<問題>

3人の女子と12人の男子が無作為に円卓に座る。女子3人が連続して並ぶ確率は?
<質問>
13!3!/15!では駄目な理由を教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/06/11 09:01:20
  • 終了:2008/06/11 23:20:33

回答(5件)

id:totsuan No.1

totsuan回答回数331ベストアンサー獲得回数582008/06/11 09:33:13

ポイント40pt

>13!3!/15!では駄目な理由

まず質問者の回答に関する考察から。

13!×3!というのは、女性3人が一まとまりで座るパターンを”一人”として捉え、

13人の座る順番(13!)に女性3人の座る順番(3!)を掛け合わせたものでしょう。

実際は15人いるので、全パターンは15!と計算し、その割合を計算すればOK!・・・


ところが、実際は違います。

例えば、2人が円卓に座るパターンを考えてみると、真っ先に1通りしかないとわかりますね?

質問者の考え方では2!になるはずなんですけど。

同様に3人の場合は2通り…おやぁ?

これは一列に座る場合と違い、先頭と最後尾が区別できなくなるため、

座る人数の倍数分余計に数えてしまっている分を考慮して差し引く必要があるのです。

例)

A,B,C,D,E,Fの6人が円卓に座る場合、

A→B→C→D→E→F、B→C→D→E→F→A、C→D→E→F→A→B、

D→E→F→A→B→C、E→F→A→B→C→D、F→A→B→C→D→Eは

数えるスタート地点が違うだけで、それぞれの位置関係は同じと捉える事ができます。

なので、6人が円卓に座るパターン数は6!/6=5!となります。

一般に円順列と呼ばれるパターンの場合の考え方ですね。


最初の考え方自体は悪くないので、これを実際の問題に当てはめると、

12!×3!として、女性3人が一まとまりで座るパターンを”一人”として捉え、

”13人”が座る順番(12!)に女性3人の座る順番(3!)を掛け合わせます。

実際は15人いるので、全パターンは14!と計算し、その割合を計算すればOK!となります。

すなはち、12!×3!/14!=3×2/14×13=3/91

が正解になるはず…ですが、いかがでしょうか?


お粗末さまでした。

id:araheu No.2

araheu回答回数28ベストアンサー獲得回数22008/06/11 10:30:47

ポイント35pt

○ 1 2 3 4

14     5

13     6

12     7

11 10 9 8

ーーーーーーーー

15人の人間が円を作ると上のようになりますよね(円ではないですが…)

円は回転させれば場所が入れ替わりますが、この場合は固定して考えます。

○の位置には必ず女子が入るとしましょう。

13!3!/15!というのは上の絵で言えば「○と1と2に女子がくる確率」になりますが、○の位置を含めて女の子が連続して座るには「14-○-1」でもいいし、「13-14-○」でもいいですよね。以上を考慮して計算すれば正しい答えが出てくるはずです。

学校の課題でしょうか?あえて最後の答えまでは出さず、ご質問の「13!3!/15!では駄目な理由」だけをお答えさせて頂きました。

id:kuni11 No.3

kuni11回答回数216ベストアンサー獲得回数42008/06/11 10:31:26

ポイント15pt

円卓に並べる場合、回転させると一致するものがあるので、一人を固定して考えます。

したがって、n人を円卓に並べる方法は(n-1)!通り。

この問題で求める確率は、12!3!/14!となります。

id:kappagold No.4

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/06/11 10:46:52

ポイント70pt

<問題>

3人の女子と12人の男子が無作為に円卓に座る。女子3人が連続して並ぶ確率は?

<質問>

13!3!/15!では駄目な理由を教えてください。


答えは、12!3!/14!ですよね。

円順列なので、テーブルが回ると同じになってしまう組み合わせがあるので、その重複分を省くために、15!/15で14!が導き出されます。

男子女子のそれぞれの順列は、12!3!なので、答えは、12!3!/14!となります。

ぐるぐる回ってしまう重複のある状態のままの15!を分母に使う場合は、男子女子のそれぞれの順列の12!3!をぐるぐる回して重複させて、12!3!×15にします。

この場合は、(12!3!×15)/15!となります。


質問の式は、13!3!/15!ではなくて、12!3!/15!という事ですよね。

この場合は、分子は回転による重複がない状態、分母が回転による重複がある状態のままになっているのです。

どちらでも良いので、どちらかにそろえればOKです。

http://www.geocities.jp/ikemath/pdf_file/ho_pdf/087hozyu.pdf

http://www.altmc.jp/amc/practicum/primer/lessons/042/0248.html

id:massa-will

回答をありがとうございます。

自分なりに分母も分子もぐるぐる回しながら計算したのが13!3!/15!でした。

なぜこれと12!3!×15が一致してくれないのでしょう。

2008/06/11 14:25:56
id:kuni11 No.5

kuni11回答回数216ベストアンサー獲得回数42008/06/11 15:55:58

ポイント70pt

2の方の図をお借りします。

ーーーーーーーー

15 1 2 3 4

14      5

13      6

12      7

11 10 9 8

ーーーーーーーー

回転による重複を考えない方法において、14・15・1が女子の場合と15・1・2が女子の場合をカウントしていないからではないでしょうか?

どちらも12!×3!であり、13!×3!と合わせれば、12!×3!×15です。

したがって、式は12!3!×15/15!となり、正答となります。

  • id:massa-will
    みなさん、回答を寄せていただき、ありがとうございます。
    質問のしかたがよくありませんでした。
    本来の意図は、ぐるぐる回しっぱなしで確率を求めようとすると、
    正解と一致しないのは何故だろう。何が足りないのだろう。そうした疑問でした。
    質問が下手というか、なっていませんでした。すみません。
  • id:kappagold
    本来、×15になるところが、×13になった理由ですが・・・。
    心当たりとして昔私がやった間違いを思い出しました。
    もしかしたら、女子は3人一緒に動くという事で、男子12名と女子1グループで13にしませんでしたか?
    そうすると、席の数が13席になってしまうので、12!×13=13!という数字が出てきます。
    イメージとしては、15席のテーブルで女子が横並びで3つの席に座っているのと、13席のテーブルで女子が縦並びで1つの席に重なって座っているのとのちがいですかね。
  • id:kudzu_naoki
    重複の数が分け方によって異なるからです。
    15人でまわしっぱなしだと15回重複し、12人と1グループでまわしっぱなしだと13回しか重複しませんよね。
    そのあたりを考慮して15回重複に合わせてまわしっぱなしの式を立てるとkappagoldさんの解答になるかと思います。
  • id:massa-will
    御二方
    自分にもようやくわかっきました。
    お手間をかけていただきまして、ありがとうございます。

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