<問題>

手紙4通と封筒4枚があって、それぞれ1,2,3,4という番号がついている。同じ番号の手紙が、
同じ番号の封筒に入らないように、1通の手紙を1枚の封筒に入れる仕方は何通りか?
<質問>
1→2→3→4→1のループとして考えて、3!通り。これが誤っている理由を教えてください。
参考までに、正解は9通りになります。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/06/04 20:11:45
  • 終了:2008/06/05 09:18:45

ベストアンサー

id:totsuan No.4

totsuan回答回数331ベストアンサー獲得回数582008/06/05 04:45:21

ポイント120pt

http://q.hatena.ne.jp/1212577902

アドレスはダミーです。

>「1→2→3→4→1のループとして考えて」とは、

>2,3,4の順列が決まれば、組み合わせが決まると考えるからです。

>1→2→3→4→1は(1,2)と(3,4)、1→3→4→2→1は(1,3)と(4,2)という意味にとらえるということです。

>これでいくと、答えは3!通りになるわけですが、教えてほしいのは、これが駄目な根拠です。

質問者が示したい考え方としては(1→3→4→2→1の場合)、

1)手紙1を封筒3に入れる

2)手紙3を封筒4に入れる

3)手紙4を封筒2に入れる

4)手紙2を封筒1に入れる、というパターンを想定していらっしゃったのでしょうか?

すると、最初に手紙1が入れる封筒は封筒1以外の3通りですが、

次の手紙が残りの封筒のいずれかに入る組み合わせはこれまた3通りになるはずです。

例)手紙1が封筒3に入る→残る手紙は2,3,4、残る封筒は1,2,4。

  手紙3は封筒3に入らなければ良いのであるが、既に封筒3には手紙1が入っているので、

  他のどの封筒でも良い=3通り。

  ただし、これ以降手紙2,4と残った2つの封筒の組み合わせは1通りしかありえないので、

  3×3=9通りとなる。

おそらく、1→(A)→(B)→(C)→1において

A,B,Cに2,3,4それぞれの数字を入れる組み合わせを考えれば良いから3!通りと計算されたのでしょうけど、

問題文の条件を満たす全ての組み合わせがこのループだけでは表せないというところが誤りですね。

なぜなら、

1)手紙1を封筒3に入れる

2)手紙3を封筒1に入れる

3)手紙4を封筒2に入れる

4)手紙2を封筒4に入れる、というパターンの場合は、

1→(A)→1、(B)→(C)→(B)となり、

質問者が提示されたパターンをとりえませんが、条件は満たしています。

これが3通りあるので、質問者の3!通りにこれを加えた9通りが正解となります。

正攻法は以下の通り。

手紙と封筒の単純な組み合わせは4!(=24)通り。

その中から、以下の組み合わせをを差し引く。

・1つの数字だけが同じになる組み合わせ=4×2通り。

→例)1が同じになった場合、手紙2,3,4は封筒「2」「3」「4」のいずれかに入るが、

   決して同じ数字で対応しててはならないので、例えば手紙2は封筒「3」「4」のいずれにしか入らないし、

   そうなると、残った手紙と封筒の組み合わせは1通りしか残らないので。

・2つの数字が同じになる組み合わせ=4C2通り。

→例)1,2が同じになった場合、手紙3,4は封筒「3」「4」のいずれかに入るが、

   決して同じ数字で対応しててはならないので、残った手紙と封筒の組み合わせは1通りしか残らない。

   あとはどの数字が同じになるかという組み合わせ次第。

・3つの数字が同じになるとき=全ての数字が同じ組み合わせ→1通り。

すると、

4!-4×2-4C2-1=24-8-6-1=9通り。

お粗末さまでした。

id:massa-will

すばらしいです。よくわかりました。ありがとうございます。

2008/06/05 08:56:45

その他の回答(4件)

id:jun-ten No.1

jun-ten回答回数63ベストアンサー獲得回数42008/06/04 20:41:39

ポイント15pt

1は2、2は3、3は4に入れるから、3通り、と云う考えの間違いですが、正確には1は2か3か4、2は1か3か4、3は1か2か4(4はいずれも左のどれかの裏返し)となり、9通りになります。

id:taknt No.2

きゃづみぃ回答回数13539ベストアンサー獲得回数11982008/06/04 21:56:56

ポイント15pt

それぞれの袋に入れられるのは 3通りです。

そうすると 3×4袋 となりますが、最後の袋は そのひとつ前の袋が決まれば 決まってしまうので

実際は 3袋決まれば 4袋 決まることになります。

なので 3×3で 9通りできるのです。

id:some1 No.3

some1回答回数842ベストアンサー獲得回数372008/06/04 22:16:31

ポイント15pt

>1→2→3→4→1のループとして考え


ここで思考の仮定が間違っています。


「1→2」以外の進み方に「1→3」「1→4」という分岐選択肢が存在するのを無視して

数字の絶対値順序を気にするあまり固定してしまっています

id:totsuan No.4

totsuan回答回数331ベストアンサー獲得回数582008/06/05 04:45:21ここでベストアンサー

ポイント120pt

http://q.hatena.ne.jp/1212577902

アドレスはダミーです。

>「1→2→3→4→1のループとして考えて」とは、

>2,3,4の順列が決まれば、組み合わせが決まると考えるからです。

>1→2→3→4→1は(1,2)と(3,4)、1→3→4→2→1は(1,3)と(4,2)という意味にとらえるということです。

>これでいくと、答えは3!通りになるわけですが、教えてほしいのは、これが駄目な根拠です。

質問者が示したい考え方としては(1→3→4→2→1の場合)、

1)手紙1を封筒3に入れる

2)手紙3を封筒4に入れる

3)手紙4を封筒2に入れる

4)手紙2を封筒1に入れる、というパターンを想定していらっしゃったのでしょうか?

すると、最初に手紙1が入れる封筒は封筒1以外の3通りですが、

次の手紙が残りの封筒のいずれかに入る組み合わせはこれまた3通りになるはずです。

例)手紙1が封筒3に入る→残る手紙は2,3,4、残る封筒は1,2,4。

  手紙3は封筒3に入らなければ良いのであるが、既に封筒3には手紙1が入っているので、

  他のどの封筒でも良い=3通り。

  ただし、これ以降手紙2,4と残った2つの封筒の組み合わせは1通りしかありえないので、

  3×3=9通りとなる。

おそらく、1→(A)→(B)→(C)→1において

A,B,Cに2,3,4それぞれの数字を入れる組み合わせを考えれば良いから3!通りと計算されたのでしょうけど、

問題文の条件を満たす全ての組み合わせがこのループだけでは表せないというところが誤りですね。

なぜなら、

1)手紙1を封筒3に入れる

2)手紙3を封筒1に入れる

3)手紙4を封筒2に入れる

4)手紙2を封筒4に入れる、というパターンの場合は、

1→(A)→1、(B)→(C)→(B)となり、

質問者が提示されたパターンをとりえませんが、条件は満たしています。

これが3通りあるので、質問者の3!通りにこれを加えた9通りが正解となります。

正攻法は以下の通り。

手紙と封筒の単純な組み合わせは4!(=24)通り。

その中から、以下の組み合わせをを差し引く。

・1つの数字だけが同じになる組み合わせ=4×2通り。

→例)1が同じになった場合、手紙2,3,4は封筒「2」「3」「4」のいずれかに入るが、

   決して同じ数字で対応しててはならないので、例えば手紙2は封筒「3」「4」のいずれにしか入らないし、

   そうなると、残った手紙と封筒の組み合わせは1通りしか残らないので。

・2つの数字が同じになる組み合わせ=4C2通り。

→例)1,2が同じになった場合、手紙3,4は封筒「3」「4」のいずれかに入るが、

   決して同じ数字で対応しててはならないので、残った手紙と封筒の組み合わせは1通りしか残らない。

   あとはどの数字が同じになるかという組み合わせ次第。

・3つの数字が同じになるとき=全ての数字が同じ組み合わせ→1通り。

すると、

4!-4×2-4C2-1=24-8-6-1=9通り。

お粗末さまでした。

id:massa-will

すばらしいです。よくわかりました。ありがとうございます。

2008/06/05 08:56:45
id:punkaholic No.5

punkaholic回答回数33ベストアンサー獲得回数112008/06/05 04:48:49

ポイント100pt

途中で1に戻ってもいいことを忘れているからだと思います.

1から始まって1に戻るような並びが,3*2*1=6で,

1と他の3つのどれかが輪をなすような並びが3通りあり,合計9通り,ということです.

(これだけ見ても分からないかもしれませんが,たぶん質問者さんの考え方に沿えばそういう言い方になるかと;

1→2→1と3→4→3,1→3→1と2→4→2,1→4→1と2→3→2,の三つの数え漏れ.)

id:massa-will

ドンピシャで解決しました。ありがとうございます。

2008/06/05 09:05:46
  • id:massa-will
    みなさん、回答をありがとうございます。ただ、まだよくわかりません。
    説明の不足があるかもしれないので、以下に補足します。
    「1→2→3→4→1のループとして考えて」とは、2,3,4の順列が決まれば、組み合わせが決まる
    と考えるからです。1→2→3→4→1は(1,2)と(3,4)、1→3→4→2→1は(1,3)と(4,2)という意味に
    とらえるということです。これでいくと、答えは3!通りになるわけですが、教えてほしいのは、
    これが駄目な根拠です。
  • id:practicalscheme
    全体をループとして考えてひとつづつずらすやり方は3!=6通りですが、
    その他に2つの独立したループを作るやり方があります。1→2→1 と 3→4→3 とか。これが残りの3通り。
  • id:massa-will
    コメント欄への回答をありがとうございます。しかも、簡潔明瞭(^^)

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