<問題>

赤球r個、白球n個が入っている袋の中から同時に2個取り出す。ただし、nは自然数、rは3以上の自然数とする。赤球、白球が1個ずつである確率はpn=2rn/{(n+r)(n+r-1)}であるが、rを固定するときpnを最大にするnとそのときのpnをrを用いて表せ。
<自己の答案>
pnが最大になるとすれば、pn/pn-1≧1であるから、
n(n+r-2)/{(n+r)(n-1)}≧1 ∴n≦r(条件よりrは定数)・・・①
ところで、r≧3,n≧1であるから、①は1≦n≦3となる。・・・②
よって、1≦n≦3のとき、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0;
p1≦p2≦p3 ・・・③
である。また、3<nのときはpn/pn-1≧1が成り立たず、pn/pn-1<1すなわちpn-(pn-1)<0;
p4>p5>p6 ・・・④
である。よって、③と④から。。。もうわかりません。なんだこりや。
<質問>
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回答の条件
  • 1人3回まで
  • 登録:2008/06/13 17:02:15
  • 終了:2008/06/14 17:32:59

ベストアンサー

id:yuki333zityo No.3

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/06/13 20:28:08

ポイント1000pt

①まではOKです。ただ、いきなりn≦rと書くとわかりにくいので、少し説明を書いたほうが良いでしょう。

②が問題です。r=3のときは1≦n≦3ですが、rがわかっていない以上、1≦n≦rとしなくてはいけません。r=6のときは1≦n≦6となるわけですからね。

次に「1≦n≦3のとき、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0」という箇所も間違っています。

Pnが最大になるから、Pn-P(n-1)≧0が成り立つのです。別にP1やP2が最大になるとは限りません。だから、P1<P2<P3というは違うのです。

なので、massa-willさんの考えだと、この問題は解けないんじゃないかな、と思います。

ここからは自分の考えですが、

pn=2rn/{(n+r)(n+r-1)}

ですから、分母を展開して分子分母をnで割ります。

pn=2r/〔n+(2r-1)+(r^2-r)/n〕

2r=一定ですから、分母が最小となったとき、pnは最大となります。

〔n+(2r-1)+(r^2-r)/n〕の最小値を求めます。相加相乗平均の関係から、

〔n+(2r-1)+(r^2-r)/n〕≦(2r-1)+2√(r^2-r)

よって、Pnの最大値は、2r/〔(2r-1)+2√(r^2-r)〕

となります。等号成立条件は、n=(r^2-r)/n

よってこのとき、n=√(r^2-r)

となります。しかし、これはnを実数の範囲で考えているときの場合です。nは自然数ですので、√(r^2-r)の前後の自然数をnに代入し、それらを比較して、大きい方を、Pnの最大値とします。√(r^2-r)の前後の自然数を求めます。

まず、(r-1)^2ー(r^2-r)=1-r<0 (r>3より)

よって、(r^2-r)>(r-1)^2

よって、(r-1)^2<(r^2-r)<r^2となり、</p>

(r-1)<√(r^2-r)<r</p>

となるため、(r-1)<n<rとなります。よって、√(r^2-r)の前後の自然数は、(r-1)とrということになります。ここで、</p>

P(r)=2r^2/2r(2r-1)=r/2r-1

P(r-1)=2r(r-1)/(2r-1)(2r-2)=r/2r-1

よって、Pr=P(r-1)

以上から、Pnを最大にするn=r、またはr-1

最大値は、r/(2r-1)

ということになります。

id:massa-will

親切な回答をありがとうございます。

①でn≦rを得たとき、いかなるrについても成り立つものと考えたのですが、そうではなく

pn/pn-1≧1とおくことは、pn/pn-1≧1が成り立つようなrでなければならないと定めてい

ることに等しいということですか?

2008/06/13 22:02:24

その他の回答(3件)

id:BigBrother No.1

BigBrother回答回数24ベストアンサー獲得回数12008/06/13 17:28:19

ポイント5pt

詳細は面倒なので考え方だけ。

要するにP(n)というnについての関数があってその最大値を求める問題だから、P(n)をnについて微分し最大値が存在するか、存在するとしたらそのnを求める。

nは自然数なので求めたnの前後の自然数で大小を比較し大きい方を解とする。

id:araheu No.2

araheu回答回数28ベストアンサー獲得回数22008/06/13 19:39:08

ポイント10pt

質問全てに順番に答えるわけではありませんが。

>質問1)①みたいな操作はやってもいいのでしょうか?不安です。

①は正しいと思います。後で出てくる答えもその条件を満たしています。ただ

>ところで、r≧3,n≧1であるから、①は1≦n≦3となる。・・・②

rは3以上の整数であり、r=3に限った場合だけ考えるのはナンセンスで

>よって、1≦n≦3のとき、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0;

