NOTES:添え字がまぎらわしいので、数列{an}の第n項をa'nのように表します。

<問題>
数列a'1,a'2,,,,a'nに対して
b'n={a'n+a'(n+1)}/2, c'n={a'n+a'(n+1)+a'(n+2)}/3
とおく。
(1){b'n}が等差数列ならば、a'1,a'3,,,a'(2n-1),,,は等差数列であることを示せ。
(2){b'n},{c'n}がともに等差数列ならば、{an}も等差数列であることを示せ。
<解答例>
(2)についてのみです。
(1)の結果から、{a'2k},{a'(2k-1)}はともに公差2dの等差数列である・・・①
また、{c'n}が等差数列だから
c'(n+1)-c'n=1/3{a'(n+1)+a'(n+2)+a'(n+3)}-1/3{a'n+a'(n+1)+a'(n+2)}
=1/3{a'(n+3)-a'n} (n≧1)
はnによらず一定である。したがって、a'4-a'1=a'5-a'2から
a'2-a'1=a'5-a'4 ・・・②
=(a'3+2d)-(a'2+2d) (①から)
    =a'3-a'2 ・・・③
これと①から、{a'n}は等差数列である。
<質問>
どうして②から③のような式変形をするのか?
あるいは、どうして①と③から『{a'n}は等差数列である』と言えるのか?
以上、教えてください。お願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/07/02 14:52:19
  • 終了:2008/07/02 20:03:59

回答(1件)

id:kappagold No.1

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/07/02 16:35:57

ポイント100pt

b'nが等差数列なので、a1、a3、a5、a7・・・と、a2、a4、a6、a8・・・はともに等差数列ということが判りましたよね。


同じく、c'n が等差数列なので。a1、a4、a7、a10・・・と、a2、a5、a8、a11・・・と、a3、a6、a9、a12・・・は等差数列ということが判りますよね。


そこから、a'4-a'1=a'5-a'2


b'nから出た式とあわせて、

a'2-a'1=a'5-a'4=a'3-a'2 


さらに、a'2-a'1 =a'3-a'2

というようにすると、a1、a2、a3が等差になります。

「a1、a3、a5、a7・・・と、a2、a4、a6、a8・・・はともに等差数列」ということと合わせて、a'nが等差数列になります。


こんな感じの説明で判りますでしょうか。

id:massa-will

ありがとうございます。

『そこから、a'4-a'1=a'5-a'2

 b'nから出た式とあわせて、

 a'2-a'1=a'5-a'4=a'3-a'2』

の部分だけがちょっとわかりません。

もう少し詳しく教えてください。

2008/07/02 17:52:15
  • id:kappagold
    c'n が等差数列なので、(あ)a1、a4、a7、a10・・・と、(い)a2、a5、a8、a11・・・と、(う)a3、a6、a9、a12・・・は等差数列で、(あ)(い)(う)の3系列の数列の差は同じになりますので、(あ)と(い)のa'1とa'4の差と(い)のa'2とa'5の差は同じになるので、
    a'4-a'1=a'5-a'2
    式を変形して
    a'2-a'1=a'5-a'4
    この式は、a1とa2、a4とa5の差が等しいということを示していて判りづらいので、a1とa2、a2とa3の差が等しいということを示したいです。

    そこで、
    b'nから導き出した答えから出る式{a'5 = (a'3+2d)、a'4=(a'2+2d)}とあわせて、式を変形します。
    a'2-a'1=a'5-a'4 
    =(a'3+2d)-(a'2+2d)=a'3-a'2 ・
    a'2-a'1=a'5-a'4=a'3-a'2 

    こんな感じではどうでしょう。
  • id:massa-will
    大変によくわかりました。すっきりです。ありがとうございます。

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