<問題>

等比数列において、初項から第n項までの和が36、第2n項までの和が81のとき、
第(2n+1)項から第3n項までの和を求めよ。
<解答例>
S(n)=36
S(2n)-S(n)=81-36=45
S(3n)-S(2n)=x
より、x=45^2/36
<質問>
x/45=45/36
からだと思うのですが、それがなぜ成り立つのか、ピンときません。教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/07/02 20:23:18
  • 終了:2008/07/02 23:36:30

回答(4件)

id:juic No.1

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32008/07/02 21:07:27

ポイント50pt

実際に和の形で表してみます。初項a,公比rとすると,

Sn=a+ar+…+ar^(n-1)

S2n-Sn=(a+ar+…+ar^(2n-1))-(a+ar+…+ar^(n-1))

=ar^n+ar^(n+1)+…+ar^(2n-1)

=r^n(a+ar+…+ar^(n-1))

=r^n*Sn

より,45=36r^n   ∴r^n=45/36



S3n-S2n=(a+ar+ar^2+…+r^(3n-1))-(a+ar+ar^2+…+r^(2n-1))

=ar^(2n)+ar^(2n+1)+…+ar^(3n-1)

=r^(2n)(a+ar+…+ar^(n-1))

=(r^n)^2(a+ar+…+ar^(n-1))

=(r^n)^2*Sn

=(45/36)^2*36

=45^2/36

です。

id:yuki333zityo No.2

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/07/02 21:18:30

ポイント50pt

この問題は、等比数列の和の公式をどんどん使って解いていく問題ですね。

S(n)=36

という条件式から、初項をa、公比をrとおくと、

S(n)=a(1-r^n)/(1-r)=36・・・①

となります。解答例では、この式を省略してしまっているんでしょうね。

同様に、

S(2n)-S(n)

=a(1-r^2n)/(1-r)ーa(1-r^n)/(1-r)

=a(r^n-r^2n)/(1-r)

=r^n×a(1-r^n)/(1-r)

=r^n×S(n)=45・・・②

S(3n)-S(2n)

=a(1-r^3n)/(1-r)ーa(1-r^2n)/(1-r)

=r^2n×a(1-r^n)/(1-r)

=r^2n×S(n)=x・・・③

①②より、

r^n=45/36・・・④

r^2n=(45/36)^2

①③より、

r^2n=x/36・・・⑤

④⑤より、

x=45^2/36

ということです。たぶん解答例を掲載した人の意図としては、3つの等式を自分で立てて組み合わせればxの値が自動的に出るよね。と言っているのでしょう。省略が多すぎですな。。。かなり雑な解答例だと思います。

id:streakeagle No.3

streakeagle回答回数37ベストアンサー獲得回数22008/07/02 21:21:26

ポイント40pt

確認ですが、S(n)が初項から第n項までの合計、xが第(2n+1)項から第3n項までの合計であっているでしょうか?

初項をs、公比をrとした場合

S(n)=s + r+s + (r^2)s + ... (r^(n-1))s (式1)

S(2n)-S(n) = (r^n)s + (r^(n+1))s + ... + (r^(2n-1))s = (r^n)S(n) (式2)

S(3n)-S(2n) = (r^(2n))s + (r^(2n+1))s + ... + (r^(3n-1))s = (r^n)(S(2n)-S(n)) (式3)

となります。

解答例に書かれているように、

S(n)=36

S(2n)-S(n)=45

なので、これを式2に代入すると

45=(r^n)・36

これを変形すると、r^n=45/36となります。

これを式3に代入すると

x=S(3n)-S(2n)=(45/36)・45=45^2/36

となります。

id:totsuan No.4

totsuan回答回数331ベストアンサー獲得回数582008/07/02 21:23:32

ポイント50pt

S(n)=a(r^n -1)/(r-1)=36

S(2n)=a(r^2n -1)/(r-1)=81

S(3n)=a(r^3n -1)/(r-1)

S(2n)-S(n)=ar^n(r^n-1)/(r-1)=ar^n・S(n)

S(3n)-S(2n)=ar^2n(r^n-1)/(r-1)=ar^2n・S(n)

ということで、

{S(3n)-S(2n)}/{S(2n)-S(n)}=ar^nとなり、

全てのnにおいてこれらの関係が成り立つ事が分かります。

なので、

x/45=45/36の式が持つ意味とは、

{S(3n)-S(2n)}/{S(2n)-S(n)}={S(2n)-S(n)}/{S(n)-S(0)}

を表していることになり、これから計算してxを導き出しているものと思われます。

簡略な説明ですみません。

おそまつさまでした。

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