-1|-log|t|+C=log{e^x}-log(1+e^x)+C=x-log(1+e^x)+C

id:takao78ks

suzumenoko_pokeさん回等ありがとうございます。なるほど、tfで置換するのはよくわかります。ただ、kousuke2020さんの回等と食い違うので、ひとつ確認ですが、dx=dt/(t-1)なら、∫tdx = ∫tdt/(t-1)=∫dt+∫dt/(t-1)ではないでしょうか?引き続きお願いします。 

2008/03/02 20:53:19
  • id:imo758
    回答権が無かったのでコメント欄で。
    x - log(1 + e^x) + C …suzumenoko_pokeさんの回答
    = log(e^x) - log(1 + e^x) + C
    = log{(e^x) / (1 + e^x)} + C
    = log{1 / (e^-x + 1)} + C
    = log{(e^-x + 1) ^ -1} + C
    = -log(e^-x + 1) + C …おおよそkosuke2020さんの回答
    よってkosuke2020さんの回答とsuzumenoko_pokeさんの回答は、おおよそ、同一のものの別表現です。
  • id:suzumenoko_poke
    3行目で求める関数自体が変わってますね^^;すいません
    ∫1/(1+e^x)dx=∫(1/t)dx=∫dt/t(t-1)=・・・(以下同じ) ですね^^;
  • id:kosuke2020
    どうも、1の回答者です。まず、積分定数を忘れていましたので、そこを訂正します。申し訳ありませんでした。

    >f(x)の真数部ですが、e^-xは正なので、真数が負の数にはなり得ず、絶対値記号は不要ではないでしょうか?

    -∞<x<∞でe^-x>0なので、絶対値の記号は不必要ですね。

    suzumenoko_pokeさんの置換の方法も正しく、suzumenoko_pokeさんの方法で導かれた答えと僕の回答は、imo758さんのコメントやtakao78ksさんが僕の回答へのコメントで導かれていたように、表現の仕方が異なるだけで全く同じものだと思いますが、いかがでしょうか。

    -log(e^{-x}+1) = -log[(1+e^x)/e^x] = log(e^x)-log(1+e^x) =x-log(1+e^x)

    一番左が僕の回答での記述、一番右がsuzumenoko_pokeさんの回答での記述です。
    同じものを異なる記述で示しただけ、のように思います。

  • id:takao78ks
    kosuke2020さんご丁寧に返事ありがとうございました。
    やっと納得できました。

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