<問題>

n個のコインを同時に投げるとき、少なくとも1個表がでるが、全部ではない事象をBとする。
確率P(B)を求めなさい。
<質問>
余事象を「すべて裏またはすべて表」として、P(B-)=1/2^n+1/2^nとできると考えるのですが、
手元の解答例では、P(B-)=(1/2^n-1)*1/2+1/2*(1/2^n-1)となっています。自分の考えが
合っているのか、合っていないのかわかりません。教えてください。P(B-)はバーをがんばって
表したものです。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/06/09 16:13:01
  • 終了:2008/06/11 14:39:36

回答(4件)

id:phmathieu No.1

phmathieu回答回数49ベストアンサー獲得回数32008/06/09 16:34:28

ポイント20pt

http://q.hatena.ne.jp

URLはダミーです。

massa-willさんの考えは合っています。

むしろ、解答例の表現方法が意味不明です。

解答例も結局はP(B-)=1/2^n+1/2^nになるので同じなのですが。

おそらく解答例は、

・(n-1)回目まで裏が出続け(確率1/2^(n-1))、最後も裏が出る(確率1/2^(n-1)*1/2)

・最初に表が出て(確率1/2)、かつ残りも全部表が出る(確率1/2*1/2^(n-1))

というように分解したのを足した、というような考え方だと思いますが、冗長です。

massa-willさんの考え方が一番スマートだと思います。

id:offpeak No.2

offpeak回答回数51ベストアンサー獲得回数32008/06/09 16:50:06

ポイント15pt

>P(B-)=(1/2^n-1)*1/2+1/2*(1/2^n-1)

この式ですが、


(1/2^(n-1))*1/2 = (1/2^(n-1+1)) = 1/2^n

1/2*(1/2^(n-1)) = (1/2^(n-1+1)) = 1/2^n


となり、結局あなたの考えた式


P(B-)=1/2^n+1/2^n


と同じです。

id:Baku7770 No.3

Baku7770回答回数2831ベストアンサー獲得回数1812008/06/10 01:27:20

ポイント25pt

 単純に式の結果が同じという問題ではなく、考え方を示したいがために質問文にあるような式を示したものと考えます。

 

 通常ですと、P(B-)という表現ではなく、f(n)といったようにnの関数として表現します。

 P(B-)=f(n)=1/2*1/2*f(n-1)+1/2*1/2*f(n-1)=(1/2)^(n-1) (n≧2)

つまりf(n)をf(n-1)を使って表現しようとしたものと思われます。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

ぼんやりわかりかけてきたような。。。もう少し詳しく説明いただけますか。

2008/06/10 08:16:02
id:kudzu_naoki No.4

kudzu_naoki回答回数2ベストアンサー獲得回数02008/06/11 12:05:18

ポイント30pt

あなたの回答で全く問題ありません。

ここで混乱を招いている原因はおそらく二点で、

1.表が出る確率と裏が出る確率がどちらも1/2であること。

2.解答例では高校数学への導きを意識していること。

でしょう。

まず、コインをn枚投げたときのコインが全て表である事象をA(n)、確率をf(n)と置くことにしましょう。Baku7770さんの説明に出てきたfとは異なることに留意してください。
すると、コインをn枚投げたときにコインが全て表である確率f(n)A(n-1)からさらに一枚投げたコインが表である確率ですのでf(n-1) \times {\frac{1}{2}}……(式 \alpha)と表せます。
ここでf(n-1)を計算するとf(n-1)={(\frac{1}{2})}^{(n-1)……(式 \beta)ですので\beta\alphaに代入しf(n) = {(\frac{1}{2})}^{(n-1)} \times \frac{1}{2}となります。

同様に裏の時もg(n)とでも表せばg(n) = {(\frac{1}{2})}^{(n-1)} \times \frac{1}{2}となり、これらのf,gを足し合わせたものがあなたの解答例に載っているP(\bar{B})だと思われます。


この程度の問題ではこのようにf(n)f(n-1)の式で表して整理するとかえってわかりづらくなりますが、問題によっては便利ですので調べてみるといいかもしれません。「漸化式」といいます。

id:massa-will

下のコメント欄にまでありがとうございます。勉強になります。

2008/06/11 14:37:23
  • id:kudzu_naoki
    漸化式まで持ち出してきた回答をしてしまい申し訳ない。課程に則った説明をするならば
    1/2の意味として
    a.表が出る
    b.裏が出る
    c.表が出ない
    d.裏が出ない
    の4種があり、解答例のP(B-)では順にb,c,a,dという意味合いで捕らえるといいかなと思います。


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