「log(x^2-2x)=log(3x-4)(底は2です)を満たすxの値を求めよ」という問題で、真数条件として、x^2-2x>0かつ3x-4>0を考える代わりに、x^2-2x=3x-4のもとでは3x-4>0だけでもいいと一瞬で見抜くための着眼点を教えてください。手元の参考書では、類題として、log(x+2)+log(x-5)=3(底は2です)やlog(6-x)+2logx=0(第1項の底は1/3,第2項の底は3です)なども同様の解き方がされています。よろしくお願いします。

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  • 1人2回まで
  • 登録:2008/05/05 11:51:38
  • 終了:2008/05/06 14:58:19

ベストアンサー

id:yuki333zityo No.4

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/05/06 00:50:19

ポイント80pt

確かに、x^2-2x=3x-4のもとでは、3x-4>0だけを考えれば良いというのはあっています。ただし、これは真数条件ではありません。真数条件を考えるのなら、x^2-2x>0も考慮しなくてはなりません。理由は1番の人が書かれたとおりです。

類題2に関しても同じで、式を変形していくと「6-x=1/x^2」と出てきます。だからといって「1/x^2>0」だけでは真数条件にはなりません。「6-x>0」という条件とあわせて、初めて完全な真数条件が完成します。

しかし、今回のように真数条件を考えずに解答をする場合、つまりx^2-2x=3x-4のように、A=Bと定まっている場合、左辺(または右辺)>0を考えるだけでよいのです。なぜかというと、「x^2-2x=3x-4」かつ「3x-4>0」を満たしておきながら、「x^2-2x<0」となるようなxは存在しないからです。A=BでB>0なら、A<0になるわけがない、ということです。

では類題2を見てみましょう。式変形をして、「6-x=1/x^2」となったとき、1/x^2>0のみを考えればよいのです。それでは「6-x>0」を満たさないxもOKということになってしまうではないか、と思いますが、6-x>0を満たさないxは、もともと「6-x=1/x^2」の解にはなりません。だから1/x^2>0のみ考えればよいのです。

まとめると、真数条件を考える場合、左辺>0かつ右辺>0を考えなければいけません。しかし、ただ単に出た解が、(両辺の真数)>0を満たすかどうかを調べるには、(左辺or右辺)>0一つだけを調べればいいということです。

id:massa-will

ありがとうございます。

お話のように『6-x>0を満たさないxもOKということになってしまうではないか』と迷い、

『6-x>0を満たさないxは、もともと「6-x=x^2」の解にはならない』に行き着くまえにこんがら

がってしまっていました。それで、この解法のどこが能率的なのかと悩んでいました。

目線を低くして説明をくださったので、すごく理解が進みました。

2008/05/06 02:18:56

その他の回答(6件)

id:pyopyopyo No.1

pyopyopyo回答回数335ベストアンサー獲得回数792008/05/05 12:47:45

ポイント18pt

「3x-4>0 だけでもいい」というのは間違いだと思います。

たとえば 3x-4>0 を満たすような x として 5/3 を仮定すると、 (5/3)^2 - 2(5/3) は 負の値になり、 x^2-2x>0 を満たしません。

  • x^2-2x>0 となる条件は、 x^2-2x = x(x-2) だから、 x<0 または x>2
  • 3x-4>0 となる条件は、 x>4/3

ですので、両者を同時に満たす条件は x>2 だと思います。

id:juic No.2

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32008/05/06 00:09:54

ポイント40pt

このような解説は私は見たことがなく、はっきりとは理解しかねますが、多分に推測を含めつつ答えます。


log(x^2-2x)=log(3x-4) ……①

①についてはlogを消去して、x^2-2x=3x-4……①’  ∴x=1,4 この2解について真数条件を満たすかどうかチェックする、という解答でしょう。


ここでx=1,4 は①’の解ですから、①’に代入したとき(左辺)=(右辺)となります。つまり、x^2-2x と 3x-4 の値は等しいということです。ですからこの値(1と4)については x^2-2x>0 ⇔ 3x-4>0 と考えてもよいこととなるので、初めから一方(簡単な方の3x-4>0)のみで判断できるということだと思います。


ところがこの考え方だと、

log(x+2)+log(x-5)=3……②

log(6-x)+2logx=0……③


には適用できないことになります。ひょっとしたら②、③は、真数条件の不等式が容易なので省略したのではないでしょうか。

(例えば②では、真数条件より〈x+2>0 かつ x-5>0、ゆえに〉x>5

〈 〉内が省略された)


