相談室の待ち行列理論の問題です。

相談件数は平均4件/60分 , 平均相談時間 14分/件 ,相談窓口 1個とすると、
待ち行列理論 M/M/1 によれば、相談窓口の使用率は 14分x4件/60分 = 93%
平均待ち時間 = 0.93/(1-0.93) x 14分 = 186分 となります。
待ち行列理論によると、このケースでの平均待ち時間は約3時間となるのですが、
あまりに長い時間なので、感覚的に違和感があります。どこか考え方が間違っていないか指摘お願いします。

1時間に約15分の相談を4件をこなすことができる相談員が1人いて、
1時間に4件の相談があるわけですから、いつもたいてい誰か1人が窓口で相談している状況は想像できます。
でも待たなくてはならないのはその1人くらいではないでしょうか?であれば 15分も待てば次には自分の番が来ると考えるのが自然です。つまり、待ち時間は 15分~せいぜい30分程度ならわかるのですが。平均待ち時間が3時間というのは想像できません。それでも理論は正しいのでしょうか? わたしが納得できそうな回答をお願いします。

回答の条件
  • URL必須
  • 1人3回まで
  • 登録:2008/04/14 22:56:22
  • 終了:2008/04/19 15:15:01

ベストアンサー

id:quintia No.4

quintia回答回数561ベストアンサー獲得回数702008/04/15 14:12:36

ポイント60pt

平均4件/60分

ある1時間を観測したときに4件の相談が来る確率は19.5%

5件 17.5%

6件 13.3%

7件 9.1%

8件 5.7%

9件 3.4%

:

:

という分布になります。(1件が1.5%, 2件が9%, 3件が16.8%)


4件/60分平均のポアソン分布を仮定したとき、60分あたり 4~9件くる確率が 68.5%、1~3件くる確率が 27.3% です。

このポアソン分布の感覚をまず感じ取りましょう。

60分あたりで8件や9件くる確率を足すと10%近くになっていることも注意です。

理想的なランダムさ(でたらめさ)で事象が起こることを仮定するのでこうなるわけです。


視覚化した方が楽なら、

http://www.ipc.shimane-u.ac.jp/food/kobayasi/poisson%20excel.htm

のμ=5の分布を眺めるのがいいんじゃないでしょうか。


ということで、今度は逆に、結果の"平均3時間"も日常的な感覚とは違うことを感じ取る必要があります。

ちょっと時間も割けないので数字は出せないのですが、ほとんどの相談者は1~2時間程度の待ち時間で終わっていて、ごくわずかの相談者が長時間待たされる、という感じの分布になるはずです。

この「長時間待たされたごくわずかの相談者」が平均を押し上げるのです。

ポアソン分布や待ち行列とは関係ありませんがこんなページ↓を見ると、"平均"の感覚の日常とのズレがぼんやりと分かるんじゃないでしょうか?

http://allabout.co.jp/finance/moneysingle/closeup/CU20040202/ind...


ちょっと話変わって。

待ち行列で、ρ=1の時、つまり平均到着率と平均サービス率が等しい時"平均の待ち行列長"は収束せずに無限大に発散します。

これはつまり、ある1時間を観察したときにどのぐらい待ち行列があるのか「全然予測できない」と解釈すればいいです。

似たような感じで、ρ≒1に近い仮定で分布図を書くと、すごく小さい値の線が、X軸にへばりついたように長く伸びます。

これも、どのぐらいの待ち行列長があっても不思議じゃない、どんな長さの待ち行列も同じぐらいの少ない確率で発生しうる、と解釈できます。


また話を戻すと、質問の"平均3時間"もグラフにすると、3時間の左側に山があるけれども、3時間の右側に"確率は低いが幅が広い帯"があるような雰囲気です。


待ち行列理論の"平均3時間"が、日常的な"平均3時間"の感覚と食い違っているイメージを書いてみたつもりですがいかがでしょうか。

id:BAZZ

このような回答を期待していました。

たいへん理解に役立ちました。

実稼動しているコンピュータシステムの応答時間を観察すると、

よく、平均の数倍もの応答時間を示すトランザクションを発見する場合があります。

そういったとき、そのトランザクションは例外値/特異値などとして扱い、

平均値算出に組み入れませんでした。本来は例外値ではないのかもしれませんね。

また、運用目標として95%タイルの平均値や最大値を目標サービスレベルとして設定します。しかしながら、システムのキャパシティ設計を行う場合には、

95%タイルなどとは言わずに、M/M/1 にしたがって設計しています。

つまり、運用目標に対して余裕を持った設計にしているわけですね。

これが、どの程度のバッファーになるのかもう少し詳しく勉強したい

と思います。

2008/04/15 14:44:34

その他の回答(3件)

id:ken33jp No.1

ken33jp回答回数928ベストアンサー獲得回数132008/04/14 23:55:33

ポイント5pt

病院を想定します。

1人10分検診+5分がロスタイムで平均一人15分かかるとします。

で、待ち時間は、3時間でしょうね。

人気のあるところは、もっと待たないと見てもらえないです。

http://q.hatena.ne.jp/answer

id:BAZZ

私の経験した病院での長い待ち時間を想像しても、先生は2人で、10分/件で診察して

いました。私の到着した時に既に10名ほど待ちがありましたが、40-50分の待ち

時間でした。やはり3時間には程遠いと感じます。

ken33jp さんは、3時間待った経験があるのでしょうか? 

是非とも、その状況を私も実感したいので、

4件/時間の訪問頻度であるという前提で、

もう少し詳しく状況を描写して教えてください。

2008/04/15 02:04:12
id:khoshi3 No.2

khoshi3回答回数71ベストアンサー獲得回数122008/04/15 04:31:09

ポイント10pt

腎臓結石ですげー痛いのに、予約無しのため、予約ありで朝イチから待ってるとても元気そうなご年配の方々20人くらいが優先で、先生3人、平均診察時間10分程度で、診察まで70分以上必死で痛いの堪えて待ってた経験のあるオイラがきましたよ。

…すみません、以下本題です。


あくまで待ち時間の平均値、理論上の計算なので、利用率ρ=0.933…など、ρ=1に近い場合は、現実としては想像し難い値にはなりそうな気がします。

平均到着間隔Ta= 15分, 平均サービス時間Ts=14分でなく、サービス時間が1分伸びて、Ta=Ts=15分であれば、利用率ρ=1で、待ち行列長L = ∞、平均待ち時間W = ∞ですよね。Ta<=Tsであれば窓口はさばき切れずサービス不能ってことです。

想像し難い原因としては、理論値 と 現実世界で実在する待ち行列とでは、以下の点で遊離があるからではないかと思います。(特に1行目):

  • 窓口は普通は営業時間があり、営業開始直後はL=0なので、そうそう平均待ち時間W = ∞ には近づかない
  • 窓口がn個あると M/M/nモデルになり、平均待ち時間W がかなり減る
  • そもそも行列長Lが長すぎたら、あきらめて帰る人、混んでる時間帯をずらして来る人もいるかも…

到着頻度などをポアソン分布としてシミュレーションプログラムを書いて走らせると、ちゃんと理論値に近くなると思います。

首都圏で架線故障とか人身事故とか強風とかで、主要通勤路線が2,3本止まると、振り替え輸送の他社路線を含め、ホーム・改札にすごい行列ができるのを想像すると、ρ=1に近い場合も納得できそうな気が(個人的には)します。

id:BAZZ

なるほど。

ρ=1 に近い場合は想像しにくいとのことですが、

おっしゃるようなポアソン分布で、平均 4件/時間 のばらつきの

度合いがどの程度かで想像できそうな気がしてきました。

たとえば、9時の開店で、24件/時間 のお客さんが来たとします。

しかし、その後 10時~15時までは 0件/時間 だったとすると、24件目のお客さん

へのサービスが終了するのは15時になり、6時間待ったことになります。

この24名の平均待ち時間は約3時間ですね。

ポアソン分布というのは、平均4件/時間 という前提から、ピーク時6倍の

要求まで考慮たバラツキと考えることは正しいですか?

2008/04/15 14:13:11
id:tera-p No.3

tera-p回答回数92ベストアンサー獲得回数212008/04/15 06:24:01

ポイント20pt

違和感の原因は,(待ち行列理論の)相談時間と到達間隔には「ばらつき」があることによるのだと思います.

もし,相談時間が14分きっかりで,お客さんの到達感覚もきっちり15分ごと,という状況を想定すると,お客さんは全く待つ必要はありません.

しかし,待ち行列理論では,

  • 客の到達間隔はポアソン分布に従う
  • 相談時間(処理に要する時間)は指数分布に従う

という前提でモデルが組み立てられているので,実際には両方とも(直感よりかなり大きい)ばらつきがあります.たとえば,到達間隔がきっちり15分ごとであったとしても,相談時間のほうにばらつきがあって,たまたま最初のお客さんの相談が1時間くらいかかってしまったとしたら,そのあと何人も待たされてしまいそうになるのは想像できますよね.また,お客さんのほうも数珠繋ぎになってやってきたり,しばらくの間全然お客さんがこなかったりします.忙しかったと思えば,閑古鳥が鳴いたりします.

