<問題>

2x^4+5x^3+6x^2+5x+2=0を解きなさい。
<解答例>
まず、両辺をx^2で割り、2(x^2+1/x^2)+5(x+1/x)+6=0を得る。
ここでx+1/x=tとおくと、2t^2+5t+2=0となる。これを解いてt=-2,-1/2。
x+1/x=tとおいたのだから、x^2+2x+1=0,2x^2+x+2=0とでき、これを解いて、
x=-1(重解),(-1±√15i)/4
<質問>
なぜx^2で割った方程式の解がそのまま元の方程式の解のすべてだと言えるのですか?
手落ちがないとどうして言えるのですか?教えてください。
<補足>上の<問題>で「解きなさい」としてありますが、手元の参考書では「解きなさい」と
明記はされてません。説明文中のもので、どうも「解く」という意味なのか、単に因数を求める
という意味なのか、実は判然としないのです。後者ならば、問題なく理解できるのですが、
前者の意味ならば、わからなくなります。

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  • 登録:2008/03/22 14:23:43
  • 終了:2008/03/22 14:56:29

ベストアンサー

id:yuki333zityo No.2

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/03/22 14:46:47

ポイント55pt

http://www.yahoo.co.jp/

まず、この問題は「解きなさい」ということで良いと思います。因数を見つけるのであれば、=0は必要ないからです。

まず、割る、という操作をしないで、考えてみましょう。

最初にx=0のとき、左辺=2、右辺=0となってしまうため、x≠0です。

さて、左辺をx^2でくくってみます。

2x^4+5x^3+6x^2+5x+2=x^2{2(x^2+1/x^2)+5(x+1/x)+6}・・・①

ただくくっただけですので、①式の左辺と右辺は等しいですよね。

つまり、x^2{2(x^2+1/x^2)+5(x+1/x)+6}=0を解け、といっているのと同じ事です。

左辺=0とするためには、x^2=0 または、{2(x^2+1/x^2)+5(x+1/x)+6}=0とならなければなりません。最初の段階でx≠0ということなので、{2(x^2+1/x^2)+5(x+1/x)+6}=0を考えればいいことになり、結果的に今回議題に上がっている式を、x^2で割ったものと等しくなります。だから、割って考えたものと、元の式を同じように考えてよい、ということなのですが、どうでしょうか。

もちろん、x等で割って考えてはいけないケースもあります。

x^3+2x^2+x=0

のようなケースです。x=0が解のときは、元の解の全てではなくなってしまいますね。まとめると、x=0以外のときは、両辺を同じもので割っても良い、ということです。

id:massa-will

うわー、すごい。わかりやすいです。一発でわかりました。ありがとうございます。

2008/03/22 14:53:10

その他の回答(1件)

id:fontmaster No.1

fontmaster回答回数94ベストアンサー獲得回数32008/03/22 14:38:15

ポイント15pt

なぜx^2で割った方程式の解がそのまま元の方程式の解のすべてだと言えるのですか?


X^2で割った時に値が不定になるのはX=0の時。

しかし、与えられた方程式にX=0を代入しても式は成立しないのでX≠0。

xは0でない実数であれば不定にならないので解は元の式と変わらない。


<補足>上の<問題>で「解きなさい」としてありますが、手元の参考書では「解きなさい」と

明記はされてません。説明文中のもので、どうも「解く」という意味なのか、単に因数を求める

という意味なのか、実は判然としないのです。後者ならば、問題なく理解できるのですが、

前者の意味ならば、わからなくなります。


左辺が式で右辺が定数(0)なのでこれは方程式

解けということは方程式の解を求めるのが普通。

因数を求める場合、与える式は方程式である必要は無い。

単に式を与えて因数を求めよとすればいいから。

id:yuki333zityo No.2

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/03/22 14:46:47ここでベストアンサー

ポイント55pt

http://www.yahoo.co.jp/

まず、この問題は「解きなさい」ということで良いと思います。因数を見つけるのであれば、=0は必要ないからです。

まず、割る、という操作をしないで、考えてみましょう。

最初にx=0のとき、左辺=2、右辺=0となってしまうため、x≠0です。

さて、左辺をx^2でくくってみます。

2x^4+5x^3+6x^2+5x+2=x^2{2(x^2+1/x^2)+5(x+1/x)+6}・・・①

ただくくっただけですので、①式の左辺と右辺は等しいですよね。

つまり、x^2{2(x^2+1/x^2)+5(x+1/x)+6}=0を解け、といっているのと同じ事です。

左辺=0とするためには、x^2=0 または、{2(x^2+1/x^2)+5(x+1/x)+6}=0とならなければなりません。最初の段階でx≠0ということなので、{2(x^2+1/x^2)+5(x+1/x)+6}=0を考えればいいことになり、結果的に今回議題に上がっている式を、x^2で割ったものと等しくなります。だから、割って考えたものと、元の式を同じように考えてよい、ということなのですが、どうでしょうか。

もちろん、x等で割って考えてはいけないケースもあります。

x^3+2x^2+x=0

のようなケースです。x=0が解のときは、元の解の全てではなくなってしまいますね。まとめると、x=0以外のときは、両辺を同じもので割っても良い、ということです。

id:massa-will

うわー、すごい。わかりやすいです。一発でわかりました。ありがとうございます。

2008/03/22 14:53:10

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