<問題>

・-の信号がいくつまで並んだら、96通り以上の信号を送ることができるか?
<質問>
2+2^2+2^3+・・・+2^n≧96
この式の意味がいまひとつわかりません。わかりやすく教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/06/08 21:10:49
  • 終了:2008/06/08 23:59:42

ベストアンサー

id:hibariyu No.6

hibariyu回答回数24ベストアンサー獲得回数32008/06/08 22:23:10

ポイント100pt

問題文がちょっとよろしくないかもしれません。

「相手に96通り以上の情報を送るには、相手に・または-の信号を何個送ることができればよいか?」

と直して考えてみましょう。

そうすると、この問題は


「モールス信号で96通りの情報を伝えましょう、

このためには、・または-の記号を○個伝えることが必要です。」


という問題になります。

最初に、相手に伝えられる記号は1個だけと考えてみましょう。

すると、ひとつの記号で表される情報は、

・、-かの2通りです


つぎに、2個の記号しか送れないとき、

相手に送ることができる記号の種類(=伝えられる情報の種類)は

・・、・-、-・、--、

・、-

以上の 2+2^2=4+2=6通りです。

このとき、・だけ、-だけでもひとつの情報が相手に伝わることに注意してください。


3つの記号しか送れないとき、

相手に伝えられる情報は

・・・、・・-、・-・、・--、-・・、-・-、--・、---、

・・、・-、-・、--、

・、-

以上の 2^3+2^2+2=8+4+2=14通りを伝えることができます。


同様に考えて、n個の記号しか送ることができないとき、(nは自然数とします)

相手に伝えられる情報は

2+2^2+2^3+...+2^n 通り

となります。


問題では、相手に96通り以上の情報を伝えられればいいのですから、

2+2^2+2^3+...+2^n \geq 96

となります。


すると、右辺は初項2、公比2の等比級数となりますから、

2+2^2+2^3+...+2^n=\frac{2-2^{(n+1)}}{1-2}=2(2^n-1) \geq 96

これを解いて、2^n \geq 49

nは自然数ですから、

2^5=32,2^6=64 から、 n \geq 6

よって、96通り以上の情報を相手に伝えるには、・か-の信号を最低6個送れればよいことになります。(解答終)

id:massa-will

問題をイメージしやすいものにしていただき、理解しやすくなりました。

ありがとうございました。

2008/06/08 23:47:02

その他の回答(5件)

id:virtual No.1

virtual回答回数1139ベストアンサー獲得回数1282008/06/08 21:35:19

ポイント15pt

それはモールス符号ですね。


モールス符号は「・」と「-」の組み合わせで可変長の符号を作っていきます。


一番短い符号が「・」と「-」ひとつづつの信号で、2通りの組み合わせがあります。(EとT)

次に短い符号が「・」と「-」を二つづつの組み合わせになり4通り(=2x2=2^2)の組み合わせがあります。(I,A,N,M)

その次に短い符号が「・」と「-」を三つづつの組み合わせになり8通り(=2x2x2=2^3)の組み合わせがあります。(S,U,R,W,D,K,G,O)

という風に繰り返して組み合わせの数を合計すると、質問の

2+2^2+2^3+・・・+2^n

になります。これが96通り以上という条件になると、

2+2^2+2^3+・・・+2^n≧96

という式になります。

ちなみにn=5で62,n=6で126ですので最小のnは6ということになります。

id:ita No.2

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482008/06/08 21:39:07

ポイント20pt

モールス信号ですね。コンピュータの01のビットと違い、「空白」で

字が区切られるので長さを字ごとに変えられます。

1個:・と-の二種類

2個:・・とーーと・-とー・の2^2種類

なので、たとえば二個まで使えば2+2^2種類の文字を伝えられます。

id:taknt No.3

きゃづみぃ回答回数13539ベストアンサー獲得回数11982008/06/08 21:40:21

ポイント15pt

質問にあるのは 二進数ですね。

2+2^2+2^3+・・・+2^n≧96

最初は 2 これは ・-のうち どちらか ひとつしかないとき

つまり 2パターン

次に 2^2 これは ・-のうち どれかが二つあるとき(両方ある場合もある)

