xy平面において、原点の周りにx軸から角α回転した直線lがある。lに関する対称移動は

1)原点の周りの角-αの回転
2)x軸に関する対称移動
3)原点の周りの角αの回転
の合成であることを示し、それを利用してlに関する対称移動を表す行列を求めよ。
<解答例>
移動1)によってlはx軸に重なる。このとき、移動2)はx軸に重なったlに関する対称移動である。
lを元の位置に戻すために移動3)を行えばよい。つまり、1)2)3)の合成はlに関する対称移動
である。・・・(ア)(過程は略して)求める行列は、
(cosα -sinα sinα cosα)(1 0 0 -1)(cosα sinα -sinα cosα)
=(cos2α sin2α sin2α -cos2α)(すべて正方行列としてみてください)
<質問>(ア)がうまく飲み込めません。意味をわかりやすく教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/04/26 11:05:37
  • 終了:2008/04/27 00:27:00

回答(3件)

id:ita No.1

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472008/04/26 15:22:37

ポイント10pt

1)原点の周りの角-αの回転

2)x軸に関する対称移動

3)原点の周りの角αの回転

は、行列を使って、二次元のベクトルにそれぞれ

A1=(cosα sinα -sinα cosα)

A2=(1 0 0 -1)

A3=(cosα -sinα sinα cosα)

を「左から」かけることで表現できます。(というか、そういうように決めてある)

点を1)で変換し、変換した点をさらに2)で変換、それをさらに3)で変換したものが答えです。

行列を使うと、

ベクトルvにまずA1をかけ、 =A1v

そのこたえにA2をかけ、=A2(A1v)

その答えにA3をかけます。=A3(A2(A1v))

これは3つの行列の積A3A2A1をvにかけるのと同じです。

id:massa-will

説明不足で、質問の意味がわかりにくかったのかもしれません。すみません。

2008/04/27 00:22:38
id:yuki333zityo No.2

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/04/26 15:56:27

ポイント45pt

点、(s,t)を直線lについて対称移動させる場合を考えます。

原点を中心に回転移動というのは、グラフ全体をグルっと回転させることを言います。当然回転移動をしても、点(s,t)と直線lの距離は変わりません。また、ある点と、他のある点の距離も変わりません。日本地図で北海道と沖縄の距離を定規で測ったら15cmであったとき、この日本地図を両手で回転させて逆さまにしたとき、北海道と沖縄の距離を定規で測っても当然15cmですよね。それと同じです。つまり、回転移動というのはグラフ全体を動かしますが、点と点の位置関係、点と直線の位置関係は変わりません。このことをふまえて考えていきます。

直線や曲線というのは点の集まりです。例えば、方程式y=xを満たす全ての点(x,y)の組を、グラフ上に集めたものが直線y=xです。このように、数学では直線を点の集まりとみなします。

x軸、つまり直線y=0も点の集まりです。x軸上の全ての点を、角α回転移動させた点の集まりが直線lです。直線y=0をα回転移動させたものが直線lなのですから、その直線lを、-α回転移動させれば直線y=0に戻ります。行列で表せば(cosα -sinα sinα cosα)(cosα sinα -sinα cosα)=(1 0 0 1)となります。単位行列をかけても、座標は変化しませんからね。これが、移動1で直線lはx軸に重なる、という文の意味です。x軸上の点全てを移動させたものを元の状態に戻した、ということを言いたいのです。

移動1により、直線lはx軸に重なりましたが、点(s,t)も同時に移動します。直線lとの距離は変えずにです。移動後の点を(s1,t1)とします。

さて、ここで移動2で、グラフ上の点を、x軸に関する対称移動をします。当然この移動では、x軸に重なっている直線lは変化しませんが、点(s1,t1)はx軸(直線l)に関して対称移動します。対称移動後の点を(s2,t2)とします。このとき、点(s1,t1)と(s2,t2)はx軸(直線l)に関して対称です。

最後に移動3をすることにより、x軸と重なっている直線l上の全ての点は、元の位置に戻ります。当然、この回転で点(s1,t1)は(s,t)に移動します。点(s2,t2)も移動します。ここで、この移動は回転移動ですから、点と点、点と直線の位置関係というのは変化しません。よって、点(s1,t1)と点(s2,t2)は直線lに対称という位置関係を保ちながら回転移動します。

よって、最終的に点(s,t)と点(s2,t2)は直線lに関して対称である。つまり、移動1~3により、点(s,t)は直線lに関して対称な点に移動される。ということです。

ごめんなさい、めちゃくちゃわかりにくいですm(__)m

id:massa-will

いえ、とんでもないことです。

イメージがつかめて、よくわかりました。

ありがとうございます。

2008/04/27 00:17:38
id:bluepanda No.3

bluepanda回答回数63ベストアンサー獲得回数32008/04/26 22:31:43

ポイント25pt

移動前の点(仮に点P1とします)と直線lとを固定した、一枚の紙を想定します。


その紙を原点に対して、-α回転させると、直線lはx軸に重なります。

そのとき、点P1も原点に対して、-α回転・・・移動1


その点P1をx軸(直線l)に対して対称移動・・・移動2

移動後の点をP2とする。


そして、その紙を原点に対してα回転

そのとき、点P2も原点に対して、α回転・・・移動3

それが求める点となる。


という解釈かと思います。


つまり、(ア)の説明は、

(移動後の座標)=(移動3の行列)(移動2の行列)(移動1の行列)(移動前の座標)

ということになります。

id:massa-will

簡潔なだけに、ポイントがよくわかりました。ありがとうございます。

2008/04/27 00:18:36

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