サンクトペテルブルクのパラドックス

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%9A%E3%83%86%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

が理解できません。
これは数学上の整合性がとれない事を、「ベルヌーイは、主観的価値とでも言える「効用」を定義して、このパラドックスを回避した。」というように対応したのだと、解釈したのですが、
そもそもなぜ数式の見直しを行わないのでしょうか?

これが負けのないギャンブルだとしたら、直感的にも理解できるので、
前提となっているのは、賭け金を没収されるケースのないギャンブルという事なのかな?と疑ってもみたのですが、だとしたら今度は数学的なパラドックスが発生する理由が分からなくなります。

なお私は数学に非常に弱いので、難しい解説はわかりません。
できるだけ国語的表現でご対応いただけると助かります。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2008/05/02 10:15:01
  • 終了:2008/05/03 07:15:10

ベストアンサー

id:ita No.2

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482008/05/02 13:23:51

ポイント35pt

「数学上の整合性がとれない」わけではないので、「数式の見直し」は行わない、ということになるでしょうか。

平均値の計算は間違っていません。でも人がギャンブルをする時は平均値だけで判断するわけではない、ということを示すための例だと思います。

何度も繰り返し賭けることができるならば、損得は期待値に近付いていきますが、全財産を賭けて一度だけ、という場合は平均値はあまり参考になりません。

たとえば勝てば1億10円もらえるけど、負ければ1億円払う、というゲームはやる人いないと思います。平均がプラスというだけでは「負けない」という保証はないのです。

たとえばアメリカの Deal or No Deal という番組では、確率1/4 で一億円もらえるけど(外れると1円とか)、いま降りれば確実に2000万円もらえる、という状況でも多くの人が降ります。

id:redriver

挙げていただいた2例ならば納得ができるのです。

期待値がプラスでも、「ベルヌーイの効用」によって説明がつきますので。

わからないのはこのギャンブルがどうして期待値がプラスになるの?or

このギャンブルって負けるケースがないんだから、効用なんて持ち出す必要ないんじゃない?

という事なんです。

私の意図がちゃんと伝わっているのか不安です・・・。

2008/05/03 07:09:05

その他の回答(1件)

id:quintia No.1

quintia回答回数562ベストアンサー獲得回数712008/05/02 11:49:27

ポイント35pt

「これからこういうゲームをするけど、ゲームの参加料は△△円だ」と胴元が言うわけです。

そのゲームに分があるならプレイするし、分がないならプレイしない、というのが理性的な態度です。

そうすると、その「△△円」と「ゲームの結果としてもらえるお金の期待値」をプレイヤーは比較して、分がある、分がない、を判断するだろう。


というのがこの問題。

この様に言い換えると分かりやすいかと。したがって「負けのないギャンブル」ではありません。


さて、数学的にはこのゲームで得られるお金の期待値は無限大に発散してしまいます。そのため、△△円が100円だろうと、1000万円だろうと「プレイする価値がある」ということになってしまいます。

しかし現実には、

1/2の確率で1円、1/4の確率で2円、1/1024の確率で512円の賞金が得られるに過ぎない

ので、直観と数学的な計算結果が矛盾する。故にパラドックスである、というわけです。


私が簡単に考えると、「ゲームで得られるお金の期待値は無限大に発散する」という事実は、「胴元が設定するべき△△円に妥当な金額がない」と捉えればいいんじゃないかと思いました。

  • 金額が低ければ胴元が高確率で損をする
  • 半端に高いと胴元が大損や破産する可能性が出てくる
  • あまりに高いとだれもプレイしない

ということじゃないんでしょうか??

id:redriver

期待値というのは、賭け金を失う確率や失う金額を勘案して、計算するものではないのでしょうか?

たとえば今回のケースで、賭けに負けても失うのは賭け金の半分で済むという条件が加わると、最適戦略は変わるはずですが、この数式に乗っ取ると計算結果はおそらく変わらないのですよね。

であるならば、そもそもこの数式が間違ってんじゃないの?と思ってしまうのですが・・・。

それからこのギャンブルは表が出るまで、コインを投げ続けるのですよね。

ではどうやったら負けられるんでしょうか。

たとえば最初の投擲で表が出れば1円トクする、裏が出たらもう一度コインを投げるという事でしょう?

そうすると賭け金を没収されるケースは一体・・・。

2008/05/02 13:14:10
id:ita No.2

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482008/05/02 13:23:51ここでベストアンサー

ポイント35pt

「数学上の整合性がとれない」わけではないので、「数式の見直し」は行わない、ということになるでしょうか。

平均値の計算は間違っていません。でも人がギャンブルをする時は平均値だけで判断するわけではない、ということを示すための例だと思います。

何度も繰り返し賭けることができるならば、損得は期待値に近付いていきますが、全財産を賭けて一度だけ、という場合は平均値はあまり参考になりません。

たとえば勝てば1億10円もらえるけど、負ければ1億円払う、というゲームはやる人いないと思います。平均がプラスというだけでは「負けない」という保証はないのです。

たとえばアメリカの Deal or No Deal という番組では、確率1/4 で一億円もらえるけど(外れると1円とか)、いま降りれば確実に2000万円もらえる、という状況でも多くの人が降ります。

id:redriver

挙げていただいた2例ならば納得ができるのです。

期待値がプラスでも、「ベルヌーイの効用」によって説明がつきますので。

わからないのはこのギャンブルがどうして期待値がプラスになるの?or

このギャンブルって負けるケースがないんだから、効用なんて持ち出す必要ないんじゃない?

という事なんです。

私の意図がちゃんと伝わっているのか不安です・・・。

2008/05/03 07:09:05
  • id:ita
    >そうすると賭け金を没収されるケースは一体・・・。

    参加料が100円の場合:
    1回で表:-100+1=99円の損
    2回で表:-100+2=98円の損
    3回で表:-100+4=96円の損
    4回で表:-100+8=92円の損
    5回で表:-100+16=84円の損
    6回で表:-100+32=68円の損
    7回で表:-100+64=36円の損
    8回で表:-100+128=28円の得
    9回で表:-100+256=156円の得
    ...
    という感じです。
  • id:quintia
    払うのは"賭け金"じゃないですよ。"ゲームへの参加料"ですよ。
  • id:redriver
    わかった!
    わかりました!
    そうか表は出るのが先送りになっている限り「参加料」は没収されないんですね。
    根本的に問題の意図を勘違いしていたようです。
    これなら数式の意味も直感的に理解できます。
    ありがとうございましたー。

    というわけで、コメント欄で解決してしまいましたが、itaさんにいるかを進呈。

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