問題:AB=2,BC=4,CD=3,DA=2,AD//BCである四角形ABCDにおける対角線AD=xを求める。

質問:余弦定理から、二次方程式が2つできて、連立してxを求めるのはわかるのですが、
そこからcosθ=17/4√22を満たすθが存在するかどうかを確かめるという作業が必要だということが
わかるようで、わかっていない気がします。どなたか、すっきりとさせてください。お願いします。

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  • 登録:2008/03/02 20:22:59
  • 終了:2008/03/03 19:45:12

回答(3件)

id:captim No.1

captim回答回数109ベストアンサー獲得回数62008/03/02 21:00:38

ポイント5pt

ADは対角線じゃないですよね?

対角線はACとBDです。

確か…上底と下底が平行の三角形の面積は

底辺*(上底と下底をつないだ辺)/2

だったはず・・・(小4か5くらいの算数より)

AD//BCだから三角形ABCの面積は

BC*AB/2=4*2/2=4

同様にBC*AC/2=4

AC=4*2/4=2

余弦定理は確か1辺が垂直じゃないとだめですよね?

URLはダミーです。

http://captim.site.ne.jp/

id:kuni11 No.2

kuni11回答回数216ベストアンサー獲得回数42008/03/02 21:23:18

ポイント10pt

「cosθ=17/4√22を満たすθが存在するかどうかを確かめる」というのは「-1<cosθ<1より、17/4√22がその範囲にあるかどうかを確かめる」ということだと思います。


ダミーURL http://q.hatena.ne.jp/

id:taku0208 No.3

taku0208回答回数250ベストアンサー獲得回数112008/03/03 13:44:46

ポイント65pt

質問の意味をちゃんと理解できなかったので、的はずれな答えかも知れませんが、上記問題はcosなど使わないで、三平方の定理で解決しますので、その解法を書いておきます。

まず対角線BDを求めます。

これは、簡単ですね。

BCの中点をE、CDの中点をFとすると、

三角形CEFは直角三角形であることに気づきます。

さらに、三角形CEFは三角形CBDと相似の直角三角形なので、

三平方の定理より

BD^2=BC^2+CD^2

よって、BD=√7

次に対角線ACを考えます。

CDをD方向に伸ばした補助線を引き、Aからこの補助線に垂線をおろします。

この補助線と垂線の交点をGとします。

直角三角形ACGの斜辺を求めればよいことになります。

三角形ADGは三角形ECFと相似なので、

CG=4.5、AG=0.5×√7となり

三平方の定理より、

AC^2=4.5^2+(0.5×√7)^2

よって、AC=√22

以上

http://q.hatena.ne.jp/answer

id:massa-will

すいません。説明不足でした。コメント欄に補足説明を書きましたので、再度の回答を

いただけましたら、嬉しいです。ありがとうございます。

2008/03/03 16:14:15
  • id:honzuki
    対角線はACかBDではないのですか?
  • id:massa-will
    大変すいません。対角線はACです。
  • id:taku0208
    後半すこし省略しましたが、図に描けば直感的に分かると思います。

    前半ではEFを求めておけば、BDを求める必要ないですね。

  • id:massa-will
    説明不足の質問でしたので、補足説明します。(別解は不可とします)
    AD//BCであるためには、∠ACB=∠DACであることが必要十分。
    そこで、これらの角の大きさをθとおくとき、△ABCと△ACDにおいて、
    2^2=x^2+4^2-2*4xcosθ
    3^2=x^2+2^2-2*2xcosθ
    が成り立つ。よって、これらを連立して、
    x=√22
    が得られる。
    質問:ここへ来て、どうしてcosθ=17/4√22を満たすθの存在を確かめる必要があるのでしょう?
    そもそも、余弦定理を使っているのだから、おかしなθは出てこないのではないか?しかし、
    連立方程式を解くという作業をしているから、それが必要になるのか?要するに基本がわかって
    いないと思うのです。そこのところを是非教えてもらいたいです。よろしくお願いします。
  • id:juic
    自信が無いのでこちらに書きますが、massa-willさんの言うとおり、θの値を確かめる必要は無い気がします。

    もしかしたら、4辺の長さから四角形ができない可能性を検討しているのかもしれませんが、この場合そうはならないことはほぼ明らかです。

    あるいは、2次方程式を解く際にxの解が2個出てくるので適する方を吟味する、という意図かも知れませんが、これにしてももう片方は負の値なので不要でしょう。ちなみに辺の長さを変えても、AD//BCならばx=±αの形で出てきます。
  • id:taku0208
    やはり、的はずれな回答になってしまいました。

    二次方程式は一般に解が2個出てくるので、それらが現実的かを吟味する必要があります。

    今回の場合は、juicさんのおっしゃるとおり、xを求めた時点で、x=-√22を切り捨てているので、θの確認は不要と思います。

  • id:ita
    問題文に間違いがなければ、確認はいらないはずですね。

    もっと簡単に、三角形ABCの辺の長さAB,BC,CD が与えられた時、cos ∠ABC を求めよ、という問題だったとします。数学なら確認はいらないけど、これがプログラム中のサブルーチンだったとしたら、 cos の値が変だったらエラーを出して止まるようにしてあると、別の部分でこのサブルーチンを呼んでいる部分のバグを見つけやすくなります。
    たとえばAB=1, BC=1, AC=100 とか。
    また数学の問題でも検算に使えますね。
  • id:massa-will
    みなさん
    ありがとうございます。手元の解答にそうあったものですから、
    ずいぶんと考えて、自分の基礎力のなさに帰結させていたところでした。
    また、回答があまり集まらず、困ってたところに、的をとらえた回答を寄せて
    いただいて二重に嬉しいです。どうもありがとうございます。

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