私個人的には、 x^2-2x>0 と 3x-4>0 の両方を計算した方が確実かと思います。慣れれば時間も大してかかりませんので、センター試験などであっても、練習しておけば問題ないでしょう。

id:massa-will

回答、ありがとうございます。

お話のように両方を計算するのが確実かもしれません。

ただ、ちょっと気持ちが悪いというのがあります。乗り掛かった船で、

コメント欄に類題の解答例としてあるものを書き込みます。

よろしければ、また回答をください。お願いします。

2008/05/06 00:54:31
id:t_shiono No.3

t_shiono回答回数256ベストアンサー獲得回数222008/05/06 00:56:21

ポイント20pt

よこから失礼します。

正確な問題や類題の解答が分かっていないので、はずしているかもしれませんが、類題の2番目も同じじゃないでしょうか?

類題の2番目を整理すると、

log(6-x) = log(x^2) (式1) ※底はともに3

となり、

6-x = x^2

ですよね?

このときに、6-x > 0ならば、当然 x^2 > 0ですよね。

本題からはずれましたが、一般的には次数が低い条件式を選べばよいです(計算しやすい方でOK)。

真数条件は、f(x) > 0という形で出てきます。

グラフをイメージしてもらうと分かりやすいと思いますが、f(x)の次数が大きい方がf(x) > 0を満たすxの領域の箇所が増えていきます。

n次の式f(x)が与えられたとした場合に、f(x)>0となるxの領域は*最大*でn個あります。


さて、対数の等式から得られた方程式の解に特化して考えると、

真数条件から

f(x) > 0

g(x) > 0

という2つの不等式と、

f(x) = g(x)

という1つの等式が得られます。

2つの不等式を満たすxの領域といわれると、厳密に解いて判断するしかありません。

しかし、等式の解を求める際に利用する条件という意味では、xの範囲を厳密に求める必要はありません。

f(x) = g(x)の等式がn次だったとして、解がa1・・・anが求まったとします。

このうち、

f(x) > 0 かつ g(x) > 0となるakが答えとなるわけです。

ところが、「f(x) > 0」すら満たせないakは「f(x) > 0 かつ g(x) > 0」の不等式は絶対に満たせません。

そのため、解答では確かめることが容易な次数の低い方を用いているに過ぎません。

質問者さんが納得する解答としては、(f(x)が次数の低い方として)

f(x) = g(x)より、a1・・・anが解の候補である。

真数条件より、f(x)を満たすものは、akのみである。

また、x=akのとき、g(x)>0を満たす。

よって、x = ak

と解答が書いてあれば、質問者さんは素直に納得できたのではないでしょうか?

おそらく、質問者さんは、

「x^2-2x>0かつ3x-4>0を考える代わりに、x^2-2x=3x-4のもとでは3x-4>0だけでもいい」

という表現を、

「3x-4>0の方がx^2-2x>0よりも強力だ」

という解釈をされてしまったのだと思いますが、そうではなくて、どちらでもよいので、簡単な方を選びました。というのが実情です。

強力かどうかという点では、

例えば、log((x-1)^2 - 1) = log(x) ※底は同じ

なんかを考えてもらえばよいですが、x > 0よりも、(x-1)^2-1 > 0の方が強力です。

ですが、x > 0という条件で判別しても解は1つに定まり、かつ、指定した条件下では、(x-1)^2-1 = x > 0が成立します。

id:yuki333zityo No.4

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/05/06 00:50:19ここでベストアンサー

ポイント80pt

確かに、x^2-2x=3x-4のもとでは、3x-4>0だけを考えれば良いというのはあっています。ただし、これは真数条件ではありません。真数条件を考えるのなら、x^2-2x>0も考慮しなくてはなりません。理由は1番の人が書かれたとおりです。

類題2に関しても同じで、式を変形していくと「6-x=1/x^2」と出てきます。だからといって「1/x^2>0」だけでは真数条件にはなりません。「6-x>0」という条件とあわせて、初めて完全な真数条件が完成します。

しかし、今回のように真数条件を考えずに解答をする場合、つまりx^2-2x=3x-4のように、A=Bと定まっている場合、左辺(または右辺)>0を考えるだけでよいのです。なぜかというと、「x^2-2x=3x-4」かつ「3x-4>0」を満たしておきながら、「x^2-2x<0」となるようなxは存在しないからです。A=BでB>0なら、A<0になるわけがない、ということです。

では類題2を見てみましょう。式変形をして、「6-x=1/x^2」となったとき、1/x^2>0のみを考えればよいのです。それでは「6-x>0」を満たさないxもOKということになってしまうではないか、と思いますが、6-x>0を満たさないxは、もともと「6-x=1/x^2」の解にはなりません。だから1/x^2>0のみ考えればよいのです。

まとめると、真数条件を考える場合、左辺>0かつ右辺>0を考えなければいけません。しかし、ただ単に出た解が、(両辺の真数)>0を満たすかどうかを調べるには、(左辺or右辺)>0一つだけを調べればいいということです。

id:massa-will

ありがとうございます。

お話のように『6-x>0を満たさないxもOKということになってしまうではないか』と迷い、

『6-x>0を満たさないxは、もともと「6-x=x^2」の解にはならない』に行き着くまえにこんがら

がってしまっていました。それで、この解法のどこが能率的なのかと悩んでいました。

目線を低くして説明をくださったので、すごく理解が進みました。

2008/05/06 02:18:56
id:bluepanda No.5

bluepanda回答回数63ベストアンサー獲得回数32008/05/06 01:03:37

ポイント17pt

参考書の書き方が悪いのかな、と少し考えてしまいます。

ただ単にそのようなご質問であれば、類題を見るまでもなく、ごく単純な問題ですので、こう答えます。

「x^2-2x=3x-4のもとでは3x-4>0だけでもいい。ということは、ようするに、x^2-2xも3x-4も同じ数なのだから、当然x^2-2x=>0だ。」一瞬で見抜けますよね。ただ単に、それだけです。ただ、これだと、「x^2-2x>0」でもいいのですが、その参考書を書いた方が、より単純な式のほう、つまり3x-4のほうを引き合いに出して説明しただけの話ではないかと思います。

1の方がおっしゃっておられるのは、「x^2-2x=3x-4」が成り立つための条件のことです。

参考書がややこしいのか、もしかしたら別のことをお尋ねになりたいのか……失礼ですが、少しご質問がわかりづらいです。

id:juic No.6

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32008/05/06 03:16:29

ポイント40pt

<類題1>は、①の右辺(=8)が正なので左辺も正、2つを掛けて正になるようにxを求めたのだから、一方が正なら他方は自動的に正だということですね。

結局こういうことです。↓

①を解いてx=-3,6

x=-3のとき……①の(左辺)=(-1)×(-8) ……両方が負

x=6 のとき……①の(左辺)=8×1     ……両方が正

「掛けて8」で考えたのだから、一方でも正なら両方正だと言えるわけです。


類題2について、つかぬことを伺いますが、

log(6-x)-2logx=0

の間違いですか?でないと、massa-willさんの解答のようになりませんので。(もしlog(6-x)+2logx=0なら解くのは難しいですね。)

以下log(6-x)-2logx=0 が正しいとして話を進めます。

そうすると基本的にlog(x^2-2x)=log(3x-4)と同様に、

x^2=6-xの解について、左辺と右辺は正負を共にする、ということを用いています。

ですが、本来の真数条件のひとつがx>0ですから、これも成り立つようでないといけません。もしx>0なら(左辺)=x^2は正、よって右辺も自動的に正、となるわけです。


ここまできてやはり、この解説の方法は実用的でないように思います。

類題2の解説の後半にあるように、うっかり6-xの方で考えると間違いとなってしまうような危うい考え方ですから、はっきり言って使わない方がいいと思います。

思考の訓練として考えてみる分には良いとおもいますが。

id:massa-will

ありがとうございます。

問題については、やはりlog(6-x)+2logx=0(第1項の底は1/3,第2項の底は3)で

間違いなかったです。第1項の底は1/3。。。

しかし、juicさんをはじめ、皆さんの回答から、これには一瞬の着眼点など無く、

必ずしも速い解法ではないとわかりました。

よろしければ、コメント欄に自分なりのまとめを書き込みますので、目を通されてください。

2008/05/06 13:59:32
id:idadi No.7

伊田匡嗣回答回数25ベストアンサー獲得回数22008/05/06 14:20:20

ポイント17pt

log(6-x)+2logx=0(第1項の底は1/3,第2項の底は3)で解けますよー。

ええと、まず底を同じに揃えたいので、(どっちでも良いのですが)いちおう底を3にするように考えます。

log_{1/3}(6-x)=(log_3(6-x))/(log_31/3)=-log_3(6-x)

