敬語について質問します。

全然違和感ないです。

むしろ丁寧で感じが良いです。

敬語としておかしい等ということは全然どこにも見当たりません。

感じ良すぎで、スキがないです！

どうして、どこが気になるのか、不思議なくらい。

俗に言う「二重敬語」にはあたらないと思います。

一つのアクション (≒動詞) に二つ以上の敬語 (尊敬の念を表す語) を付けるのが二重敬語だと思うので、その範疇ではないと思います。

(それとは別に) おそらく Web サイト上の文言だと思いますが、ちょっと仰々しいと言いますか、大げさな印象はあると思います。ただ、上の回答者の方のように感じがいいと思う人もいると思いますし、(私的には) 大げさだなと思うような敬語表現も大手企業 (とか銀行) のサイトでちらほら見ます。決して「悪い」ものではないと思います。

また同時に、「移動します」と書いたところでどれだけの人が不快に感じるのか・・・私が直感的に思うところではたいした人数ではないかと思います。

「このボタンを押すと、ご記入内容を確認するページに移動いたします。」

これは、ボタンの機能の説明文ですので基本的に敬語は不要な文章になります。

そのため、違和感を覚えるのだと思います。

「ご記入」は、相手の行為なので、敬語です。そこから考えるとボタンを押すのも「お押しになると」と敬語にしたくなります。しかし、そこも敬語にするとくどくなるので、敬語にしないという選択が良いと考えられます。

一般的には、「このボタンを押すと、ご記入内容を確認するページに移動します。」

で十分だと思いますが、丁寧にすると言う意味で、「移動いたします」を使ってもなんら問題はないでしょう。

「移動します」は、「進みます」、「移ります」、などでも、良いと思います。

また、相手を中心に敬語を使った文章にするのであれば、

「必要な情報のご入力後、このボタンをクリックして確認用ページにお進み下さい。」

というような書き方でも良いと思います。