>p1≦p2≦p3 ・・・③

pn/pn-1≧1はpnを最大とするnについて成り立つものであり(そのnに対してはp(n)/p(n+1) ≧1も同様に成り立ちます)、②が成り立たない以上③の結論は導けません。②にハマってしまったので、この後の議論が意味がなくなります。


教科書で教える正しい解法かは分かりませんが、微分学をご存知でしたらpnをnで微分したものがゼロと等しくなるnが極値をとることがわかります。実際にpnをnで微分すると

dpn/dt=2r(r^2-r-n^2)/((r+n)(r+n-1))^2

と計算でき、n=(r^2-r)^(1/2)     ←分かり辛いかもしれませんが、(r^2-r)の二乗根です

となり、実際にnがこの値を取る時にpnは最大になります。

で、実際に入れてみると…あんまりきれいな形にならないですが、これでいいのかな?

id:yuki333zityo No.3

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/06/13 20:28:08ここでベストアンサー

ポイント1000pt

①まではOKです。ただ、いきなりn≦rと書くとわかりにくいので、少し説明を書いたほうが良いでしょう。

②が問題です。r=3のときは1≦n≦3ですが、rがわかっていない以上、1≦n≦rとしなくてはいけません。r=6のときは1≦n≦6となるわけですからね。

次に「1≦n≦3のとき、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0」という箇所も間違っています。

Pnが最大になるから、Pn-P(n-1)≧0が成り立つのです。別にP1やP2が最大になるとは限りません。だから、P1<P2<P3というは違うのです。

なので、massa-willさんの考えだと、この問題は解けないんじゃないかな、と思います。

ここからは自分の考えですが、

pn=2rn/{(n+r)(n+r-1)}

ですから、分母を展開して分子分母をnで割ります。

pn=2r/〔n+(2r-1)+(r^2-r)/n〕

2r=一定ですから、分母が最小となったとき、pnは最大となります。

〔n+(2r-1)+(r^2-r)/n〕の最小値を求めます。相加相乗平均の関係から、

〔n+(2r-1)+(r^2-r)/n〕≦(2r-1)+2√(r^2-r)

よって、Pnの最大値は、2r/〔(2r-1)+2√(r^2-r)〕

となります。等号成立条件は、n=(r^2-r)/n

よってこのとき、n=√(r^2-r)

となります。しかし、これはnを実数の範囲で考えているときの場合です。nは自然数ですので、√(r^2-r)の前後の自然数をnに代入し、それらを比較して、大きい方を、Pnの最大値とします。√(r^2-r)の前後の自然数を求めます。

まず、(r-1)^2ー(r^2-r)=1-r<0 (r>3より)

よって、(r^2-r)>(r-1)^2

よって、(r-1)^2<(r^2-r)<r^2となり、</p>

(r-1)<√(r^2-r)<r</p>

となるため、(r-1)<n<rとなります。よって、√(r^2-r)の前後の自然数は、(r-1)とrということになります。ここで、</p>

P(r)=2r^2/2r(2r-1)=r/2r-1

P(r-1)=2r(r-1)/(2r-1)(2r-2)=r/2r-1

よって、Pr=P(r-1)

以上から、Pnを最大にするn=r、またはr-1

最大値は、r/(2r-1)

ということになります。

id:massa-will

親切な回答をありがとうございます。

①でn≦rを得たとき、いかなるrについても成り立つものと考えたのですが、そうではなく

pn/pn-1≧1とおくことは、pn/pn-1≧1が成り立つようなrでなければならないと定めてい

ることに等しいということですか?

2008/06/13 22:02:24
id:idadi No.4

伊田匡嗣回答回数25ベストアンサー獲得回数22008/06/13 23:33:45

ポイント15pt

ほぼ解決されているのかもしれませんけど,ちょっと不安になる部分があるので.....

Pn=2rn/{(n+r)(n+r-1)}はnで微分しちゃいけませんよ.nで微分,できないですよね.微分っていうのは「連続な関数」上でしか(高校数学では)定義されないので,nを自然数と言ってる時点でPnは微分できません

それと,比をとるとか差をとるっていうのは,数列の和の最大を求めるときなので,今回は使えないですね.