すなわち,平均待ち時間が3時間だからといって,だいたいすべてのお客さんが3時間待つ,というお話ではなく,ばらつきによって待ち行列は伸びたり縮んでなくなったりします.全く待たないお客さんもいれば(サービス利用率が93%であれば,7%のお客さんは全く待たずに済みます),4時間以上,5時間以上待つお客さんもいることになります.ここらへんについては,乱数表などをつかって紙と鉛筆で上記の待ち行列をシミュレーションしてみると(とても簡単です)感覚的にもわかりやすいかな,と思います.

というわけで,モデル上の待ち時間が直感よりも長く感じるのは,この「ばらつき」に対する感覚が,モデルが仮定するより「理想的」な状態を想像してしまっているためではないかな,と想像します(私も直感的には「そんなに待たずに済みそうなのに」と思います).実際の生活でも,あまりに混んでいたらお客さんはあきらめて帰ってしまったりするので,モデルより平均待ち時間は短くなったりしますし.

なお,以下のURLは今まで私が見た中で最もわかりやすいと思われる待ち行列の説明です.

http://www.objectclub.jp/technicaldoc/monkey/s_wait

id:quintia No.4

quintia回答回数561ベストアンサー獲得回数702008/04/15 14:12:36ここでベストアンサー

ポイント60pt

平均4件/60分

ある1時間を観測したときに4件の相談が来る確率は19.5%

5件 17.5%

6件 13.3%

7件 9.1%

8件 5.7%

9件 3.4%

:

:

という分布になります。(1件が1.5%, 2件が9%, 3件が16.8%)


4件/60分平均のポアソン分布を仮定したとき、60分あたり 4~9件くる確率が 68.5%、1~3件くる確率が 27.3% です。

このポアソン分布の感覚をまず感じ取りましょう。

60分あたりで8件や9件くる確率を足すと10%近くになっていることも注意です。

理想的なランダムさ(でたらめさ)で事象が起こることを仮定するのでこうなるわけです。


視覚化した方が楽なら、

http://www.ipc.shimane-u.ac.jp/food/kobayasi/poisson%20excel.htm

のμ=5の分布を眺めるのがいいんじゃないでしょうか。


ということで、今度は逆に、結果の"平均3時間"も日常的な感覚とは違うことを感じ取る必要があります。

ちょっと時間も割けないので数字は出せないのですが、ほとんどの相談者は1~2時間程度の待ち時間で終わっていて、ごくわずかの相談者が長時間待たされる、という感じの分布になるはずです。

この「長時間待たされたごくわずかの相談者」が平均を押し上げるのです。

ポアソン分布や待ち行列とは関係ありませんがこんなページ↓を見ると、"平均"の感覚の日常とのズレがぼんやりと分かるんじゃないでしょうか?

http://allabout.co.jp/finance/moneysingle/closeup/CU20040202/ind...


ちょっと話変わって。

待ち行列で、ρ=1の時、つまり平均到着率と平均サービス率が等しい時"平均の待ち行列長"は収束せずに無限大に発散します。

これはつまり、ある1時間を観察したときにどのぐらい待ち行列があるのか「全然予測できない」と解釈すればいいです。

似たような感じで、ρ≒1に近い仮定で分布図を書くと、すごく小さい値の線が、X軸にへばりついたように長く伸びます。

これも、どのぐらいの待ち行列長があっても不思議じゃない、どんな長さの待ち行列も同じぐらいの少ない確率で発生しうる、と解釈できます。


また話を戻すと、質問の"平均3時間"もグラフにすると、3時間の左側に山があるけれども、3時間の右側に"確率は低いが幅が広い帯"があるような雰囲気です。


待ち行列理論の"平均3時間"が、日常的な"平均3時間"の感覚と食い違っているイメージを書いてみたつもりですがいかがでしょうか。

id:BAZZ

このような回答を期待していました。

たいへん理解に役立ちました。

実稼動しているコンピュータシステムの応答時間を観察すると、

よく、平均の数倍もの応答時間を示すトランザクションを発見する場合があります。

そういったとき、そのトランザクションは例外値/特異値などとして扱い、

平均値算出に組み入れませんでした。本来は例外値ではないのかもしれませんね。

また、運用目標として95%タイルの平均値や最大値を目標サービスレベルとして設定します。しかしながら、システムのキャパシティ設計を行う場合には、

95%タイルなどとは言わずに、M/M/1 にしたがって設計しています。

つまり、運用目標に対して余裕を持った設計にしているわけですね。

これが、どの程度のバッファーになるのかもう少し詳しく勉強したい

と思います。

2008/04/15 14:44:34
  • id:ita
    ρ=1の場合で考えるといいかも。
    処理が15分以内で終わるのと15分以上かかるのと50%ずつの確率とすると、
    15分ごとに行列が一人長くなったり短くなったりします。ずーーーっと時間がたつとすごく長くなる可能性もあります。N人処理した後はだいたい√N人の行列になります。このとき到着しちゃうとすごく待たされます。
  • id:ken33jp
    先生は2人で、10分/件で診察して
    あの、先生は1人でないと問題文と想定がぜんぜん違いますけど。
  • id:BAZZ
    問題文と違う場面しか経験が無いので、質問しています。
  • id:quintia
    > 実稼動しているコンピュータシステムの応答時間を観察すると、
    > よく、平均の数倍もの応答時間を示すトランザクションを発見する場合があります。
    > そういったとき、そのトランザクションは例外値/特異値などとして扱い、
    これは難しいですね。
    数学モデル上は「真にランダム」なので、平均よりもずっと大きい値がごくごく小さい確率で発生しうるわけですが。

