漸化式;an+1=2an-3は(n+1とnは小さな文字として見て下さい)

an+1-3=2(an-3)と変形できる。これが任意のnで成り立つことから
an-3=2^n-1(a1-3) ∴an=3+2^n-1(a1-3)(n、n-1、1は小さな文字として見て下さい)
<質問>
どうして、『an+1-3=2(an-3)』から『an-3=2^n-1(a1-3) ∴an=3+2^n-1(a1-3)』と
なるのですか?その過程がわかりません。教えてください。

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  • 登録:2008/05/11 11:23:40
  • 終了:2008/05/11 12:05:26

ベストアンサー

id:yuki333zityo No.1

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/05/11 11:41:39

ポイント70pt

このままだとわかりにくいので、(an-3)=bnとおきます。

bn=an-3ですから、bn+1=an+1ー3、となりますね。ですから、与式は

bn+1=2bn

となります。これはどこかで見たことある形ではないでしょうか。これは、bnが等比数列であることを表します。(全てのnにたいして)bnを2倍したらbn+1になる、ということですから、bnは公比:2、初項:b1の等比数列となります。

よって、bn=2^(n-1)×b1・・・①

と表す事ができます。

ここで、最初にbn=an-3としたわけですから、

b1=a1-3です。それぞれを①式に代入すると、

anー3=2^(n-1)×(a1-3)となります。

∴an=3+2^n-1(a1-3)

ということです。

id:massa-will

ドンピシャでわかりました。ありがとうございます。

2008/05/11 12:04:35

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