ぢゃ,どう解くの?っていうと,id:yuki333zityoさんの解法になりますかねぇ.ほかの解法はちょっとおもいつかないです.ゴメンナサイm(_ _;)m

id:massa-will

>ほぼ解決

いえいえ、質問2)が手つかずのまま残っています。

『1≦n≦3のとき、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0』が仮に成り立つものとして、

回答をいただけたら大変に助かります。

2008/06/14 00:05:43
  • id:massa-will
    <質問>
    ぐちゃぐちゃなので整理して質問します。
    質問1)①みたいな操作はやってもいいのでしょうか?不安です。
    質問2)④について、3<nなので、精密にp3を含まず、p4>p5>p6としましたが、そんな必要は
    あるのでしょうか?そのために、③と④の接続がうまくいきません。
    質問3)差をつくるやり方のほうがいいのでしょうか?
    質問4)全体として、なにがどう駄目なのでしょうか?
    ぐちゃぐちゃですが、よろしくお願いします。
  • id:araheu
    先ほど回答を送りましたが、nとrが自然数というのを忘れていました。すみません。
  • id:massa-will
    ドンマイです。
  • id:yuki333zityo
    yuki333zityo 2008/06/13 22:39:05
    3番で回答した者です。

    pn/pn-1≧1

    Pnが最大となるとき、この不等式は、いかなるrでも成り立ちます。ただ、1≦n≦3としてしまうのがまずいということを言いたかったのです!ちょっとわかりにくかったかな。すみませんm(__)m

    r≧3、r≧nという条件が与えられているだけですから、nが3以下であるとは限りません。1≦n≦rとしないとマズイということを言いたかっただけです。

  • id:massa-will
    rの値はわからくとも、n≦rである以上、rの最小値でも成り立たなければならないと考えるのは、
    どうして駄目なのですか?何度もごめんなさい。でも、お願いします。
  • id:yuki333zityo
    yuki333zityo 2008/06/14 00:17:03
    nの値というのは、n=√(r^2-r) といったように、rを用いた式で表されます。つまり、rの値によって、nは変動するということです。

    つまり、r=3と定めたときのnの値と、r>3のときのnの値は違ってきてしまうということです。言い換えると、r=3のときのnの取りうる値の範囲と、r>3のときのnの取りうる値の範囲が変わってしまうということです。

    rによってnの値も変動するわけです。r=3、のように決めて、初めてそのときのnの値が決まり、そのとき、n≦3という関係になっているのだということを言っているのです。

    別にr=4のように定めたとき、r=3のときとは別のnの値が決まり、そのnがn≦4を満たしている、ということです。

    nが決まった数、例えばn=2、とかn=1.2など、rがどんな値を取ろうともnの値が変わらないといった条件があれば、n≦3としてOKです。

    ごめんなさい、自分で書いててわかりにくいです!わからなかったらもう一度コメント欄に書いてくださいm(__)m

  • id:yuki333zityo
    yuki333zityo 2008/06/14 00:25:26
    質問2の答えも書いたつもりだったんですけど、ちょっと抽象的すぎましたね!すみません。

    もし仮に1≦n≦3のときに、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0が成り立つとしても、p4>p5>p6という不等式にP3を含む事はできません。理由としては、含ませることのできる根拠がないですから・・・。
  • id:massa-will
    yuki333zityoさん
    親切に言ってもらって、ありがとうございます。何度もだと、気を悪くされはしないかと恐縮しておりましたので、少し安心しました。お言葉に甘えまして、質問させていただきます。
    rの値によりnの値も変わりますが、rは定数だから、変数であるnに言うことを聞いてもらうという発想です。rの言うことを聞かなければならないのだから、nはいかなるrにも対応すべく変域になければならない。だから、n≦"rの取りうる最小値"。これが駄目なのはどうしてですか?
  • id:y-yohi10
    質問に答えるに書き込めないのでこちらから失礼します。

    ①まで問題ないと思います。
    すると、P(n)/P(n-1)≧1のとき1≦n≦rですから、
    nはrまで増加し続け、r+1からは減少することになります。

    つまり、n=rのときP(n)は最大となり、
    そのときのP(n)は
      P(r)=r/2r-1  となります。

    これは、常識的に考えても赤球・白球1個づつ取り出すには、
    同じ数だけ赤球・白球があったときに確率は高くなるという
    ことなのであっているのではないでしょうか?


    ちなみに、①は今回のような微分できないときにはよくやる手ですね!
    もちろん問題なしです。
    ②はこの設問では、rを固定しなくてはいけないので、r=3としている
    ところがおかしいです。

  • id:y-yohi10
    差をとった方が良いのかというのは、
    p(n)-P(n-1)≧0でもn≦rという同じ結果が得られます。
    どちらでもOKです。

    注意するのは,比をとる場合は分母≠0とする点で、P(n-1)≠0
    なので、今回は問題ないので好みでどうぞという感じです。

    ただ、差をとる場合一般的に通分の作業などの手間を考えると
    比をとった方が手間は省けると思います。
  • id:yuki333zityo
    yuki333zityo 2008/06/14 14:14:06
    何度でもOKです!バンバン質問してください。

    じっくり考えていきましょう。

    ちょっと問題を変えて考えてみます。変数と定数の混じった問題を考えてみましょう。

    f(x)=x

    があったとする。更にaを3以上の定数とする。a≧xを満たしてxが動くとき、f(x)の最大値と、そのときのxをを求めなさい。

    この問題の答えは何になるでしょうか。
  • id:massa-will
    ありがとうございます。問題までつくってもらい、嬉しいです。
    答えですが、x=aのとき最大値f(x)=aです。
  • id:yuki333zityo
    yuki333zityo 2008/06/14 15:05:54
    そういうことです!

