<問題>

数字1,2,3をn個並べてできるn桁の数全体を考える。そのうち1が奇数回現れるものの個数をan、
1が偶数回現れるか、まったく現れないものの個数をbnとする。an+1,bn+1をan,bnで表せ。
<解答例>
n+1桁の数で、1が奇数回現れるもの(an+1個ある)は、n桁で1が奇数回現れるもの(an個ある)の
右に2か3をつけるか、または、1が偶数回現れるか、まったく現れないもの(bn個ある)の右に1を
つけて得られるから、an+1=2an+bn。*bn+1については省略します。
<質問>
問題は、1,2,3を無作為に並べることを意味していると解釈します。そうでなげれば、n桁の数で「1
が奇数回現れるものの個数」の「個数」ということばの意味が通らないように思うからです。
しかし、解答例では、1,2,3の順に並ぶことを前提にしているかのようです。解答例の読解をわかり
やすく示してください。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/06/19 11:26:48
  • 終了:2008/06/19 14:19:54

回答(4件)

id:phmathieu No.1

phmathieu回答回数49ベストアンサー獲得回数32008/06/19 12:11:05

ポイント50pt

解答例は、1,2,3の順番に並ぶことを前提にしていないと思います。

逆に、どうしてそのように読めるかが分からなかったので、単純に解答例を分かりやすく表記してみます。


まず、n桁の数は以下の3つにより構成されます。

(1)1が奇数回現れるもの(例:3212123123)…a(n)個ある

(2)1が偶数回現れるもの(例:2121223323)

(3)1が1回も現れないもの(例:2332223233)


ここで、(2)と(3)の合計はb(n)個あることになります(問題分の定義より)。これを(4)とします。


(4)1が偶数回現れるか、1回も現れないもの…b(n)個ある


これらの数字の末尾に新たに1か2か3を付け加えてn+1桁の数字を作る場合、


(a) (1)に2か3を付け加える…1の個数は変わらず偶数

(b) (4)に1を付け加える…1の個数は1つ増えて奇数になる


ことにより、このn+1桁の数字の1の個数は奇数になります。

つまり、


a(n+1)=(a)+(b)


です(こういう表記が許されるかどうかは別として)。


(a)に該当する数字の個数は、a(n)×2個になります。

(b)に該当する数字の個数は、b(n)×1個になります。


従って、


a(n+1)=2*a(n)+b(n)


となります。


ここではanをa(n)と表記しましたが、

ひょっとして、an+1のn+1が下付き文字だということを忘れて

an+1=a(n)+1と勘違いしているということはありませんか?

(ないとは思いますが)。




(1)に2か3を付け加える…a(n)×2個ある

(4)に1を付け加える



ことにより、そのn+1桁の数字が「1を奇数回含む」ことになります。

つまり、


a(n+1)=(a)+(b)+(c)


です。

id:massa-will

丁寧な回答をありがとうございました。

実は、自分が勘違いしておりました。

2008/06/19 14:14:54
id:kuni11 No.2

kuni11回答回数216ベストアンサー獲得回数42008/06/19 12:36:32

ポイント10pt

解答例を読みましたが、1,2,3の順に並ぶことを前提にしているようには読めませんでした。

解答例も無作為に並べることを前提にしていると思います。

id:dungeon-master No.3

dungeon-master回答回数571ベストアンサー獲得回数402008/06/19 12:48:03

ポイント17pt

>問題は、1,2,3を無作為に並べることを意味していると解釈します。そうでなげれば、n桁の数で「1

>が奇数回現れるものの個数」の「個数」ということばの意味が通らないように思うからです。

無作為ではないです。

これは確率の問題ではないので、「1,2,3を任意に用いて作られるn桁の数」について

全ての組み合わせを見ています。

たとえば、n=3なら、111~333の27個(通り)の数列が得られる…そういう意味の「個数」です。


>解答例では、1,2,3の順に並ぶことを前提にしているかのようです

そういう前提もありません。

得られた組み合わせ全てについて、1の出現回数(奇数か0を含めた偶数か)で場合分けしているのです。

n+1桁の数で1が奇数回現れるものの個数は、n桁の全ての数について場合分けしたときに

 n桁で1が奇数回現れるもの(an個ある)なら、2か3

 n桁で1が偶数回現れるかまったく現れないもの(bn個ある)なら、1

を右に付けるという方法で得られる数列の「個数」を合計したもの、ということになりますので、

a(n+1)=an*2+bn になるわけです。

id:gfh01137 No.4

gfh01137回答回数36ベストアンサー獲得回数22008/06/19 13:36:34

ポイント17pt

1、2、3の順に並んでいるわけでもないし、無作為に選んで並べているわけでもありません。

1、2、3の3つの数字を使ったすべての組合せを問題にしているのだと思います。

たとえば3桁であれば、次の27個の数字を話題にしています。

111、112、113、121、122、123、131、132、133

211、212、213、221、222、223、231、232、233

311、312、313、321、322、323、331、332、333

a3=13、b3=14です。

ちなみに常に(an)+1=(bn)となるようですね。

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