<問題>

xy平面に定点A(-2,1)と放物線C:y=x^2がある。C上の動点Pに対し、
半直線AP上にAP'=2APとなる点P'をとる。点P'の描く曲線を求めよ。
<手元にある解答>
P(x,y),P'(α,β)とおくと、Pが線分AP'の中点であることから、
x={α+(-2)}/2 かつ y=(β+1)/2・・・(*)
である。これで定まる点(x,y)が放物線C上にあるような点(α,β)の全体が、
求める点P'の軌跡である。そこで(*)を
y=x^2・・・①
に代入して、整理すると
β=1/2(α-2)^2-1
である。これを満足する点(α,β)の全体、すなわち
放物線y=1/2(x-2)^2-1
が求めるものである。
<質問>
①への代入の箇所について、なぜ代入するのですか?
どういう意味から、そうするのですか?理屈がわかりません。教えてください。

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  • 登録:2008/03/08 12:03:14
  • 終了:2008/03/09 13:10:19

回答(3件)

id:Sampo No.1

Sampo回答回数556ベストアンサー獲得回数1042008/03/08 14:03:21

ポイント30pt
  • (-2,1)と(α,β)の中点が(x,y)である。
  • xとyにはy=x^2という関係がある。

という前提のもとに話をするのですから

  • x={α+(-2)}/2
  • y=(β+1)/2
  • y=x^2

の3式は(上の前提のもとでは)常に真です。ですから、この3式からどう導出した式もすべて真です。

これがまず頭にあります。


目的は、αとβの関係を知ること、もっと具体的にいえば、αかβが含まれ、αとβ以外の文字が含まれていない、常に真である式を得ることです。

簡単に言えば、xとyが邪魔だから消去してしまいたいんですね。数式を正しくいじって、xとyのない、αかβの含まれた式を得るには……

せっかく、x=……、y=……の形の式があるのだから、これをy=x^2に代入してしまえばxもyも一気に消えてしまい、目的の式が得られる、というわけです。

http://dummy

id:massa-will

ありがとうございます。

回答への質問をコメント欄に書きましたので、

再度、回答をいただけましたら嬉しいです。

2008/03/08 19:49:01
id:juic No.2

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32008/03/08 14:10:12

ポイント30pt

この問題には、主に2つの条件があります。

条件1:AP=AP'

条件2:点PはC上にある ⇔P(x,y) とおくと y=x^2 を満たす

その上で、

問い:P'(α,β)とおくと、α,βの満たす関係式を求めよ。(≒「点P'の描く曲線を求めよ。」)


さて、条件1から(*)が出てきます。では条件2はどのように使うのでしょうか。

(*)の式の中に、x,yの文字があります。

これは何だったかというと、P(x,y)とおいたものです。だから y=x^2 は条件2より成り立ちます。

y=x^2・・・①

また、x=(α-2)/2 かつ y=(β+1)/2・・・(*)

これは、x という値と、(α-2)/2 という値が同じということです。同じなのだから、①の x を(α-2)/2に書き換えます。

y と (β+1)/2 も同様です。

なぜ書き換えるかというと、問いが「α,βの満たす関係式を求めよ。」だからです。


――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

参考として、別の方法を書きます。(こちらは類題を解く時に使いづらいことがあります。)

(*)のyの式を変形して、β=2y-1

y=x^2を満たすので代入して、β=2x^2-1

これに(*)のxの式を代入して、β=2{(α-2)/2}^2-1



http://www.hatena.ne.jp/ ←ダミー

id:massa-will

ありがとうございます。

回答への質問をコメント欄に書きましたので、

再度、回答をいただけましたら嬉しいです。

2008/03/08 19:49:14
id:juic No.3

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32008/03/09 00:39:20

ポイント30pt

再質問の回答です。

確かにここまでの解答でわかることは、厳密には

点P'が条件1と2を満たす ⇒ β=1/2(α-2)^2-1 …(#)が成り立つ

ですね。「逆」が成り立つことは説明されていません。つまり、

「放物線C' y=1/2(x-2)^2-1 上の"全ての"点に対して、C上のある点P(x,y)が存在し、条件1と2が成り立つ」

ことは解答に含まれていません。


これは次のようにして証明できます。

任意の放物線C' y=1/2(x-2)^2-1 上の点P'(α,β)をとる。

ここで、点((α-2)/2,(β+1)/2)を考えると、これは条件1を満たす(つまりAP'の中点である)。

更に、これは条件2も満たす。なぜならば、P'(α,β)はC'上の点をとってきたのだから、(#)が成り立つ。

β=1/2(α-2)^2-1

β+1=1/2(α-2)^2

(β+1)/2=1/4(α-2)^2

(β+1)/2={1/2(α-2)}^2   ←y=x^2の形

よって「放物線C' y=1/2(x-2)^2-1 上の"全ての"点に対して、C上のある点P(x,y)が存在し、条件1と2が成り立つ」。


見ての通り、最初の解答を逆にたどっていっただけですので、こういう場合は「逆」が成り立つことのの証明は省略できる、というのが通例です。


――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

ただし、他の奇跡の問題の中には、逆は成り立たない場合もあります。

つまり、計算して出てきた図形の中に、条件を満たさない"例外の"点がある問題もがある、ということです。

ですので、解答上はともかく、頭では例外があるか考えた方がより確実ではあると思います。


http://www.hatena.ne.jp/

id:massa-will

再回答をしていただきまして、ありがとうございます。

理解がまだ整ってはいませんが、解決できそうです。よかったです。

2008/03/09 13:08:09
  • id:yotinakk
    半直線APの意味を逆に理解して変な曲線を得ました(鬱)。半直線APと言ったら始点がAでP側にのびているんですね。忘れてました。
  • id:massa-will
    寄せていただいた回答に対しての質問です。
    y=x^2に(*)を代入して得られるαとβの関係式がそのまま求める軌跡の式だと断定できるのはなぜですか?
  • id:Sampo
    > 求める軌跡の式だと断定できるのはなぜですか?

    その疑問は非常に鋭いです。
    つまり、断定できません。

    求まったy=1/2(x-2)^2-1は、P'の座標において必ず成立している式でしかありません。
    この式が成立する座標には必ずP'が存在しうる(=この式がP'の軌跡を表す)ことは別に証明する必要があります。

    つまり、この回答例の論理展開は必要条件と十分条件を混同しており、数学的に不完全です。
  • id:massa-will
    終了後にもコメントをいただけて嬉しいです。
    ありがとうございます。

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