    この問題では、3≦a x≦aとなっています。aが定数で、xが変数です。最大値はf(a)=aです。つまり、f(x)=x≦aということになります。

    このとき、massa-will さんは、3≦a x≦aだからといって、x≦3とは考えませんでしたよね。もしx≦3ならば、f(x)の最大値は3となってしまいます。これはおかしいということに気付いて欲しいのです。

    今議論している箇所ですが

    「n≦r、r≧3,であるから、n≦3となる」ということの真偽についてです。

    つまり、「n≦r、r≧3で、nの最大値は3だ」、ということを言っているのです。

    ところで、rが定数で、nが変数なので、さっき僕が出した問題の、aをrに、xをnに書き換えると、

    『f(n)=n

    があったとする。更にrは3以上の定数で、r≧nを満たしてnが動くとき、f(n)の最大値と、そのときのnを求めなさい。』となります。

    答えの最大値は、n=rのとき、f(n)=r

    となります。この問題を言い換えると、r≧3、r≧nのとき、f(n)=n≦r。

    f(n)=nなんですから、f(n)の最大値とnの最大値は等しいことはわかりますね。

    つまり、nの最大値はrなわけです。nの最大値は3と書くのは違うということがわかるでしょうか。


    と書いてみましたが、これでもまだまだわかりにくい気がします。ごめんなさい。m(__)m





  • id:massa-will
    yuki333zityoさん
    ようやくわかりました。根気よく、わかるまで教えていただいたお陰です。
    今回の問題は、ちょっと深入りすると、とんでもないことになる種の問題だという感覚が
    普段からありました。ですから、問題が解けているかぎり、目をつぶっていたほうがいい
    とどこかで決めていました。しかし、やはりきちんと理解していないために壁にぶつかった
    わけです。数ヶ月前に微分を勉強したときのことですが、「aの最大値=f(x)の最小値」という
    ものに出会い、感動したことがありました。実は、今回のこんがらがりは、自分の薄れ切った
    記憶が原因で、「aの最大値=f(x)の最小値」を知ったときに覚えた操作を内容もすっかり
    忘れているくせに適応させようとして起こったことです。yuki333zityoさんのお陰で、
    記憶の交錯を整理したうえで、不等式のかなり大切な土台がつくられる結果となりました。
    "とんでもないことになる種の問題"に勇敢(!)にも、答えていただき、感謝しております。
    また、質問と回答のやりとりのなかでも「何度でもOKです!バンバン質問してください。」には、勇気付けられました。本当にありがとうございました。
  • id:massa-will
    yo-yohi10さん
    書き込めないという意味がちょっとわからなかったです。
    自分がなにか変な設定をしているのではないかと調べてみましたが、
    どうもそれもよくわかりませんでした。そのようなことだったらば、すみません。
    ともあれ、コメント、ありがとうございました。
  • id:yuki333zityo
    yuki333zityo 2008/06/14 23:53:52
    おぉっ、1000ポイントもありがとうございます!解決できましたか!良かったです。ちなみに1番の方が答えているように、微分法でも解けます。確かにnは自然数ですが、nを実数だと仮定して、f(n)=2rn/{(n+r)(n+r-1)}のグラフを書きます。最大値(nを実数の範囲でみたときの最大値)がわかったら、あとは相加相乗で求めたときと同じ手順で本当の最大値(nを自然数の範囲でみたとき最大値)を求めれば良いワケです。。。


    確かに数学を勉強していると、感動するような公式とか、証明とか、解答方法などに出会いますよね!そういうものを学ぶと、自分も問題で使いたくなる気持ち、よくわかります!そしてその気持ちはすごい大事なものだと思います。過去何回か、massa-willさんの数学に関する質問を目にしたり、回答をしたりしましが、どうやら数学の勉強を熱心になさっているようですね。自分も数学を頑張って勉強しています!そういった中で、やはり抜けている部分や忘れている部分があったりします。たまにこういった質問に回答をするとき、回答するコチラにとっても復習になったり、また他の方の解法を見て、なるほどな、と思うようなこともあったりなどと、いろいろ良い事があります。このように、質問を見ている周りの人にとっても良い影響を与えるので、どんどん質問をしていっていいと思いますよ!

    お互い頑張って勉強していきましょう!!





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