高校1年生の数学です。


xの整式f(x)を(x-1)^2で割ると余りは-x+5で、x+2で割ると余りは-2です。

では、f(x)を{(x-1)^2}(x+2)で割ると余りはいくつになるでしょうか?

センター試験の問題にありがちですが、34歳の私に手ほどきをお願い致します。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/03/16 12:04:01
  • 終了:2008/03/16 19:09:14

回答(5件)

id:Z9M9Z No.1

Z9M9Z回答回数343ベストアンサー獲得回数112008/03/16 12:40:40

f(x)= A{(x-1)^2} + (-x+5) 

f(x)= B(x+2) -2

という形で書ける f(x) について、

f(x)= C{(x-1)^2}(x+2) + g(x) の g(x) を求めます。これは

g(x) = D(-x+5) + E とおくことができて、

g(1) = -1+5 = 4

g(-2) = -2

になるはずなので、

4D+E=4 -> E = 4-4D

7D+E=-2 -> 3D = -6

となって、

D=-2 E=12

よって、余りは 2x+2 となります。‥たぶん(弱)

id:miku1973

うーん。微妙。

根拠は示せないけど、正しいか確信がもてないです。

ひきつづき回答をお待ちします。

2008/03/16 12:46:51
id:takahiro_kihara No.2

狂人日記回答回数833ベストアンサー獲得回数112008/03/16 13:51:58

ポイント5pt

g(x)=D(-x+5)+E とおいているところが間違いです。

整式を三次式で割った余りは、二次式以下になるはずです。

えっと、僕はsokyoさんみたいに数式を書くツールを持ってないので、見づらいですが、


最初の条件から、f(x)={(x-1)^2}(x+2)q(x) + a (x-1)^2 - x + 5とおけるはずで、

二番目の条件からは、f(-2) = -2

よって、f(-2) = 9a + 7 = -2

a = -1

したがって、与式を{(x-1)^2}(x+2)で割った余りは、

(-1)(x-1)^2 -x + 5 = -x ^2 + x


計算間違いなどは、ご容赦の程を。

id:miku1973

答えは-x^2+x+4の間違いですかな?

2008/03/16 15:16:28
id:pahoo No.3

pahoo回答回数5960ベストアンサー獲得回数6332008/03/16 14:10:33

ポイント75pt

問題文を

f(x) = (x-1)^2 g1(x) + (-x+5) ... (1)

f(x) = (x+2) g2(x) + (-2) ... (2)

と表す。

ここで、f(x)(x-1)^2 (x+2) で割ると

f(x) = (x-1)^2 (x+2) g3(x) + ax^2 + bx + c

と表記できる。

そこで、余りである

f(x) = ax^2 + bx + c(x-1)^2

で割ることを考えると、(1) より

ax^2 + bx + c = a(x-1)^2 + (-x+5) ... (3)

と表すことができる。すなわち、

f(x) = (x-1)^2 (x+2) g3(x) + a(x-1)^2 + (-x+5)

である。

一方、(2) より、f(-2) = (-2) が成り立つ。

(3) より、

a(-2-1)^2 + (2+5) = (-2)

9a + 7 = (-2)

a = -1

よって、求める余りは

(-1)(x-1)^2 + (-x+5) = -x^2 +x + 4

である。

id:miku1973

9行目と10行目ですが、どうして、(x-1)^2でその余りを割ることを考えるのかがわかりません。

アドバイスよろしくです。

2008/03/16 15:14:52
id:jute No.4

jute回答回数31ベストアンサー獲得回数32008/03/16 15:49:28

ポイント10pt

pahooさんと前半は一緒。

問題文による数式で割れるという前提から

f(x)={(x-1)^2}(x+2)g(x)+Ax^2+Bx+C とでもおく

(x-1)^2でわると余り(-x+5)なので右辺のAx^2+Bx+C = A(x-1)^2-x+5と書き換えられる。

また、(x+2)で割ると余り-2なので同様にAx^2+Bx+C = A(x+2)(x+b)-2 A,bは任意の実数

展開して比較

Ax^2-(2A+1)x+A+5 ....①

Ax^2+A(2+b)x+2Ab-2 ....②

①と②は同じ式なので

1-2A=2A+Ab ....③

A+5=2Ab-2 ....④

まとめると

Ab+4A=-1 ....③’

2Ab-A=7 ....④’

③’の両辺を2倍して④’をひくとA=-1がでてくる。

よって、①から答えは -x^2+x+4

id:idadi No.5

伊田匡嗣回答回数25ベストアンサー獲得回数22008/03/16 19:03:21

ポイント10pt

まずは、仮定がコレ

f(x)=A(x){(x-1)^2}+(-x+5)

f(x)=B(x)(x+2)+(-2)

f(x)を{(x-1)^2}(x+2)で割った商をQ(x)、余りをR(x)とします。このとき、f(x)は

f(x)=Q(x){(x-1)^2}(x+2)+R(x)

と書けますよね。これを変形していってみます(R(x)の次数は高々2次)

f(x)

=Q(x){(x-1)^2}(x+2)+R(x)

=Q(x)x{(x-1)^2}+2Q(x){(x-1)^2}+R(x)

ここで、f(x)を{(x-1)^2}で割ると、余りは-x+5になるので、R(x)=C{(x-1)^2}+(-x+5)と書けます。これをf(x)に代入すれば、

f(x)=Q(x){(x-1)^2}(x+2)+C(x){(x-1)^2}+(-x+5)

さらに、f(x)をx+2で割ると余りが-2になるのだからR(x)をx+2で割るとあまりが-2になるハズ。。。。。だから、R(x)をx+2で割ってみます。と、その前にR(x)の次数は高々2次だから、Cは定数ですね。で、

R(x)

=C{((x+2)-3)^2}+(-x+5)

=C{(x+2)^2}-6C(x+2)+9C+(-x+5)

=(x+2){C(x+2)-6C}-x+(9C+5)

となるんです。で、R(x)をx+2で割ってみると、余りは9C+7。これが-2と等しいからC=-1

だから、R(x)=-(x-1)^2-x+5となります(あとは展開するだけ)

割り算するときは、余りの次数を気にしないといけないんですね。ごめんなさい、あんまり整理できてませんけど、こんな感じでしょうか?

  • id:pahoo
    #1で回答した者です。
    > 9行目と10行目ですが、どうして、(x-1)^2でその余りを割ることを考えるのかがわかりません。
    (1)より、f(x)のxの二乗およびそれより大きな乗数の項は (x-1)^2 が因数になっていることは明らかです。したがって、剰余にあらわれた xの二乗の項も (x-1)^2 が因数となることが明らかだからです。
  • id:takahiro_kihara
    ゴメンなさい。僕は計算間違いしてました。
    コメントの通りです。
    僕のとpahooさんの回答は、本質的には同じものです。
    割る、というより、x ではなく (x-1)=X と置き換えて、
    X のべきで表してみよう、ということです。
    整式は、何もxのべき乗じゃなくて、
    定数分足したり引いたりしたもので表したって、
    最後に定数を足したり引いたりして調節すれば、結果は同じになるじゃないか、ということです。

    えーと、これ難しい言葉で、なんて言うんだったっけ…

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  • question:1205570307 しかし、これしきの算数(数学)が解けなくなる、とは、 オイラも落ちぶれたもんだ。 日頃使ってないんだから、まぁしゃーないか。 #今は、それより言語力を向上させた
「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

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