というように ・-の数と その数による 表現されるパターンを それぞれ 合計していけばいいということになります。

で ・-が 3つだと 8

・-が 4つだと 16

・-が 5つだと 32になります。

これが 6つだと 64

つまり 6つで 合計が 126となるので 6つですね。

id:yshkw No.4

yshkw回答回数79ベストアンサー獲得回数32008/06/08 21:40:39

ポイント70pt

・-の信号が1つ並んだ場合

・か-が入るので2通り→2^1=2

・-の信号が2つ並んだ場合

□□

↑↑

・か-が入る組み合わせは2×2通り→2^2

・-の信号が3つ

□□□

↑↑↑

同様に2×2×2通り→2^3

・-の信号がn個

□□□・・・・□□□

同様に2×2×2×・・・×2×2×2→2^n

それぞれの信号で送ることの出来るやり方が96より多いということなので上記の和が初めて96より大きくなるのは

id:massa-will

図解をしていただいて、よく理解できました。ありがとうございます。

2008/06/08 23:53:42
id:totsuan No.5

totsuan回答回数331ベストアンサー獲得回数582008/06/08 21:58:30

ポイント70pt

http://q.hatena.ne.jp/

12129アドレスはダミーです。

>「・」「-」の信号がいくつまで並んだら、96通り以上の信号を送ることができるか?

>2+2^2+2^3+・・・+2^n≧96

>この式の意味がいまひとつわかりません。わかりやすく教えてください。

質問者の提示されたパターンはモールス信号が元になっているようですが、

コンピュータの「0」「1」概念でも同様の計算方法になりますね。


式に関してですが、

・一つの文字欄に並ぶ記号のパターン数(※問題設定上2つしかない訳ですが)

・行進する記号自体の個数

の二つの考え方を必要とします。

例えば、文字一つのみで信号を作る場合は、「・」,「-」の2通りしかありませんので、2×1=2通り。

記号を二つまで使って良いという事になると、

先ほどのパターン数(=文字一つのみで信号を作る場合)に加えて文字2個を使った場合のパターン数(=2×2通り)が増えますので、

例)「・」「・」,「・」「-」,「-」「・」,「-」「-」

2+2×2通り=6通りになります。

これをどんどん増やして一般化すると、次の関係が成り立ちます。

→記号をn個並べた場合に表す事ができる信号のパターン数自体は2^n通り。

 記号を1~n個まで並べた場合に表す事ができる信号のパターン数は1+2^1+2^2+2^3+…+2^n通り。

この式が96個を超える場合を見つけるということですので、

質問者が提示した式を計算すれば良いということになります。


ちなみに、問題の式を計算すると、n≧6で成立する事が分かります。

(※n=5の時は総パターン数は62通り、n=6の時は総パターン数は126通り)

御粗末さまでした。

id:massa-will

とてもよくわかりました。ありがとうございます。

2008/06/08 23:51:31
id:hibariyu No.6

hibariyu回答回数24ベストアンサー獲得回数32008/06/08 22:23:10ここでベストアンサー

ポイント100pt

問題文がちょっとよろしくないかもしれません。

「相手に96通り以上の情報を送るには、相手に・または-の信号を何個送ることができればよいか?」

と直して考えてみましょう。

そうすると、この問題は


「モールス信号で96通りの情報を伝えましょう、

このためには、・または-の記号を○個伝えることが必要です。」


という問題になります。

最初に、相手に伝えられる記号は1個だけと考えてみましょう。

すると、ひとつの記号で表される情報は、

・、-かの2通りです


つぎに、2個の記号しか送れないとき、

相手に送ることができる記号の種類(=伝えられる情報の種類)は

・・、・-、-・、--、

・、-

以上の 2+2^2=4+2=6通りです。

このとき、・だけ、-だけでもひとつの情報が相手に伝わることに注意してください。


3つの記号しか送れないとき、

相手に伝えられる情報は

・・・、・・-、・-・、・--、-・・、-・-、--・、---、

・・、・-、-・、--、

・、-

以上の 2^3+2^2+2=8+4+2=14通りを伝えることができます。


同様に考えて、n個の記号しか送ることができないとき、(nは自然数とします)

相手に伝えられる情報は

2+2^2+2^3+...+2^n 通り

となります。


問題では、相手に96通り以上の情報を伝えられればいいのですから、

2+2^2+2^3+...+2^n \geq 96

となります。


すると、右辺は初項2、公比2の等比級数となりますから、

2+2^2+2^3+...+2^n=\frac{2-2^{(n+1)}}{1-2}=2(2^n-1) \geq 96

これを解いて、2^n \geq 49

nは自然数ですから、

2^5=32,2^6=64 から、 n \geq 6

よって、96通り以上の情報を相手に伝えるには、・か-の信号を最低6個送れればよいことになります。(解答終)

id:massa-will

問題をイメージしやすいものにしていただき、理解しやすくなりました。

ありがとうございました。

2008/06/08 23:47:02

コメントはまだありません

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません