任意の有限数列が、πを小数展開した時に、現れるかどうかを判定、あるいは、証明する事は出来ますか。

または、πを展開した数列には、決して現れない有限の長さの数列を構成できますか(または存在を証明できますか)?
錯誤や思いっ切り間違った答えは、ご遠慮願いたいのですが、ある程度の段階のアイデアは歓迎します。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/04/25 13:36:24
  • 終了:2008/05/02 13:40:02

回答(4件)

id:quintia No.1

quintia回答回数562ベストアンサー獲得回数712008/04/25 13:57:51

ポイント13pt

日本評論社数学セミナー2007年7月号

http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss0707.htm

の「サイエンスライブショー/Sound of Science 驚異の数π」という記事の最後の方に、「πが任意の有限数列を含む数であるという可能性がでてきた」という旨の記載がありました。

図書館で蔵書しているところは探してご覧ください。


半年以上経っているのでそこから進展しているのか分かりませんが、現代でもその命題は数学の最先端のようなので、ここの回答欄ではとても解説できるものではないと思います。

id:hengsu

ありがとうございます。

http://q.hatena.ne.jp/1045234404

で未解決らしかったのをさっき見つけました。

実は、似たような発想ですが、確率論(というか、チャイティンのアルゴリズム的情報論かな。ボレルか!)から考えると、そういう確率がゼロとすると、矛盾すると思うので、気になってます。

もう少し待ってます。

2008/04/25 18:32:52
id:ken33jp No.2

ken33jp回答回数928ベストアンサー獲得回数132008/04/25 19:41:13

ポイント26pt

2進数で考えてください。

id:hengsu

与えられた任意の有限数列が含まれるかどうか、2進数展開なら、01の任意のパターンが現れるかどうかなので、全く自明ではありません。残念。

2008/04/26 01:29:44
id:yamadakouzi No.3

yamadakouzi回答回数296ベストアンサー獲得回数62008/04/25 23:42:39

ポイント26pt

まだ未解決なようで、簡単ではないと思いますが、「背理法」を使って証明する手があります。

①「任意の有限数列が、πを小数展開した時に、現れない」と仮定とすれば矛盾が起これば・・・現れる事の証明になるし、②「πを展開した数列には、決して現れない有限の長さの数列を構成できない」と仮定すれば矛盾が起これば・・・構成できる証明が出来たことになります。

また元の命題のどちらか一方が証明できれば他方は否定された事になりますね。

id:hengsu

そうなんですが。1の背理が違ってませんか。決してπの少数展開に現れない有限数列があると仮定では?というか、回答1へのコメントと同値ですね。

2008/04/26 01:33:48
id:ita No.4

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482008/04/28 17:00:47

ポイント25pt

逆に、ある実数rについて、絶対でてこない並びの集合についてその桁数の最小値をN(r)とかおくと、

これが計算の複雑さと結び付いてる気がします。前のn桁の値を見れば次の桁が計算できる、

というような数の場合は N(r)=10^n になりそうです。それでパターンが尽きちゃうんで。

πの場合かりにN(π)≠∞だった場合、N(π)はなにか重大な意味を持ちそうです。

チャイティン読んでみます。

id:hengsu

こういう発想を待ってました。なにげに、チャイティンのΩに近い定義です、それ。

2008/04/28 17:33:03
  • id:hengsu
    そういえば、http://www.angio.net/pi/piquery.html で力技がありました。証明が欲しいですね。
  • id:ita
    この性質はNormalityというようですね。
    http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html

    √nの二進数展開でようやく証明らしきのが出たけど怪しく、
    それ以外は全く未解決のようですね。
  • id:hengsu
    ボレルの正則数の証明は、πには出ていなかったような。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/04/26 22:34:27
    すみません、言葉が不正確だった様です。①「任意の有限数列が、現れない」と言うのは特定の「任意の有限数列が、現れない」と言うことでなく、あらゆる「任意の有限数列が、現れない」と書くべきでした。でもそんなことはありえないですね。「全ての有限数列が現れない」と同値になりますものね。

    ===>浅墓でした。 お詫びいたします。
  • id:uunfo
    現れない有限数列があったとしてもまったく不思議じゃないですもんね。
    さらにそういう有限数列が加算無限個あったとしても。
  • id:hengsu
    そうなんです。itaさんのコメントにあるように、そういう性質を満たす数があるとは思いますが、特定するのは至難の業らしいです。ボレルの正則数の議論を、チャイティンの本で読んでから、色々探したのですが、結局、理解不能になりました。
    それから、気軽に、アイデアを述べてください。
    面白ければ、ポイントを差し上げたいと思います。
    (5/1は私用があって、一日中ネットから切り離される恐れがあるので、やむを得ず、5/1で自動的に終わってしまうかもしれません)
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/04/29 12:42:53
    このような高次元の問題に、こういう低次元の発想は通用しないでしょうが、unnfoさんがのコメントの内容の事例は実際あるのですね。(今までに無かった無理数は簡単に作れる)と言う一文を読んだことがありますが。たとえば(10進数で)1.010010001000010000・・・・・(0が1つずつふえる)のような無理数を考えた時、ここには11とか222とか12345とかいう有限数列は決して現れないし、そう言う有限数列はいくらでも作れる事は簡単に考えられる。と言うことはπは無限の長さだけれど、その無限の長さに決して現れない有限数列があっても不思議ではない、当然無限に(ゴキブリ理論・・1つ発見すればまだ有るだろう?)あると言える(かも)・・・可算かどうかはわかりませんが。
    オイラーが「ケーニヒスベルクの七つの橋」問題を「一筆書き」の「奇数点数」までに分りやすくした方法が見つかればいいのですが。
    「小学生でも分る高等数学」の入り口を捜している私です。

    証明に程遠い「よた話」ですみませんでした。
    フェルマーの定理の証明みたいにならない事を祈ります。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/04/29 13:00:25
    すみません、問題は「任意の有限数列が、・・・・」でしたね、また問題の本質を忘れて(すり替えて)しまいました。πの展開数列の中に「存在しない有限数列が無限個有る事」を証明しても設問は解決したことにならないのですね。
  • id:ita
    あるN桁の数列が出ないとすると、それを何個か並べて間に適当な
    数字を挟んだものも出てこなくて、その種類は無限に作れますね。

    ナベアツを考えると分かりますが、たとえばn桁の数が「3を含まない確率」は
    (9/10)^nで、桁数が多くなると0に近づいていきます。
    同じように上記N桁の数列を含まないという確率はNのM倍の桁数の数字の場合
    (1-10^{-N})^M 以下になり、Mが大きくなると非常にゆっくりですが0に
    近づいていきます。したがって任意の並びが含まれるか考えると、
    N桁以下なら100%出るけど、Nよりはるかに桁の大きい並びは出てこない
    確率が大きくなります。πに小説が含まれるか調べる場合、星新一は
    含まれるけどグインサーガは含まれない、みたいな。
  • id:hengsu
    作れる程度の数(濃度)の無理数って、加算無限程度じゃないでしょうか。[0, 1)にある有理数って、(当たり前ですが)ルベーグ測度0しかありません。つまり、ほとんど無い状態です。無理数で一杯なのです。名指す事の出来ないほど沢山ある訳ですので、πに迫るには武器が足りない感じですね。
  • id:uunfo
    >yamadakouzi さん
    対角線論法ですね。面白いですよね。

    >hengsuさん
    itaさんが最初の2行で言っているのは有限数列のことなんじゃないかと思います。なので、必然的に加算無限個です。

    >itaさん
    趣旨を取り違えているかもしれませんが、Mが大きくなれば頻度が0に近づいていくのは自明で、問題は他のN桁の有限数列の頻度と同じ値に収束していくのかと言うことだと思います。


    http://ja.wikipedia.org/wiki/正規数 を読みましたが、質問の内容とπが10進正規であるかどうかは少しだけずれますね。
    - ある有限数列がπの10進展開に現れない
    - ある有限数列がπの10進展開に有限回だけ現れる
    のどちらの場合でも「πは10進正規ではない」です。

    しかし、正規性って単純なようで単純ではないですね。
    r進正規だからといってs進正規とは限らないとか。
    No. 2の回答のように2進展開の場合を考えれば十分だと思っていました。

    とっかかりすらわかりません。あるようでない。
  • id:hengsu
    自動で終わってしまいました。
    どうも配分が均等でなかったようで(質問者として)不満ですが、この次を考えてますので、ご容赦ください。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/05/18 01:19:00
    笑い話として、読み流してください。

    任意の有限数列が、絶対現れる、無限数列を考えました。(一応10進数の例で)
    0.1234567890102030405・・・99001002003・・・99900010002・・・99990000100002・・・
    のように0から9まで、次は01から99まで、つぎは001から999まで のように次々と桁数の大きくなる数字を繫いだ無限数列(冗長になる部分もありますが)
    12345678910111213141516171819202122・・・のように1から順にカウントアップした数を繫いでも出来ますね(自明ですね)
  • id:arajin
    http://q.hatena.ne.jp/1045234404
  • id:takahiro4
    ありうれないですね。11・・・という数列を含んでいないので?おそらくw矛盾した問いですね。
    この問題ってまさしく、証明不能問題ですね。というか桁数を指定すれば、問題として成立しますが。

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