と変形できます。すると、log(6-x)+2logx=0(第1項の底は1/3,第2項の底は3)は

 -log(6-x)+2logx=0

となるので、あとはjuicさんが解いている通りに解けばO.K.です。底を一致させることがミソですね

蛇足ながら・・・・・log(6-x)+2logx=0(第1項の底も第2項の底も3)でもこんな風に解けます。

log(6-x)+2logx=0

logx^2(6-x)=0

x^2(6-x)=1

x^3-6x^2+1=0

と変形できるので、あとはこの最後の式の答えを探すだけ、です。探したくない解になると思いますけど。。。。。

  • id:practicalscheme
    「一瞬で見抜くための着眼点」の答えになってない気がするのでコメントで。

    「A=B かつ B>0」ならば A>0 の条件は自動的に満たされるので考慮する必要はないですよね。
    (出題例では A は x^2-2x、B は 3x-4)
    見抜く、というほど大げさな話ではないと思ってしまうのですが、あえて言えば数式の詳細よりも大きな単位で眺めてみるって感じでしょうか。

    1番の回答は「x^2-2x=3x-4のもとでは」を忘れています。
  • id:massa-will
    わざわざコメント欄に回答をくださって、ありがとうございます。
    回答についてですが、ちょっと違うような気がします。同じようには、
    類題の2番を説明できませんから、すぐに違うことがわかると思います。

    >1番の回答は「x^2-2x=3x-4のもとでは」を忘れています。
    ご指摘の通りだと思います。
  • id:t_shiono
    回答をつけてるうちに他の方からも回答があったようで、重複部分があったらすいません。

    で、蛇足なので、コメント欄で失礼します。

    2番目の方の回答で気持ち悪いとのことなので、こう考えてみてください。

    突き詰めると、問題は次のようになりますよね?

    「f(x) > 0 かつ g(x) > 0 かつ f(x) = g(x)となるxを求めよ」

    グラフをイメージしてその意味を考えてください。
    この問題のグラフ上の意味は、y = f(x)のグラフとy = g(x)のグラフの交点のうち、y座標が0より大きい交点を求めるという問題です。

    解となる交点の候補のx座標はf(x) = g(x)を解くことで求まりますよね?
    あとは、y座標を計算して条件を満たすか判別するだけですが、交点なので、f(x)をつかって計算してもg(x)を使って計算しても同じですよね?

    ということです。


    ちなみにですが、

    log(x+2) = log(x^2) ※底は同じ
    は解が2個出てきますが、

    log(x+2) = 2log(x) ※底は同じ
    は解は1つですね。
  • id:massa-will
    <類題1>
    (x+2)(x-5)=8・・①
    ①のもとでは、x+2>0・・②が成り立つならば、必ずx-5>0・・③も成り立つ。
    言い換えると、①と②を満たすxは必ず③も満たすので、真数条件としては②のみでよい。
    *同様に③のみでもよい。
    <類題2>
    x^2=6-x・・①
    ①のもとでは、x>0・・②が成り立つならば、必ず6-x>0・・③も成り立つ。(x>0⇒x^2>0)
    ゆえに、真数条件としては②のみでよい。他方、①のもとでも、③が成り立つならば、②も成り
    立つとは言えない。だから真数条件として③のみでは足りない。

    以上ですが、読んでわかるような、わからないような感じです。少なくとも直感的にはわかりま
    せん。ですから、問題を解くなかでこんなことを考えているくらいなら、真数条件の両方を
    計算するほうがはやいだろうと疑問を抱いたのです。
  • id:garyo
    マークシートならこの解法もありですが、記述式の場合は「真数条件によりx^2-2x>0かつ3x-4>0」は書くだけで部分点がもらえるでしょうね。


  • id:massa-will
    みなさん、たくさんの回答をありがとうございます。
    今回、自分が悩んでおりましたのは、ひとことで手元にある解答の読解にあります。
    それは、「A=B>0」から「A>0かつB>0」と考えていいのかなど、解答の思考の道筋を
    きちんと追えなかったことがまず初めにありました。そして、その下地には、解答例を
    検討するなかで、「もし、そう考えるなら、この解答に意図がなくなる。だから、
    そんなはずはないんだ。。。」というように、解答の意図が見えなかったことがありました。
    ですから、二重にわからず、そうなると、もうわけがわからない。皆さんからの回答によって、
    それが少しずつわかるようになりました。あらためて、ありがとうございました。
  • id:juic
    理解されたようで何よりです。

    類題2は底が異なっていたのですね。見落としてました。

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