    コンピュータシステムの振る舞いを考える時は、数学上のモデルに「従うと仮定」しているわけで……。
    何か原因があって発生しているのか、数学上のモデルに従っているのかの判断は大変そうです。

    そもそも、マルチタスキングでのリソースの配分なんかも待ち行列理論で扱われるモデルを基にしているわけですし。
  • id:finky
    待ち行列で行列が増えるというのは、「平均到着間隔」と「待ち時間とサービス時間」との
    関係にあることだと思います。

    サービス率50%、待ち数が1の状態では、サービス時間と待ち時間が同じ状態と
    みなせるので列が増えることはないということですが、
    それ以上になると、後ろの人は前の人の分も待たなくてはいけないわけです。

    すなわち、列が長くなればなるほど、待つ時間が累積して長くなり、計算されたとおりの
    長い時間またさせるという結果になるということになると思うのですが…。
  • id:BAZZ
    finky さんコメントありがとうございます。
    ポアソン分布=自然現象は、私の今までの感覚以上にバラツキが大きい、
    確率分布図で言えば、かなりなだらかな山であることが分かりました。
    その場合の長い待ち時間も当然であることが、数字的にはっきり
    シミュレーションで確認きました。ありがとうございます。


  • id:khoshi3
    遅くなりましたがちょっと補足いたします。(長文で失礼します)

    「ポアソン分布の関数の値は確率である」ということがポイントです。
    quintiaさんの回答のおかげでExcelにポアソン分布関数があることを思い出しましたので、ちょっと計算してみました。

    単位時間当たりの平均到着件数μで、到着がポアソン分布に従う場合、

    1時間あたり n件到着する確率 = POISSON(n, 4, false) = ポアソン分布の変数x に対する確率密度 f(x,λ)
    1時間のうち、到着する件数がn件以下である確率 = POISSON(n, 4, true) = ポアソン分布の下側累積確率 P(x,λ)

    なので、平均到着件数λ=4の場合、
    1時間の到着件数が8件を超えない(=ピーク時2倍で収まる)確率 = POISSON(8, 4, true) = 0.978636566
    1時間の到着件数が12件を超えない(=ピーク時3倍で収まる)確率 = P(12,4, true) = 0.999726283

    というわけで、24時間窓口の場合でも
    1時間の到着件数が12件を超える(9件以上来る)のは、P(x=8,λ=4)*24(hour)*365.2422(day)= 1年に2.4回、
    つまり「1年に2.4回くらいは平均値の3倍(=ピーク時3倍)の客が来る」みたいにポアソン分布を利用することができます。

    ちなみに

    >たとえば、9時の開店で、24件/時間 のお客さんが来たとします。
    >(中略します)
    >この24名の平均待ち時間は約3時間ですね。
    >ポアソン分布というのは、平均4件/時間 という前提から、ピーク時6倍の
    >要求まで考慮たバラツキと考えることは正しいですか?

    1時間に24件以上来ることがある確率は、0.9999999999984306862186 で
    =POISSON(24, 4,TRUE) => 8.30914E-12 で、1155万年に1回(!)起こることになります。(本当かなぁ?)

    (あくまで到着がポアソン分布に従う場合です。
    例えば、銀行の窓口のお昼付近とか、交差点の車の数とか、たいていは偏りがありランダムではないことが多いですが。)

    以下のようなグラフを出してくれるサイトも見つけましたのでご紹介しておきます。:
    - 高精度計算サイト ポアソン分布の計算:
    http://has10.casio.co.jp/has10/Menu.cgi?path=07000000%2e%93%9d%8cv%8a%d6%90%94%2f01017000%2e%83%7c%83A%83%5c%83%93%95%aa%95z

この質問への反応(ブックマークコメント)

トラックバック

  • prima materia - diary - ꇖ쪿뛑ꇗ꓎꓈뢸쇛 prima materia - diary 2008-04-19 00:08:49
    待ち行列理論の"平均3時間"が、日常的な"平均3時間"の感覚と食い違っているイメージを書いてみたつもりですが などと書いてみたが実は言葉の綾で"日常的な平均"なんてものがそもそも
「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません